132秦九韶算法导学案

§1.3.2算法案例————秦九韶算法班级：姓名：学习目标1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。2.理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。重点难点重点：理解秦九韶算法的思想。难点：用循环结构表示算法的步骤。学法指导评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.问题探究知识探究(一):秦九韶算法的基本思想思考1:对于多项式，求的值.若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？思考2:在上述问题中，若先计算的值，然后依次计算，，的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？小结：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。思考3:利用后一种算法求多项式的值，这个多项式应写成哪种形式？思考4:对于由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算.第二步，第三步，…第步，计算思考5:上述求多项式的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？思考6:在秦九韶算法中，记那么第步的算式是什么？知识探究(二):秦九韶算法的程序设计思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，第二步，第三步，第四步，第五步，思考2:该算法的程序框图如何表示？思考3:该程序框图对应的程序如何表述？理论迁移例1已知一个5次多项式为用秦九韶算法求的值.例2阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？INPUT“x=”；an=0y=0WHLEn<5y=y+(n+1)*a∧nn=n+1WENDPRINTyEND目标检测1、利用秦九韶算法求多项式在的值时，在运算中下列哪个值用不到（）A.164B.3767C.86652D.851692、利用秦九韶算法计算多项式当=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（）A.6，6B.5，6C.5，5D.6，53、利用秦九韶算法求多项式在的值，写出详细步骤。4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s表示（）A.的值B.的值C.的值D.以上都不对开始开始输入输入输出S结束5、已知n次多项式如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，（1）计算的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：（k＝0，1，2，…，n－1），计算的值只需6次运算，那么计算的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设ai=i+1，i=0，1，…，n，求P5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）纠错矫正总结反思资料：秦九韶的生平秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。

秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：（1）“大衍求一术”。

即为一次同余式组解法。西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。

(2)线性方程组解法。

他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。(3)高次方程数值解法。他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。(4)“三斜求积”。他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。这与西方的海伦公式是等价