2025年小学数学《几何》曲线型-扇形-4星题（含解析）全国版

几何-曲线型几何-扇形-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

扇形B1.了解扇形的特征和有关概念少考

2.能够通过圆的面积和周长公式推

导出扇形的面积和弧长公式

3.能够运用公式计算扇形的弧长、

面积和周长

知识提要

扇形

•概念

圆上两点之间的部分叫做弧。

扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。

•公式

扇形的弧长=《；x2nr

360

扇形的面积=公冗/

360

其中，n表示圆心角的度数

注意：扇形的弧长不是周长，扇形的周长还需要加上两条半径。

精选例题

扇形

1.如图，分别以B,C为圆心的两个半圆的半径都是1厘米，则阴影部分的周长是_______厘

米.（7T取3）

【答案】3

【分析】BE,BC,CE均为圆的半径，所以等边三角形，每个角均为60度，所以

阴影部分的两段圆弧均为60度的扇形所对应的圆弧，所以周长为

601LW

X7rxdx2+l=：x3x2x2+l=3（厘米）.

3606

2.如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作例若图中

的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是.

【答案】兀：2

【分析】因为S2=S'两个［圆的面积

Si+S2+S2+S3=Si+S2+S3+5*4

与长方形面积相等.

所以设长为a,宽为b,

1,

—7ibzx2=ab,

4

Tib=2a,

a:b=Ti'.2.

3.如下图所示，平行四边形的长边是6,短边是3,高为2.6,则阴影部分的面积

为.(TT取3.14)

【答案】15.9

【分析】根据容斥的思想，

阴影的一半=大扇形+小扇形-平行四边形,

所以阴影面积为：

片x3.14x(62+32)-6x26]x2=15.9.

4.6个半径相同的小圆和1个大圆如图摆放.大圆的面积是120,那么，阴影部分面积

是________

【答案】40

【分析】设大圆半径和小圆半径分别为R和r,画出大小圆半径会发现它们同处一个正三角

形，如下图，两条粗线分别为大圆直径和小圆直径，由正三角形性质和勾股定理，有

R2+「2=（2r）2=R2=3r2,

这说明大圆面积和小圆面积是3倍关系，即小面面积为40；

由于三个小圆面积等于大圆面积，所以下图中红色部分面积等于灰色部分;

如下图，可以看出，上图中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6个120

度扇形，总和为2个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积40.

5.如图，直角三角形4BC中，为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则在将△4BC绕

C点顺时针旋转120。的过程中，边扫过图形的面积为.(n=3.14)

【答案】12.56平方厘米.

【分析】如下图所示，假设△ABC旋转120。到达△ABC的位置.阴影部分为4B边扫过

的图形.

B'

从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积

等于扇形ACA，的面积与△ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BC夕的面积与ZARC

的面积，由于△ABC的面积与448C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形4CA，与扇

形BCB，的面积之差，为

120,1209十

—XTTX42--XTTX22=4TT=12.56（平方厘米）.

36U36U

6.如下图所示，4B是半圆的直径，。是圆心，AC=CD=DB,M是CO的中点，H是弦CD

的中点.若N是0B上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积

【答案】2

【分析】连接。C、OD、0H,由于C、。是半圆的两个三等分点”是CO的中点，H是弦

CD的中点，可见这个图形是对称的.由对称性可知CD与AB平行，由此可得：△CHN的面

积与△CHO的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形C。。的面

积又等于半圆面积的3所以，阴影部分面积等于半圆面积的；，为12x；=2（平方厘米）.

7.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米.现在以C点为圆心，把三角

形4BC顺时针转90度，那么，48边在旋转时所扫过的面积是平方米.（n=3.14）

BC

【答案】0.6775

【分析】如图，顺时针旋转后，A点沿弧4A'转到4'点，B点沿弧B夕转到B，点，。点沿

弧。ZT转到ZT点.因为CD是C点到48的最短线段，所以48扫过的面积就是图中的弧

4ZB与BDD'A'之间的阴影图形.

S阴影=S半圆一S空白，

11

^AABC=S&BDC+^AADC=2X1X1=］（平方米），

。1

S^ABC=S正方形4DCZV=CD?=公平方米），

所以，

IT„TC1TC、、“

S扇形DCD，=IXco=1*2=W（平万米），

我们推知

n2

S阴影=5X80—S扇形DCD，-MbDC+SAACDf）

TTTI1

=2-8-2

_3K1

=~8~2

=0.6775（平方米）.

,4(3)

8.如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边4B,C,。处各有一根木桩，且

4B=BC=CO=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结

处）.为使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在_______处的木桩上.

【答案】C

【分析】在a点时活动区域的面积是一个半径为4米的半圆，即

1_

—X42X7T=8Tt（平方米）.

在B、D点时活动区域的面积都是一个半径为4米的半圆加一个:半径为1米的

4

圆.即

111

—X42XTI+—xl2xii=8.M平方米）•

在C点时活动区域的面积是:个半径为4米的圆，即

4

3

—x42xK=12冗（平方米）.

综上所述，拴在C处的木桩上时活动范围最大.

9.如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】观察可知阴影部分是被以4。为半径的扇形、以4B为直径的半圆形和对角线BD

分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，如果能求出左下边空白部分的面积,

就很容易求出阴影部分的面积了，再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形4BD

的面积减去扇形4DE的面积，那么思路就很清楚了.

因为Z.ADB=45°,

所以扇形ADE的面积为：Sx兀x4£>2=会x3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下边空白的面积为：5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因为半圆面积为：（I）?=9.8125（平方厘米），

所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

10.如图，C、。是以为直径的半圆的三等分点，。是圆心，且半径为6.求图中阴影部分

的面积.

【答案】6n

如图，连接。c、OD、CD.由于C、O是半圆的三等分点，所以△AOC和△C。。都是正三角

形，那么CO与4。是平行的.所以△ACO的面积与△OCD的面积相等，那么阴影部分的面

积等于扇形。CD的面积，为TTX62X2=6TT.

6

11.（1）如图（1）,一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都

是空地，绳长8米，小狗的活动范围是多少平方米？

（2）如图（2）小狗不是被拴在4处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少

平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，兀取3.14）

(2)

【答案】（1）175.84；（2）163.28

【分析】（1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为270。、半径为8米的扇形，和两个圆

心角为90。、半径为4米的扇形，总大小为

31

-7Tx82+-x7Tx42x2=567T=175.84（平方米）.

（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90。、半径为6米的

扇形，以及两个圆心角为90。、半径为2米的扇形.总大小为

111

-X7rx82+-X7TX62X2+-X7rx22x2=527r=163.28（平方米）.

12.如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形OCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边

三角形，分别以8、。为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.（n=3.14）

【答案】8.58

【分析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以

r2=32x2=18,

如上图将左边的阴影翻转右边阴影下部，

S阴影=S扇形一S柳叶

60x2/I

=--X181T—2（x18IT—3x3

360\4

=18-3K

=8.58.

13.先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2czn为半径作弧，形成曲边三

角形（如下图）.再准备两个这样的图形，把一个固定住（下图中的阴影），另一个围绕着它

滚动，如下图那样，从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方

厘米？（TTas3.14）

2

3

【答案】25.12cm2

【分析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的

方向确定了，才能实施具体的计算.

Er、

在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就

是它在所有方向上的宽度都相同.

为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：

第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点4的上方滚动到顶点4的左边时，这时阴影“莱

洛三角形”滚动的这部分面积是以力为圆心、2cm为半径、圆心角为60。的扇形.在顶点A、B、

C处各有这样的一个扇形；

第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边48上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作

是以图⑶中。点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心

。运动的轨迹是图⑶中的弧0。'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、

4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；

综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积.

滚动时经过的面积是：

60\，76060\

3x71X22X+3xTCX4/X-----HX2」9X

360/360360/

=871

=25.12(cm2).

14.正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上,

那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么

三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留7T）

【答案】24TT+15

【分析】如下图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120。的圆弧，所以路线的总长

度为：

120「，，

2TTx6x——x2=（厘米）；

ACBA

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120。的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为:

TTX62X—x2+15=24TT+15（平方厘米）.

360

15.如图，一只狗被栓在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是4米，求狗所

能到的地方的总面积？

3

【答案】43.96平方米.

【分析】如下图，狗被栓在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是4米，狗

的活动区域可以分割成三个部分：

蓝色部分是一个半径为4米、圆心角为300度的扇形：

360-60=300（度）

红色部分是两个同样的边长为1米、圆心角为120度的扇形：

4-3=1（米）,180-60=120（度）

所以狗能到的地方的总面积为：

300120丁,„

3.14x4x4x--+2x3.14x1x1x--=43.96（平万米）

360360

16.一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I（如下图）.让这个长方形绕

顶点B顺时针旋转90。后到达长方形n的位置，这样连续做三次，4点到达E点的位置.求4

点经过的总路程的长度.（圆周率按3计算）

【答案】5

【分析】如下图，4点旋转所经过的为三段四分之一圆的弧长，其中人=4,小=3.

由勾股定理知:

22222

r2=ri+r3=4+3=25,

则

r2=5.

17.如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个

半径为10厘米的小扇形.（圆周率取3.14）

【答案】412平方厘米

【分析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知,

现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式5扇=寥.

可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60。，那么

^AOC=120°,又知四边形ABC。是平行四边形，所以乙4BC=120。，这样就可求出扇形的面

积和为6x券x兀x1。2=628（平方厘米），阴影部分的面积=1040-628=412（平方厘米）.

18.如图，在3x3方格表中，分别以4E、尸为圆心，半径为3、2、1,圆心角都是90。的

三段圆弧与正方形4BCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比Si：S2=?

【答案】5:3

【分析】如下图,

仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形B1CD1的

面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出.

所以，

2222

Si的面积=f3-7ix3x^-(2-Trx2x1)

=5x(1-》

同理可求得带形S2的面积：带形$2的面积=曲边三角形BRDI的面积-曲边三角形B2CD2

的面积=3x(1—所以，SI：52=5：3.

19.已知三角形是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm,求阴影部分的面积.

【答案】3.85cm2

【分析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形4BC的面

积之差，所以阴影部分的面积为：xgy+|TTx(|)2-1x4x2=2.5TT-4=3.85(

cm2).

20.如图，4BCD是平行四边形，AD=8cm,AB=10cm,Z.DAB=30",高CH=4cm,弧

BE、OF分别以4B、CO为半径，弧DM、BN分别以40、CB为半径，则阴影部分的面积为

多少？（精确到0.01）

【答案】5.83cm2

【分析】因为四边形4BCD是平行四边形，AD=8cm,AB=10cm,^DAB=30",所以

S扇形E4B=S扇形FCD=10"X券=g兀（cm2）,

S扇形D4M=S扇形BCN=82兀x熬=学兀（cm2）.

2

因为平行四边形4BCD的高CH=4cm,所以SaABCD=10x4=40（cm）.

由图中可看出，扇形瓦4B与FCD的面积之和，减去平行四边形4BCD的面积，等于

曲边四边形OFBE的面积；平行四边形4BCD的面积减去扇形ZMM与扇形BCN的面积，等

于曲边四边形DMBN的面积.则

S阴影=$曲边四边形川咕£一,曲边四边形DMBN

=（2S扇形E4B—SCJABCD）一（S口4BCD—2s扇形口出）

=2X（S扇形E4B+S扇形D4M—S口ABCD）

=2X管兀+芋兀-40）=2X售x3.14-40）«5.83（cm2）.

21.如图中三个圆的半径都是5c772,三个圆两两相交于圆心.求阴影部分的面积和.（71取

3.14)

【答案】39.25(czn2)

【分析】

将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为

5x5X3.14+2=39.25(cm2).

22.已知图中正方形的边长是2,分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形的中心,

求图中阴影部分的面积.

【答案】2n—4

【分析】r2=2,S阴影=TTM-2?=2TT—4.

23.如图，等腰直角三角形4BC的腰为10；以4为圆心，EF为圆弧，组成扇形4EF；两个阴

影部分的面积相等.求扇形所在的圆面积.

【答案】400

【分析】题目已经明确告诉我们4BC是等腰直角三角形，4EF是扇形，所以看似没有关系

的两个阴影部分通过空白部分联系起来.等腰直角三角形的角4为45度，则扇形所在圆的面

积为扇形面积的8倍.而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即

1.、,一

S扇形=5x1°x1°=50

则圆的面积为

50x8=400

24.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边4C长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所

示，三角形由位置I绕4点转动，到达位置II,此时B,C点分别到达4,Q点；再绕4点转

动，到达位置III,此时4,七点分别到达人2，。2点.求。点经Ci到。2走过的路径的长.

【答案】厘米.

【分析】由于BC为4C的一半，所以ZCAB=30。，则弧CCi为大圆周长的嗤

JoU1Z

弧GC2为小圆周长的i,而CC1+的。2即为C点经C1到C2的路径，所以C点经C1到c2走

过的路径的长为

515065「，，

2nx20x---1-2nx10x—=—n+5n=—（厘米）.

12433TiI'

25.如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都是空

旷，绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，请问：山羊的活动范围有多少平方米？

（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，兀取3）

【答案】98

【分析】山羊的活动范围如图所示，绳长为6米，面积为

300,12098?r十、„

心*兀*62+2义不、兀'292=『=98（平方米）.

3603603

26.△ABC为等腰直角三角形，。为半圆中点，为半圆直径.已知4B=BC=10,那么阴

影部分面积为多少？（圆周率取3.14）

【答案】32.125

【分析】设BC中点为0,连接。。，则0D=5,0B=5,BP:P0=AB-.0D=10:5=2:1,

211?1112

BP=5x-=3-,PO=OB-BP=S-3-=S=-xABxBP=-x10x3-=16-,

33332AARP233

c1r42.1

SAopD=-x5xl-=4-f

阴影部分的面积为16i|+：xnx52-4：=12+,Y-ii=32.125.

34624

27.如图，已知扇形B4C的面积是半圆面积的q倍，则角C4B的度数是多少？

【答案】60度

【分析】设半圆4DB的半径为1,则半圆面积为）x12=5扇形B4C的面积为］义；

V.因为扇形B4C的面积为TTNX芸，所以，7TX22X-^=^,得到n=60,即角C4B的度

3SoU36U3

数是60度.

28.如图所示，一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时,

扫过的面积是多少？（兀取3.14）

【答案】36.56

【分析】扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为120度的扇形，长方形

总面积2X4X3=24,扇形总面积为12.56,所以，扫过的整个面积是36.56.

29.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m,求狗所

能到的地方的总面积.（圆周率按3.14计算）

3

【答案】43.96m2

【分析】如图所示，狗活动的范围是一个半径4m,圆心角300。的扇形与两个半径1m,圆

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

30.面上有7个大小相同的圆，位置如图所示.如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面

积是多少？（7T取3.14）

【答案】20

【分析】阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形.这个图形可以割补成一个顶

角为60。的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等

于两个圆的面积，为20.

31.如下图，以04为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以。点

为中心旋转90。，问：三角形扫过的面积是多少？（IT取3）

o

【答案】99平方厘米.

【分析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形

的面积与四分之一圆的面积之和.圆的半径就是直角三角形的斜边。4

因此可以求得，三角形扫过的面积为：

1

24+-XTTX10X10=24+25TT=99（平方厘米）.

32.图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】12.765

【分析】如下图，为了方便说明标上字母，并称曲线四边形BCFE的面积为“①”.

将扇形ABC的面积称为“大扇形”，扇形CDF的面积称为“小扇形”，长方形BCDE的面积称为

“长方形”.

阴影部分面积=大扇形-①，①=长方形-小扇形.

所以有

阴影部分面积=大扇形-（长方形-小扇形）=大扇形+小扇形-长方形.

11

-X52X7T+-X22XTT-2X5»29X3.14+4—10=12.765（平方厘米）.

33.如图，ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转

90。，分别求出四边扫过图形的面积.

【答案】

DC:4n

AB:4n

AD\——

4

【分析】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆呢，如图:

DCB,

因此DC边扫过图形的面积为4n,BC边扫过图形的面积为争.

研究边的情况.

在整个边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是4点，因此整条线段所扫过部分应

该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

DCB,

下面来求这部分的面积.

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形ACA，面积+三角形A'B'C面积一三角形ABC面积一扇形BCB，面积=扇形ACA'面积一

扇形BC夕面积==--=4TT.

44

研究边扫过的图形.

由于在整条线段上距离C点最远的点是4最近的点是。，所以我们可以画出4。边扫过的图

形，如图阴影部分所示：

用与前面同样的方法可以求出面积为：粤-W=旋转图形的关键，是先从整体把握一下”

变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的.先不去考虑具体数据，

一定要把思路捋清楚.最后会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏“在那儿，一定会有.

34.如图，直角△4BC的斜边4B长为10厘米，^ABC=60°.此时BC长5厘米.以B为中

心，将△4BC顺时针旋转120。，点4C分别到达点E、。的位置.求4C扫过图形的面

积.（1T取3）

【答案】75平方厘米.

【分析】

1

扇形的面积=-n(^B2-AC2)

1

=-TTX(100-25)

=75(平方厘米).

35.求下图中阴影部分的面积.（IT取3）

【答案】100平方厘米

【分析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出

阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手.这样，平移和旋转就成了我们首选的方

法.

（法1）我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，

其中①、②面积相等.易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边4B的

长度未知.单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右上图所示，则

①、②部分变为一个以4c为直角边的等腰直角三角形，而4C为四分之一圆的半径，所以有

AC=10.两个四分之一圆的面积和为150,而①、②部分的面积和为gx10x10=50,所

以阴影部分的面积为

150-50=100（平方厘米）.

（法2）欲求图中阴影部分的面积，可将如上左半图形绕B点逆时针方向旋转180。，使4与

C重合，从而构成如右上图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角

三角形的面积.所以阴影部分面积为

11

-xnx102--x10x10=100（平方厘米）.

36.如图所示，一个半径为1的圆绕着边长为4的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的

面积是多少？（7T取3.14）

【答案】44.56

【分析】两个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形即为该圆扫过的面积，ix7TX22X

4

4+2x4x4=44.56.

37.如图，与CO是两条垂直的直径，圆。的半径为15,是以C为圆心，ZC为半径的

圆弧.求阴影部分面积.

【答案】225平方厘米

【分析】阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半

圆加上三角形4BC再减去扇形ACB的结果.

半圆面积为|X7TX152,

三角形4BC面积为

1

-x(15+15)x15=152,

又因为三角形面积也等于jxAC2,

所以4c2=2x152,

那么扇形4CB的面积为

901

-----X7TxACZ9=-x7Tx2x1549

3604

阴影部分面积

S阴影=S半圆+s三角形一S扇形

11

=-X7TX152o+152o——X7Tx2x152

24

=225.

38.如图所示，48CD是一边长为4cm的正方形，E是4D的中点，而尸是3c的中点.以C

为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G,以尸为圆心、半径为2cm的四分之一

圆的圆弧交EF于"点，若图中Si和S2两块面积之差为nur-"cm?）（其中租、n为正整

数），请问m+n之值为何？

BC

E

【答案】ii

【分析】(法1)SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形此口=1x兀x4?=4兀(cm?),

S扇形BFH=[X兀x22=兀(cm2)，而

S1_£=S扇形BCD_S扇形BFH_SCJFCDE=4兀一兀一8=3兀-8(cm2),

所以zn=3,n=8,m+n=3+8=ll.

(法2)如右上图，S+Si=-S扇形3FH=2x4-2x2x7T+4=8—7r(cm2),

S+S2=SABCD一S扇形BCD=4x4—4x4X71+4=16—4兀(cm2),

所以，S]—512—(8—7T)—(16—4TT)=37r—8(cm2),故?n+?i=3+8=11.

39.已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积.(TT=3.14)

【答案】5.7平方厘米

【分析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算.从图中

可以看出，阴影部分的面积是一个45。的扇形与一个等腰直角三角形的面积差.

由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以0即=62.8+3.14=20.

因此

S&AOB=04X02+2=0邓+2=10（平方厘米）.

由于△A0B是等腰直角三角形，所以=20X2=40.

因此

$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面积}&={\rm\pi}\times{ABA2}\times\dfrac{{45}}{{360}}

\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{（平方厘米）}.\end{split}$

所以，阴影部分的面积等于：15.7-10=5.7（平方厘米）.

40.在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线.请证明：一定存在3个点，以它

们为顶点的三角形面积小于g

【答案】略

【分析】证明：将半径为1的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是g根据抽屉原

理，至少有三个点在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即£

O

41.如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）

3

【答案】

16

【分析】图中4B两部分的面积分别等于右边两幅图中的4、B的面积.

所以S4+SB~(1.5271—1.5x3)+4+(3^TT—3x3x2)+8=—H4+9+8=—.

'[、416

42.如图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积.(兀取3.14)

【答案】4;4.56;8

【分析】（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形

面积的一'半.即4x4+2+2=4.

（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一

个完整弓形，面积为工x4x4x3.14-；x4x4=4.56.

（3）割补法，正好赢第二问的过程赢来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之

和正好是等腰直角三角形的面积，即4x4+2=8.

43.如图，正方形4BCD的边长为4厘米，分别以8、。为圆心以4厘米为半径在正方形内画

圆.求阴影部分面积.（兀取3）

【答案】8

【分析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整

体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积.

解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.

则阴影部分的面积为=1.TT.42-4X4=8；

解法二：连接4C,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，

所以阴影部分面积=2x（i-7T-42-4x44-2）=8.

44.如图，正方形边长为1,正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影

部分面积.（TT取3.14）

【答案】7.14

【分析】把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如下图所示的图形，可见，阴影部

分的面积等于四个正方形面积与四个90。的扇形的面积之和，所以，

=4xS.+S圆

=4XI2+TTXI2

=44-n=7.14.

45.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12,那么阴影部分面积是多少？（n

取3.14）

【答案】阴影部分面积为113.04.

【分析】方法一:：设小正方形的边长为a,则三角形4BF与梯形ABC。的面积均为

{CL4-12）xa+2.

阴影部分为：

大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不规则部分

=大正方形-右上角不规则部分

*

=40-

因此阴影部分面积为：

3.14X12X12+4=113.04.

方法二：

连接AC、DF,设4尸与CD的交点为M,由于四边形4CDF是梯形，根据梯形蝴蝶模型有

S&WM=S^cMF，所以

=

S阴R日影影=S厩由形锵3.14X12X124-4=113.04.

46.图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4,阴影部分

的面积是多少？（n取3.14）

4

【答案】4.56

【分析】如下图所示，将下图阴影部分对折，则有：阴影部分面积为:

11

—nx492——x4x4=47i—8=4.56.

42

47.如图（1）是一个直径是3厘米的半圆，是直径.如图（2）所示，让人点不动，把整

个半圆逆时针转60。，此时B点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

(兀取3.14)

C

(6T

ABAB

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面

积与一个圆心角为60。的扇形面积之和.因此阴影面积等于圆心角为60。的扇形面积，即;x

O

71X32=4.71.

48.如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段4B、BC、CO滚到位

置②.如果4B、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（兀

取3.14,答案保留两位小数.）

【答案】228.07

【分析】小圆滚动时所经过的区域如下图所示.

半圆FEQ、半圆/KL的面积之和是4兀平方厘米；长方形FGBQ、BHIP、的面积之和是

（18+16+14）X4=192（平方厘米）;

60°的扇形BGH的面积为

18TT

-X4o2X7T=—；

PIMNO部分的面积为（12+TT）平方厘米.

所以总面积为

87r23…，

4兀+192+可+12+兀=204+—7i®228.07（平万厘米）.

49.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取

3.14）

【答案】1.42

【分析】看清楚阴影部分如何构成则不难求解.左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一

个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的

差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形.则为：^X4x4-^x2x2-4x2=3x3.14-

44

8=1.42.

50.如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以4点为轴沿逆时针方向旋转60。，此时B点

移动到夕点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为c