高考数学总复习第十章算法初步知能训练理

第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1．(2012年广东)执行如图X10­1­1所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105B．16C．15D．1图X10­1­1图X10­1­22．(2014年北京)执行如图X10­1­2所示的程序框图，输出S的值为()A．1B．3C．7D．153．(2014年福建)阅读如图X10­1­3所示的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为()A．1B．2C．3D．4图X10­1­3图X10­1­44．根据如图X10­1­4所示的求公约数方法的程序框图，输入m＝2146，n＝1813，则输出m的值为()A．36B．37C．38D．395．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v3的值为()A．－144B．－136C．－57D．346．(2013年福建)阅读如图X10­1­5所示的程序框图，若输入k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和图X10­1­57．(2014年新课标Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出S＝()图X10­1­6A．4B．5C．6D．78．(2014年江西)阅读下面的程序框图(如图X10­1­7)，运行相应的程序，则程序运行后输出i的值为()图X10­1­7A．7B．9C．10D．119．(2014年辽宁)执行程序框图(如图X10­1­8)，若输入n＝3，则输出T＝__________.图X10­1­810．(2014年重庆)执行如图X10­1­9所示的程序框图，则输出S的值为()图X10­1­9A．10B．17C．19D．3611．(2014年四川)执行如图X10­1­10所示的程序框图，如果输入x，y∈R，则输出S的最大值为()图X10­1­10A．0B．1C．2D．3第2讲复数的概念及运算1．(2013年福建)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2013年广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)3．(2014年新课标Ⅱ)eq\f(1＋3i,1－i)＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i4．(2013年湖北)在复平面内，复数z＝eq\f(2i,1＋i)(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(2013年辽宁)复数z＝eq\f(1,i－1)的模为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．26．(2012年广东东莞二模)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－ai，a∈R，若z＝z1·z2在复平面上对应的点在虚轴上，则a的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．2D．－27．若复数(1－ai)i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a的值是()A．－1B．1C．－2D．28．(2013年上海)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.9．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i10．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.12．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,\o(z,\s\up6(－)))))·eq\o(z,\s\up6(－))＝__________.第3讲坐标系与参数方程1．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________________________________________________________________________．2．(2014年湖南)在平面直角坐标系中，曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)的普通方程为____________．3．(2012年广东肇庆二模)在极坐标系中，曲线ρ＝2与cosθ＋sinθ＝0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为________．4．(2014年陕西)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离是________．5．(2012年广东东莞二模)已知在极坐标系下，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2π,3)))，O是极点，则△AOB的面积等于________．6．(2014年广东)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ和ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．7．(2013年广东)已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cost，,y＝\r(2)sint))(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为__________________．8．(2013年湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s＋1，,y＝s))(s为参数)和直线l2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝at，,y＝2t－1))(t为参数)平行，则常数a的值为________．9．(2012年广东深圳一模)在极坐标系中，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))到曲线l：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,2)eq\r(2)上的点的最短距离为________．10．(2013年陕西)如图X10­3­1，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________________．图X10­3­111．(2014年辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．12．直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝－1－2t))(t为参数)，圆C：ρ＝2eq\r(2)×coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同)．(1)求圆心C到直线l的距离；(2)若直线l被圆C截的弦长为eq\f(6\r(5),5)，求a的值．

第4讲几何证明选讲1．(2013年广东广州调研)如图X10­4­1，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于点C.若AP＝4，PB＝2，则PC＝________.图X10­4­1图X10­4­22．(2013年广东)如图X10­4­2，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到点D，使BC＝CD，过点C作圆O的切线，交AD于点E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.3．(2014年广东肇庆一模)如图X10­4­3，在Rt△ABC中，斜边AB＝12，直角边AC＝6.如果以点C为圆心的圆与AB相切于点D，则⊙C的半径长为__________．图X10­4­3图X10­4­44．(2013年广东)如图X10­4­4，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.5．(2012年广东惠州一模)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝________.6．如图X10­4­5，过点P的直线与圆O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于________．图X10­4­5图X10­4­67．(2014年陕西)如图X10­4­6，在△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F.若AC＝2AE，则EF＝________.8．(2012年广东广州一模)如图X10­4­7，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP＝3cm，弦CD过点P，且eq\f(CP,CD)＝eq\f(1,3)，则CD＝________cm.图X10­4­7图X10­4­8图X10­4­99．(2013年湖南)如图X10­4­8，在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为____________．10．(2013年湖北)如图X10­4­9，圆O上一点C在直径AB上的射影为点D，点D在半径OC上的射影为点E.若AB＝3AD，则eq\f(CE,EO)＝__________.11．如图X10­4­10，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.图X10­4­1012．(2013年江苏)如图X10­4­11，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC，求证：AC＝2AD.图X10­4­11

第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1．C2．C解析：当k＝0时，S＝1；当k＝1时，S＝1＋2＝3；当k＝2时，S＝3＋4＝7；当k＝3时，输出S＝7.故选C.3．B执行程序，n＝1，满足条件2n>n2，n＝2，不满足条件2n>n2，输出n＝2.故选B.4．B解析：算法的功能是利用辗转相除法求2146与1813的最大公约数，2146＝1813＋333；1813＝5×333＋148；333＝2×148＋37；148＝4×37＋0，最大公约数是37.故选B.5．B解析：v0＝3，v1＝v0·(－4)＋5＝－7，v2＝v1·(－4)＋6＝34，v3＝v2·(－4)＋0＝－136.6．A解析：根据题意，S→2S＋1，Sn＝2Sn－1＋1，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝2Sn－1＋1，,Sn－1＝2Sn－2＋1，))两式相减，得an＝2an－1.则a1＝1，q＝2，an＝2n－1，故该算法的功能为计算数列{2n－1}的前10项和．7．D解析：按照框图中的要求，不断给变量M，S，k赋值，直到不满足条件．x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1.k≤t，M＝eq\f(1,1)×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；k≤t，M＝eq\f(2,2)×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3；3>2，不满足条件，输出S＝7.8．B解析：第一次循环：i＝1，S＝lgeq\f(1,3)；第二次循环：i＝3，S＝lgeq\f(1,3)＋lgeq\f(3,5)＝lgeq\f(1,5)；第三次循环：i＝5，S＝lgeq\f(1,5)＋lgeq\f(5,7)＝lgeq\f(1,7)；第四次循环：i＝7，S＝lgeq\f(1,7)＋lgeq\f(7,9)＝lgeq\f(1,9)；第五次循环：i＝9，S＝lgeq\f(1,9)＋lgeq\f(9,11)＝lgeq\f(1,11)<－1，结束循环，输出i＝9.故选B.9．20解析：输入n＝3，在程序执行过程中，i，S，T的值依次为i＝0，S＝0，T＝0；i＝1，S＝1，T＝1；i＝2，S＝3，T＝4；i＝3，S＝6，T＝10；i＝4，S＝10，T＝20，程序结束．输出T＝20.10．C解析：k＝2，S＝0，k<10成立，运行第一次：S＝2，k＝3；k<10成立，运行第二次：S＝5，k＝5；k<10成立，运行第三次：S＝10，k＝9；k<10成立，运行第四次：S＝19，k＝17；k<10不成立，输出S＝19.故选C.图D11511．C解析：该程序执行以下运算：已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))求S＝2x＋y的最大值．作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))表示的区域如图D115，由图知，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))时，S＝2x＋y最大，最大值为S＝2＋0＝2.故选C.第2讲复数的概念及运算1．C2.C3．B解析：eq\f(1＋3i,1－i)＝eq\f(1＋3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1＋i＋3i＋3i2,2)＝eq\f(－2＋4i,2)＝－1＋2i.4．D解析：z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i＋1，其共轭复数1－i对应的点(1，－1)位于第四象限．5．B解析：z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,－2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，则|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).故选B.6．D解析：z＝z1·z2＝(2＋i)(1－ai)＝(2＋a)＋(1－2a)i对应的点在虚轴上，则为纯虚数，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋a＝0，,1－2a≠0，))得a＝－2.7．A解析：(1－ai)i＝a＋i，实部为a，虚部为1，实部与虚部互为相反数，则a＝－1.故选A.8．－2解析：m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))解得m＝－2.9．A解析：根据求根公式，得x＝eq\f(－6±\r(62－13×4),2)＝－3±2i，所以方程的一个根为－3＋2i.故选A.10．8解析：a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(11＋15i＋14,1＋4)＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，所以a＋b＝8.11．1＋2i解析：(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝a－1＋(a＋1)i＝bi，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,a＋1＝b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))则a＋bi＝1＋2i.12．6解析：z＝1＋2i，eq\o(z,\s\up6(－))＝1－2i，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,\o(z,\s\up6(－)))))eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2i＋\f(1,1－2i)))·(1－2i)＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝12－(2i)2＋1＝1＋4＋1＝6.第3讲坐标系与参数方程1．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2解析：将ρ＝2cosθ转换成普通方程为(x－1)2＋y2＝1，该圆垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0或x＝2，再转换成极坐标方程为θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2.2．x－y－1＝0解析：将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))两式相减消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))4．1解析：直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化为直角坐标方程为eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0.点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))的直角坐标为(eq\r(3)，1)，则点(eq\r(3)，1)到直线eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0的距离是d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(\r(3),2)＋1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2))＝1.5.eq\f(3\r(3),4)解析：由极坐标的意义，得△AOB的面积为S＝eq\f(1,2)×1×3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,3)))＝eq\f(3\r(3),4).6．(1,2)解析：曲线C1的极坐标方程为2(ρcosθ)2＝ρsinθ，化为普通方程，得y＝2x2.曲线C2的普通方程为x＝1.联立曲线C1和C2的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2，,x＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))因此曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,2)．7．ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)解析：将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cost，,y＝\r(2)sint))转换成普通方程为x2＋y2＝2.记P(1,1)，则kOP＝1，切线的斜率为－1，则切线的方程为y－1＝－1(x－1)，x＋y＝2，再转换成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(转换成ρsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝\r(2)也可))8．4解析：直线l1：x－2y－1＝0，l2：2x－ay－a＝0，l1∥l2，有eq\f(1,2)＝eq\f(2,a)⇒a＝4.9．2eq\r(2)解析：点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))化为直角坐标为(0,1)，曲线l：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,2)eq\r(2)化为直线x－y－3＝0，则点到直线的最短距离为d＝eq\f(|0－1－3|,\r(2))＝2eq\r(2).图D11610.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝cosθsinθ))(θ∈R)解析：如图D116，连接AP，过点P作PB⊥OA于点B，将圆方程化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)，即半径r＝eq\f(1,2).在Rt△OPA中，OP＝2rcosθ＝cosθ，∴x＝OPcosθ＝cos2θ，y＝OPsinθ＝cosθsinθ.故圆x2＋y2－x＝0的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝cosθsinθ))(θ∈R)．11．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1.))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，即曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.故C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cost，,y＝2sint))(t为参数)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直线的斜率k＝eq\f(1,2)，于是所求直线方程为y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).12．解：(1)把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝－1－2t))化为普通方程为x＋2y＋2－a＝0，把ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))化为直角坐标系中的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，∴圆心到直线的距离为eq\f(\r(5)|1－a|,5).(2)由已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(5))))2＝(eq\r(2))2，∴a2－2a＝0，即a＝0或a＝2.第4讲几何证明选讲1．2eq\r(2)解析：如图D117，延长CP，交⊙O于点D，∵PC⊥OP，∴点P是弦CD的中点．由相交弦定理知，PA·PB＝PC·PD＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2eq\r(2).图D117图D1182．2eq\r(3)解析：∵BC＝CD，AC⊥BD，∴AB＝AD＝6.连接OC，OC⊥EC，OC∥AD，∴AD⊥EC.在Rt△ACD中，CD2＝DE·DA＝2×6＝12，∴BC＝CD＝2eq\r(3).3．3eq\r(3)解析：在Rt△ABC中，∵AB＝12，AC＝6，即AC＝eq\f(1,2)AB，∴∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝60°.∴CD＝AC·sinA＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).4.eq\f(\r(21),2)解析：由题意，得AC＝2eq\r(3)，∠CAD＝eq\f(π,6)，AE＝eq\f(AB,2)＝eq\f(\r(3),2)，ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcoseq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋32－2×eq