高考数学二轮复习专题1高考客观题常考知识第4讲算法推理及创新性问题文

第4讲算法、推理及创新性问题以命题的推广给出的归纳、类比创新问题1.(2015福建省泉州五校高三联考)双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是.

解析:若|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3],区间前端点为1,后端点为3=QUOTE=QUOTE.若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是(1,QUOTE].答案:(1,QUOTE]2.观察下列不等式1+QUOTE<QUOTE,1+QUOTE+QUOTE<QUOTE,1+QUOTE+QUOTE+QUOTE<QUOTE,……照此规律,第五个不等式为.

解析:不完全归纳:第一个:1+QUOTE<QUOTE,第二个:1+QUOTE+QUOTE<QUOTE,第三个:1+QUOTE+QUOTE+QUOTE<QUOTE,…归纳猜想:第n个:1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE,故n=5时,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE.答案:1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE<QUOTE以新定义给出的创新问题3.(2015安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数f(x)的定义域为D,若∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数:①y=x2;②y=QUOTE;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3;⑤y=2sinx-1.其中是“美丽函数”的序号有.

解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意.答案:②③④4.(2014安徽卷)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(ⅰ)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)

①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲线C在点P(0,0)处的切线为y=0,结合函数y=x3的图象知,满足(ⅱ),故①正确.②直线x=-1为曲线C:y=(x+1)2的对称轴,不是切线,故②不正确.③y=sinx,y′=(sinx)′=cosx,因此,直线l:y=x在点P(0,0)处与曲线C相切,结合图象知满足(ⅱ),故③正确.④y=tanx,y′=(tanx)′=(QUOTE)′=QUOTE,y′|x=0=1,曲线C在(0,0)处的切线为y=x,由正切函数图象知满足(ⅱ),故④正确.⑤y=lnx,y′=(lnx)′=QUOTE,故曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为y=x-1,但曲线y=lnx在直线y=x-1的同侧,故⑤不正确.综上知命题正确的是①③④.答案:①③④5.(2014湖北卷)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=QUOTE,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;

(2)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数QUOTE.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析:过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=QUOTE(x-a),令y=0得c=QUOTE.(1)令几何平均数QUOTE=QUOTE⇒QUOTEf(a)+QUOTEf(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=QUOTE(x>0);(2)令调和平均数QUOTE=QUOTE⇒QUOTE=QUOTE,可取f(x)=x(x>0).答案:(1)QUOTE(2)x(或(1)k1QUOTE(2)k2x其中k1,k2为正常数均可)6.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[QUOTE,QUOTE],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(D)(A)(QUOTE,+∞) (B)(0,1)(C)(0,QUOTE) (D)(0,QUOTE)解析:因为函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[QUOTE,QUOTE],因为函数f(x)=ln(ex+t)为增函数,所以QUOTE即QUOTE即方程ex-QUOTE+t=0有两个不等的正根,即QUOTE解得t的范围是(0,QUOTE).程序框图7.(2015广州市一模)一算法的程序框图如图,若输出的y=QUOTE,则输入的x的值可能为(C)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5解析:该算法的程序框图是一条件结构,功能是已知分段函数y=QUOTE的函数值求相应的自变量x的值.当x>2时y=2x>4,若输出的y=QUOTE,则sinQUOTEx=QUOTE,可得x=1时符合.故选C.8.(2015天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(C)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:第一次执行,i=1,S=10-1=9;第二次执行,i=2,S=9-2=7;第三次执行,i=3,S=7-3=4;第四次执行,i=4,S=4-4=0,满足条件,则退出循环,所以输出i的值为4.故选C.9.(2015山西省高三名校联盟考试)利用如图所示的程序框图在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点落在函数f(x)=x2-x+2的图象上的点的个数为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:运行该程序,第一次打印点为(-3,6),不在抛物线y=x2-x+2上,x=-2,y=5,i=5,第二次打印点为(-2,5),不在抛物线y=x2-x+2上;x=-1,y=4,i=4,第三次打印点为(-1,4),在抛物线y=x2-x+2上;x=0,y=3,i=3,第四次打印点为(0,3),不在抛物线y=x2-x+2上;x=1,y=2,i=2,第五次打印点为(1,2),在抛物线y2=x2-x+2上;x=2,y=1,i=1,第六次打印点为(2,1),不在抛物线y=x2-x+2上;x=3,y=0,i=0,程序停止运行,故打印的点落在抛物线y=x2-x+2上的点的个数为2.故选B.10.(2014重庆卷)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(C)(A)s>QUOTE (B)s>QUOTE(C)s>QUOTE (D)s>QUOTE解析:执行程序框图依次得s=QUOTE,k=8;s=QUOTE×QUOTE=QUOTE,k=7;s=QUOTE×QUOTE=QUOTE,k=6,此时不满足条件,结合选项知条件应为s>QUOTE.故选C.一、选择题1.(2015湖南衡阳市五校联考)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于(A)(A)(2,0) (B)(4,0) (C)(0,2) (D)(0,-4)解析:由(1,2)⊗(p,q)=(5,0)得QUOTE⇒QUOTE所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故选A.2.(2015湖北卷)设x∈R,定义符号函数sgnx=QUOTE则(D)(A)|x|=x|sgnx| (B)|x|=xsgn|x|(C)|x|=|x|sgnx (D)|x|=xsgnx解析:当x>0时,|x|=x,sgnx=1,则|x|=xsgnx;当x<0时,|x|=-x,sgnx=-1,则|x|=xsgnx;当x=0时,|x|=x=0,sgnx=0,则|x|=xsgnx,故选D.3.(2015四川卷)执行如图所示的程序框图,输出S的值为(D)(A)-QUOTE (B)QUOTE (C)-QUOTE (D)QUOTE解析:根据题中程序框图,可知k=1,k=1+1=2<4,k=2+1=3<4,k=3+1=4,k=4+1=5>4,S=sinQUOTE=QUOTE.故输出S的值为QUOTE.故选D.4.(2014福建卷)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是(A)解析:设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,则||F1F2|=2c,依题意,得||PF1|+||PF2|=2d(d为常数且d>c),所以|x+c|+|y-0|+|x-c|+|y-0|=2d,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d.①当-c≤x≤c时,x+c+c-x+2|y|=2d,即y=±(d-c);②当x<-c时,-(x+c)+c-x+2|y|=2d,即x±y+d=0;③当x>c时,(x+c)+x-c+2|y|=2d,即x±y-d=0.画出以上三种情形的图象,即可知选项A正确.故选A.5.(2015福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(C)(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1解析:执行程序:i=1,S=0;S=cosQUOTE=0,i=2;S=0+cosπ=-1,i=3;S=-1+cosQUOTE=-1,i=4;S=-1+cosQUOTE=0,i=5;S=0+cosQUOTE=0,i=6,满足i>5,退出循环,输出的结果为0,故选C.6.(2014广东卷)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1QUOTE,其中QUOTE是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);④z1*z2=z2*z1.则真命题的个数是(C)(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由共轭复数的定义知QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE·z2,根据题中定义ω1*ω2=ω1QUOTE知①(z1+z2)*z3=(z1+z2)·QUOTE=z1QUOTE+z2QUOTE=(z1*z3)+(z2*z3),故①正确.②z1*(z2+z3)=z1(QUOTE)=z1(QUOTE+QUOTE)=z1QUOTE+z1QUOTE=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确.③z1*z2=z1QUOTE,z2*z3=z2QUOTE,因此(z1*z2)*z3=(z1QUOTE)*z3=z1QUOTEQUOTE,z1*(z2*z3)=z1*(z2QUOTE)=z1(QUOTE)=z1QUOTEz3,显然当且仅当z3为实数时有(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)成立,故③错.④z1*z2=z1QUOTE,z2*z1=z2QUOTE,显然对任意复数z1,z2,z1QUOTE=z2QUOTE不一定成立,故④错.综上知四个命题中真命题的个数为2个.故选C.7.(2015资阳市一诊)若执行如图所示的程序框图,输出S的值为3,则判断框中应填入的条件是(C)(A)k<6? (B)k<7? (C)k<8? (D)k<9?解析:由程序框图可知,第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23·log34=log24,k=4;第三次循环,S=log24·log45=log25,k=5;……;第六次循环,S=log28=3,k=8,结束循环,输出S=3.故选C.8.(2015广东茂名市一模)设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=QUOTE则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2-2x-2,p=1,则下列结论成立的是(C)(A)fp[f(0)]=f[fp(0)] (B)fp[f(1)]=f[fp(1)](C)fp[f(2)]=fp[fp(2)] (D)f[f(-2)]=fp[fp(-2)]解析:由f(x)≤1,即x2-2x-2≤1,解得-1≤x≤3,当p=1时,f1(x)=QUOTEf1(2)=22-2×2-2=-2,f1(-2)=1,f(2)=22-2×2-2=-2,则f1[f(2)]=f1(-2)=1,f1[f1(2)]=f1(-2)=1,故选C.9.(2015宝鸡二模)已知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,如[-1.01]=-2,[1.99]=1,若-QUOTE≤x<QUOTE,则f(x)的值域为(B)(A){0,1,2} (B){0,1,2,3}(C){-2,-1,0} (D){-1,0,1,2}解析:-QUOTE≤x<-1时,[x]=-2,2<x[x]≤3,所以f(x)可取2,3;-1≤x<0时,[x]=-1,0<x[x]≤1,所以f(x)可取0,1;0≤x<1时,[x]=0,x[x]=0,所以f(x)=0;1≤x<QUOTE时,[x]=1,1≤x[x]<QUOTE,所以f(x)=1.所以f(x)的值域为{0,1,2,3}.故选B.10.(2015漳州二模)对于定义域为D的函数y=f(x)和常数C,若对任意正实数ξ,存在x∈D,使得0<|f(x)-C|<ξ恒成立,则称函数y=f(x)为“敛C函数”.现给出如下函数:①f(x)=x(x∈Z);②f(x)=(QUOTE)x+1(x∈Z);③f(x)=log2x;④f(x)=QUOTE.其中为“敛1函数”的有(C)(A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③解析:对于函数①,取ξ=QUOTE,因为x∈Z,找不到x,使得0<|x-1|<QUOTE成立,所以函数①不是“敛1函数”;对于函数②,当x→+∞时,(QUOTE)x→0,所以(QUOTE)x+1→1,所以对任意的正数ξ,总能找到一个足够大的正整数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数②是“敛1函数”;对于函数③,当x→2时,log2x→log22=1,所以对于无论多大或多小的正数ξ,总会找到一个x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数③是“敛1函数”;对于函数④,函数式可化为y=1-QUOTE,所以当x→+∞时,QUOTE→0,即1-QUOTE→1,所以对于无论多小的正数ξ,总会找到一个足够大的正数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数④是“敛1函数”.故选C.二、填空题11.(2014福建卷)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.

解析:可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,所以a=b=1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,所以b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.答案:20112.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下3对集合:①A=N,B=N*;②A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10};③A={x|0<x<1},B=R.其中,“保序同构”的集合对的序号是.(写出所有“保序同构”的集合对的序号).

解析:对①:取f(x)=x-1,x∈N*,所以B=N*,A=N是“保序同构”;对②:取f(x)=QUOTEx-QUOTE(-1≤x≤3),所以A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10}是“保序同构”;对③:取f(x)=tan(πx-QUOTE)(0<x<1),所以A={x|0<x<1},B=R是“保序同构”,故应填①②③.答案:①②③13.(2015安徽皖北协作区一模)已知集合A={(x,y)||x|+2|y|≤4},集合B={(x,y)|(x-m)2+y2≤QUOTE},若B⊆A,则实数m的取值范围是.

解析:由题意,集合A中元素构成一个菱形及其内部,集合B中元素构成一个圆及圆的内部,如图,因为B⊆A,所以圆在菱形内部,故只需圆心到菱形边所在的直线的距离大于或等于半径即可,即QUOTE≥QUOTE,解得m≥-2或m≤-6(舍去).由对称性可知m≤2,所以实数m∈[-2,2].答案:[-2,2]14.观察下列等式:(1+1)=2×1,(2+1)(2+2)=22×1×3,(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,……照此规律,第n个等式可为.

解析:观察规律知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)15.(2015湖北武汉市调考)平面几何中有如下结论:如图1,设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点,AB=1,过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q,R,则有QUOTE+QUOTE=2.类比此结论,将其拓展到空间有:如图2,设O是正三棱锥ABCD底面BCD的中心,AB,AC,AD两两垂直,AB=1,过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线