椭圆的标准方程教学设计 高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题3.1.1椭圆的标准方程教学目标1.让学生认识椭圆的定义，体会从具体情境中抽象出椭圆的过程，并学会建立适当坐标系，利用定义求椭圆的标准方程。2.让学生体会椭圆标准方程的简单运用，能根据简单的信息求椭圆的标准方程。教学内容教学重点：1.椭圆的定义和椭圆的标准方程。

2.会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。

教学难点：1.椭圆标准方程的推导。

2.用椭圆的定义求椭圆的标准方程。教学过程一．引入同学们，我们今天就进入章节：《圆锥曲线与方程》了。早在公元前4世纪，古希腊的数学家便发现用平面去截圆锥面，可以得到不同的曲线：用不经过点的平面截圆锥面，设平面与轴所成角为，轴与母线所成角为.当时,截线为圆；当时，截线为椭圆；当时，截线为抛物线；当时，截线为双曲线。古希腊先贤们将它们统称为圆锥曲线。这节课，让我们从椭圆开始，翻开这一数学世界中的宏伟篇章。二．椭圆的定义.想研究椭圆，让我们先回顾一下圆的形成过程。我们知道，将一根定长的细绳一端固定，则另一端可以画出一个圆。类比圆的形成方式，我们能否用类似的方法来形成一个椭圆呢？取一条定长的细绳，用两个图钉把细绳两端分别固定在图板的两点处，用铅笔绷紧细绳，也即是视频中蓝色的线，然后我们移动笔尖。我们发现，笔尖的移动过程中，画出了一条光滑的闭合曲线。这种曲线就叫椭圆。问题1：在笔尖的移动过程中，有什么量保持不变呢？自答：我们不难发现，笔尖到两个定点的距离之和始终等于绳长，保持不变。问题2：改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？自答：此时细绳被完全拉直，形成线段.问题3：绳长能小于两图钉之间的距离吗？自答：此时无法使得细绳一端固定到定点时另一端达到.综合问题1-3，我们不难总结出，要想画出椭圆，细绳的长度需要大于两个定点之间的距离.下面，我们可以给出椭圆的完整定义：平面上到两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.过渡语言：我们知道，椭圆可以通过用平面截圆锥面得到，它是一种圆锥曲线。下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的直角坐标系来求椭圆的方程。问题4：如何建立坐标系？自答：考虑到，在椭圆定义中为定点，所以我们以所在直线为轴，又考虑到两点具有明显的对称性，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设椭圆的焦距，则的坐标分别为.我们知道，求曲线的方程即是寻求曲线上点的横、纵坐标所满足的数量关系，所以我们设点为椭圆上任意一点.下面来寻找等量关系。根据椭圆的定义，点在椭圆上的充要条件为.利用两点之间的距离坐标公式代入，即问题4：如何化简这个方程？自答：由于式子中局部含有根式，我们势必要通过平方来消除根号。如果直接平方，得到式子整理难度仍然很大。而如果我们先通过移项得到式子，再将它平方则会得到展开观察：此时方程中有若干项都可消掉，整理得对式子再平方，整理后可得到这就是椭圆的方程。不难发现，椭圆的方程是一个二元二次方程。我们希望将方程写成更简单的形式，关注到椭圆的定义，我们有，即，所以，设，则，再把式子两边同时除以，得，这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在轴上。焦点的坐标为：问题5：根据椭圆的标准方程，能否得到椭圆上的特殊点的坐标？由该式，我们很容易得出时，，时.这说明椭圆与轴的交点为以及，与轴的交点为以及.问题6：类比焦点在轴上的情况，若椭圆的两个焦点落在轴上且关于原点对称，我们能否得到它的方程？自答：此时焦点的坐标分别为，设，由，可得，对该式我们可以直接化简，但考虑到我们已经化简了焦点在轴上的情形，我直接将两种情形进行类比，则此方程可化简为，这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程，其中.现在我们已经认识了椭圆的标准方程，那么问题7：对于一个确定的椭圆方程，我们能否判断其焦点是在轴还是轴呢？自答：注意到，焦点在轴时，所对应的分母为，而焦点在轴时，所对应的分母为。也就是说，只需比较和所对应的分母，谁的分母更大，焦点就在其对应的坐标轴上。也就是说：对于椭圆，时，其焦点在轴上，时，其焦点在轴上.过渡语：现在，我们已经掌握了椭圆的标准方程的知识，下面让我们小试牛刀，用两个例题来巩固我们对知识的理解。例1：求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：（1）；（2）（3）（1）已知方程是椭圆的标准方程，由可知,这个椭圆的焦点在轴上，且，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.（2）已知方程是椭圆的标准方程，由可知，这个椭圆的焦点在轴上，且，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.注意到方程不是椭圆的标准方程，（3）先化为标准方程：.由可知，该椭圆的焦点在轴上，且，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10.（2）焦点坐标为和，且经过点.（1）关注到椭圆的焦点在轴上,故可设其标准方程为由椭圆的定义知,所以.又因为,所以.因此,所求椭圆的标准方程为（2）关注到椭圆的焦点在轴上,故可设它的标准方程为已知焦点坐标及椭圆上一点,由椭圆的定义可知因此.又因为,所以.因此,所求椭圆的标准方程为也可以利用方程思想解决本问题：故可设椭圆方程为，将代入即可解得，故所求方程为