2025年高考数学专项复习：双曲线（1大考向解读）解析版

专题16双曲线

考情概览

命题解读考向考查统计

1.鬲考对双曲线的考查，重点是

(1)双曲线的定义、几何图形和标准

方程。2023・新高考I卷,16

(2)双曲线的几何性质(范围、对称双曲线的离心率2024•新高考I卷，12

性、顶点、离心率、渐近线)。

(3)直线和双曲线的位置关系及综合

应用。

’2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。n卷是双曲线与数列的综合问题,

后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低,

在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线

的定义和离心率、渐近线。

试题精讲

一、填空题

22

1.(2024新高考I卷-12)设双曲线2=1伍＞0/＞0)的左右焦点分别为耳、石，过耳作平行于＞轴的

ab

直线交C于A,B两点，若I耳41=13』/切=10,则C的离心率为.

3

【答案】j

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|，月|,结合双曲线第一定义求出X周，即可得到。,仇。的值，

从而求出离心率.

22

【详解】由题可知4昆与三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入♦一4=1

ab

得y二±以，即一故同=^—=10,1^47^1=—=5,

又卜2a,得H4|=M&|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入土=5得/=20,

a

「63

故c~+〃=36,,即c=6,所以e=L,

近年真题精选

一、填空题

1.（2023新高考I卷-16）已知双曲线C：=-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为大，片.点A在C上，点B

ab

__________2___

在y轴上，不，耳瓦酩=-§豆豆，则c的离心率为.

【答案】m/jV5

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到|/闻,|陋|,忸耳］，M姆关于出加的表达式，

从而利用勾股定理求得。=加，进而利用余弦定理得到应。的齐次方程，从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得/=:0,为=-：/,产=402,将点A代入双曲线C

得到关于6,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设以阊=2加,则忸阊=3加=忸卜,|4月|=2a+2加,

在Rtzk/5片中，9m2+（2a+2m）2=25m2,贝5|（a+3⑼（。一机）=0,故。=加或〃=一3根（舍去），

所以|/胤=4%|4周=2°,忸£|=忸匐=3〃，则|/同=5-

AF_4tz_4

故cos/片力用=X

AB5a5

所以在△/“中，“鸟=弋”/整理得5c2=9A

依题意，得月(—c,0),居(c,0),令/(%,%),3(0/),

_______2__.252

因为=-］玛5,所以-=则/=§。/()=-［，

又有,而，所以百.踮=1|c,-|,(c,/)=gc2-|»=0,贝！］/=4°2,

2222

又点A在C上，贝！|—9c—9t］，整理得2空5r2-4产%=1,则?与5r-1号6r=1,

ab

所以25c2〃一16c2/=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),

整理得25c4-50匹2+9/=0,则(5c?=0,解得5c?=9/或5c2=/,

又e>l,所以e=述或e=@(舍去)，故6=述.

555

故答案为：*5.

5

必备知识速记

一、双曲线的定义

平面内与两个定点斗，区的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于区用）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛M|〔I"用-|九啊|=2°（0<2°<闺可）｝

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=由用时，点的轨迹是以月和月为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段耳耳的垂直

平分线.

（3）2a>|耳阊时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条例耳闻>2。”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的值），注意

的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

2222

标准方程亍一3=1(Q>0,6>0)会-1r=1(Q>0,/)>0)

图形

a

耳(0,-c),

焦点坐标£(-c,0),F2(C,0)F2(0,C)

对称性关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4（一。,0）,4（〃,o）4（0,。），4（0,-。）

范围|x|>a1…

实轴、虚轴实轴长为2a,虚轴长为2b

「冬(e>1)

离心率e=Ea=\

a

令，。2Tx,人「一a

渐近线方程a2b2b

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为6

>1,点（%,%）在双曲线内>1,点（%,%）在双曲线内

点和双曲线X2J2（含焦点部分）y2x2（含焦点部分）

------------------S—

222

的位置关系a2b=1,点（%,%）在双曲线上ab=1,点（%,%）在双曲线上

<1,点（X。,%）在双曲线外<1,点（X。,%）在双曲线外

共焦点的双2222

22

-------~=1(-/<k<b)/-----Y-=1(-〃2<k<b)

曲线方程a2+kb2-ka2+kb2-k

共渐近线的2y222

二X一与=4(4w°)4-总=4(4wO)

双曲线方程abab

=

切线方程‘哈—碧二L（Xo/o）为切点^T~~7TL(x()/o)为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中尤2换为，换成便

切线方程…

得.

/X%）歹二1(工0，歹0)为双曲线外一

ab2~理一等=1,(%,%)为双曲线外一点

切点弦所在

ab

点

直线方程

点(/Jo)为区叉曲线与两渐近线之间的点

1殳直线与双由1线两交点为/(4必)，B(x2,y2),kAB=k.

Jl+左2-|%1-X|=+*，|%一%|(左。0)，

用弦长2

弦长公式

1+%2)2-4中2=£,其中是消“y”后关于“X”的一元二次方程的

1X1--^2=V(X

一同

X2”系数.

2b2

通径通径(过焦点;且垂直于耳耳的弦)是同支中的最短弦，其长为竺

a

双曲线上一片P(x°Jo)与两焦点月凡构成的"g成为焦点三角形，

设/耳尸6=6),|「耳|=4，|Pg|=&，贝hos6=l-----,

rir2

(xojo)

声弋

焦点三角形

2

Sy=".八sin。,2b|c%,焦点在x轴上

sinu—■b—八一<.,.,..，

l-cos<9tang［。/，焦点在丁轴上

I

焦点三角形咛।一般要用到的关系是

'附1一附||=2a(2a>2c)

尸片“盟卜in/片尸E

［忸周2=|尸尸

「+附「-2附|附|cos4；即

等轴双曲线涉^足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线oa=Z)o离心率e=^o两渐

等轴双曲线

近线互相垂堇Lo渐近线方程为>=±xo方程可设为X2-/=2(2*0).

【双曲线常用结论】

1、双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为也.

a

2、点与双曲线的位置关系

对于双曲线二-4=1（。>6>0）,点尸（%,%）在双曲线内部，等价于另一号>1.

abab

点尸（X。，%）在双曲线外部，等价于国■一色<1结合线性规划的知识点来分析.

3、双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6；顶点到两条渐近线的距离为常数也；

C

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数噂；

C

4、双曲线焦点三角形面积为一J（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）

ta/

2

5、双曲线的切线

22

点在双曲线・-斗=1（a>0,6>0）上，过点M作双曲线的切线方程为理-理=1.若点

abab

22

在双曲线二-占=1（a>0,6>0）外，则点〃对应切点弦方程为笑-写=1

abab

名校模拟探源

一、单选题

22

I.（2024•甘肃兰州•三模）已知双曲线C:」--土=1（加>0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近线

3m+2m

方程为（）

]F）

A.y=±-xB._y=±-xC.y=+2xD.y=±0x

22

【答案】C

【分析】先得到方程，求出加=2,得到双曲线方程和渐近线方程.

【详解】由题意得j3%+2=2A/^，解得m=2,

22

C:匕-土=1,故渐近线方程为了=±2》.

82

故选：C

22

2.（2024・浙江绍兴•三模）已知耳，耳为曲线C：'+'=1（仅*4）的焦点，则下列说法错误的是（）

A.若m=l,则曲线C的离心率e=3

2

B.若"=-l,则曲线C的离心率6=

2

C.若曲线C上恰有两个不同的点尸，使得/与尸月=90。，则机=2

D.若机＜0,则曲线C上存在四个不同的点尸，使得/与尸8=90°

【答案】C

【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.

【详解】对于A,当加=1时，曲线C是椭圆，离心率e=3H=1,A正确；

22

对于B,当，"=-1时，曲线C是双曲线，离心率6=乂运=正，B正确；

22

对于C,当m=8时，曲线C是椭圆，其短半轴长6=2,半焦距c=J』=2,

显然以线段丹外为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的加可以是8,C错误；

对于D,当加＜0时，则曲线是焦点在x上的双曲线，贝力大£|＞4,

以线段与匕为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点尸有4个，D正确.

故选：C

22

3.（2024・安徽•三模）过双曲线C:与-]=1（。＞6＞0）的下顶点尸作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐

ab

近线相交于两点，若标=2可7,则C的离心率为（）

A.—B.V3C.273D.3

3

【答案】A

【分析】过点尸作另一条渐近线的垂线FAT于AT,借助双曲线的对称性计算可得即可得离心率.

b

【详解】过点尸作另一条渐近线的垂线尸于由对称性可得忸=

由标=2而7，则有|收卜2,”|,贝！=

故4N0M=',故2N0F=',=tan---=tan—=73,

故选：A.

22

4.(2024・全国•三模)己知双曲线C：］一2=1.>0,6>0)的左、右焦点分别为£,F2,且离心率为

e=也，过点月的直线/与C的一条渐近线垂直相交于点。，贝iJtanNDGB=()

A.1B.|C.2D.3

【答案】A

【分析】设焦点工匕0),根据题意求点。的坐标和的值，进而画出图象即可解决.

a

【详解】不妨设焦点g(c,o),其中一条渐近线为y=2x,则直线1的方程为y=-?(x-c),

ab

过点。作X轴的垂线，垂足为77,如下图:

22

5.(2024•四川成都•三模)已知双曲线1-看=1(。>0,8>0)的左焦点为耳，点。为坐标原点，点M

ab

为双曲线渐近线上一点且满足|儿名|=过耳作X轴的垂线交渐近线于点N,已知囚明|=乎|巧|,则

其离心率为（）

A.2B.y/3C.与D.V5

【答案】D

【分析】设两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可.

故设点以一|",必卜（-"2）,

不妨设MN均在尸纥上，贝u必=一生,%=一",

a2aa

•.•|町=卓附，F（~c,O）,

b、.「

「•一=2,故离心率为e=—=

aa

故选：D.

6.（2024•山西阳泉三模）已知双曲线C:\-2=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，耳，双曲线的右支上

ab

TT

有一点4/月与双曲线的左支交于点8,线段/鸟的中点为且满足月，若/耳/鸟=1,则双曲

线C的离心率为（）

A.2B.V6C.V?D.V13

【答案】C

【分析】根据条件得匕是等边三角形，设的边长为加，结合双曲线定义得

用=6a,|Z闾=4°,在△必巴中，由余弦定理求得离心率.

【详解】

因为“是线段Ng的中点，且所以|/同=忸用，

又/8=],所以4/8鸟是等边三角形，

设△N8B的边长为加，由双曲线的定义知，|/蜀-|/阊=2°,忸闻-忸周=2°,

所以以用=加+2名忸周=加一2〃,

又|/胤一忸周二=/，所以加+2”(加一2a)=m,即加=4q,

所以|4周=6〃,|/闾=4Q,

在△四心中，由余弦定理知，僧用「=|/「+健月『-21ali/刃cosg,

所以(2c)2=36a2+16/-2X6aX4。*g=28/

即c=ga,所以离心率e=£=V7.

a

故选：C

22

7.(2024•宁夏银川•三模)已知双曲线氏5-%=1(°>0/>0)的左、右焦点分别为耳，耳，过点鸟的

直线与双曲线E的右支交于/,8两点，若|/却=|";|,且双曲线E的离心率为亚，贝IjCOS/B4F；=()

3s'311

A."B.——C.-D.——

8488

【答案】D

【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得忸用=2。，从而再得忸用=4°,由余弦定理求得cos/87笆，

由诱导公式得cos4巴耳，设|4用=〃7,贝!]|/胤=加+2。，再由余弦定理求得加，从而利用余弦定理求解即

可.

【详解】因为双曲线E的离心率为亚，所以c=缶，因为|/可=|/片

所以忸阊=|48|-|4阊=|/周一|4阊=2°,

由双曲线的定义可得忸周-忸闾=忸匐-2a=2a,

所以忸周=4a=2忸周，

在△8片乙中,

忸与「+山周2-忸片『_4a2+8/16a2V2

由余弦定理得cos片=

2忸闻M闻2x2。x2>j2a4

在△/百工中，cosZFXF2A=-cosZFXF2B=

设|/闾=加，^\AF\=m+2a,

由|/司2=|片与「+.与「一2|片段|4^cos/甲〉得

乎，解得机=+，所以|明吟

(2a+m)2=(2A/2(7)2+m2-2X2®a.m•

64/64a21,2

----+------16。1

99_1

所以cosNBN片==

2|/卜|明,SaSa8

2x——x——

33

8.（2024•湖南永州•三模）已知耳，耳分别是双曲线=1（。>0,6>0）的左、右焦点，点。为坐标

原点，过百的直线分别交双曲线左、右两支于A,8两点，点C在x轴上，CB=3F/,BF2平%NF\BC,

其中一条渐近线与线段交于点P，贝Ijsin/POE=（）

nV42「V43D.加

A.叵

7777

【答案】B

【分析】由赤=3项可得△耳/巴〜△耳8C,结合角平分线的性质和双曲线的定义可得

\BF^\AF^=\AB\=Aa,从而可得乙—月=60。，在记8工中，由余弦定理可得,=不“，进而可得

,而tanNPO£=2,从而可求解.

c7a

【详解】

如图・.・C5=364，:ARALBC,|片玛|=2C,\CF2\=4c9

设M耳上/厕I幽1=3力14S|=2t,

••此平分、少5，第15cl=I曷KCI=c2,

.-.|5C|=2|BFt|=6t,\AF^=^BC\=2t,

由双曲线定义可知IAF2\-\/用=/=2a,忸周-忸阊=2",

:.\BF^=\AF^\=\AB\=Aa,即44典=60°,

在△耳典中，由余弦定理知

“好|空『+怩引2-1片片F(64+(旬2_(24

cosZFBF.=j-----r——n---；------=-------------..-

2\FXB[\F2B\2.6Q.4Q

化简得c=V7a,由/+/=,2得2=卢，

C7

不妨令一条渐近线与线段48的交点P在第一象限，贝!ItanN尸Og=2，.-POF,="^.

ac7

故选：B

【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由赤=3不可得右片/月〜A£8C,结合角平分线的性质和双曲线的

定义可得忸甩=M阊=|43|=4。，从而可得N/88=60。.

9.（2024•天津河西•三模）已知£,8是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且

7T

/片尸工=§,若椭圆的离心率为q,双曲线的离心率为e?,则e；+e；的最小值为（）

A.3+V3B.C.D.4

22

【答案】C

2222

【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：=+今=1，=-a=1，易得a\b；=a；+b；=/,设

axa2b2

\PF\=m]PF^=n,利用椭圆和双曲线的定义得到加=%-出，"=%+电，然后在△期月中，利用余弦定理

13

得到&+言=4,然后利用基本不等式求解.

【详解】解：如图所示:

2222

设椭圆和双曲线的方程分别为：—+77=1,-=

axb{a2b2

由题意得—b；=a；+b；=c1,

设p片卜私=贝（J加+〃=2〃i，〃一加二2出，

解得加=q-%,〃=%+%,

在△尸片名中，由余弦定理得：区对=|尸£「+「国2_2|尸司尸B「cos4%,

即（2c）2=（q-2）2+（%+电）2_（%_〃2）（Q]+电），化简得=Q：+3"；,

,13,

贝广+二=4,

eie2

所以》=*+或）:+卦。+:+41

>11<2层•至+/-2+g

-43；e；+4J-2，

当且仅当冬=苓，即/=&；时，等号成立；

e\e2

故选：C

22

10.（2024•浙江杭州•三模）己知双曲线3-与=l（a,6>0）上存在关于原点中心对称的两点N,B,以及双

ab

曲线上的另一点C,使得。8c为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

【答案】A

【分析】设点/（》/）,则可取C卜回,瓜），代入双曲线方程整理可得<="上与，结合渐近线列式求

JCCLI3D

解即可.

【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为/=±2尤，

a

设点/（》/）,则可取。卜岛,底）,

二上=i

则一；/2,整理得一=3『+£＜》,

3y3x2x2a2+3b2a2

[―■—=1

解得〃＞/,即可得＜＞2,贝!]e=££＞后,

aa\a

所以该双曲线离心率的取值范围是（后,.

故选:A.

【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点/（X/）,根据垂直和长度关系可取。卜后,氐卜

2.根据渐近线的几何意义可得：

xa

二、多选题

22

11.（2024•河北邯郸•三模）已知双曲线C:」----匚=1,则（）

2+63-2

A.2的取值范围是（-6,3）B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

【答案】AC

【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<2<3,判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得

C项，先算出离心率的表达式，再根据4的范围，即可确定e的范围.

22

【详解】对于A,-----匚=1表示双曲线，，（几+6）（3-㈤>0,解得-6<4<3,故A正确；

4+63-A

对于B,由A项可得-6<4<3,故4+6>0,3-4>0,「.C的焦点只能在x轴上，故B错误；

对于C,设。的半焦距为贝!|。2=九+6+3-4=9,，c=3,即焦距为2c=6,故C正确；

3I______________________

对于D,离心率e=/,*/-6<2<3,0<〃+6<3,的取值范围是。,+8）,故D错误.

故选：AC.

22

12.（2024•河北保定•三模）已知双曲线C：1T一方=1（“>0,6>0）的左、右焦点分别为片，F2,过点耳

的直线与C的左支相交于尸，。两点，若尸。，尸乙，且4|尸0|=3|尸闾，则（）

A.\PQ\=2aB.PFl=-2QFl

C.C的离心率为近D.直线尸。的斜率为±4

3

【答案】ACD

【分析】设|尸耳|=x,|。胤=了，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A,B选项;

再结合勾股定理可以求得见。的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正

切值可以求得直线的斜率.

【详解】如图，由4|PQ|=3|尸闾，可设|尸1=3加，|尸阊=4忆

因为尸0，小，所以|凿|=5加.

设卢耳|=x,口耳|=',贝！］4〃Lx=2a,5m-y=2a,x+y=3m,解得加=三，

贝!|X=H，7=—，

所以户0|=2a,故A选项正确；西=2用，故B选项错误；

在△理外中，由附「+忸闻2=闺可，得,+竽=皑，则/=?，

从而C的离心率为姮，故C选项正确.

3

又tanN班;工=%=4,所以直线P。的斜率为±4,故D选项正确.

故选：ACD.

13.（2024・贵州贵阳•三模）双曲线u£-4=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为点用外，斜率为正的渐近

ab

线为4,过点互作直线4的垂线，垂足为点A,交双曲线于点P,设点M是双曲线c上任意一点，若

24

|*="组总晔="则（）

A.双曲线C的离心率为追

B-双曲线C的共轨双曲线方程为「一土1

C.当点〃•位于双曲线C右支时,

4

D.点M到两渐近线的距离之积为《

【答案】ACD

【分析】利用三角形面积公式得。6=2,再利用余弦定理得6=2%则解出双曲线方程，再利用离心率定义

和共朝双曲线方程的含义即可判断AB；对C,计算得总=1+的，再根据|〃工合石-1的范围即可判

断；对D,〃(%,%),利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.

【详解】如图，因为H"|=6,所以忸闾=守,

则又空2=32.—=：,所以仍=2,又忸周=@+2”，

内片「+|%|2-尸解b

在△尸尸2月中，cos/wy；=

2|玛可附7

2

化简得6=2a,所以。=1,6=2,c=石，双曲线C方程为X?-L=i,

4

对于A,双曲线C的离心率为£=VLA正确；

a

对于B,双曲线C的共轨双曲线方程为己-无2=1,B错误;

4

\MF.\\MF,\+22,,r-

对于C,-।=1+]——r,因为MF,2石-1,

JJ21

\MF2\\MF2\\MF2\

对于D,渐近线方程为y=±2x,设

..41+--v2

点M到两渐近线的距离之积为卜2无。一%|=四一用=（4厂。=3,D正确，

75忑—-—5—-5—5

故选：ACD.

2222

14.（2024・山西吕梁•三模）已知椭圆斗+与=1（。1＞伉＞0）的离心率为q,双曲线■-a=1（出＞0也＞0）

axb[a2b2

的离心率为4,两曲线有公共焦点片，工,夕是椭圆与双曲线的一个公共点，ZFXPF2=60°,以下结论正确的

是（）

A.a：_婚=b：一22

131

B.7方+:方=1

4e；4e；

C.早=3岑

25V3

D.若02©[6,2],则qe

13'H

【答案】BCD

【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中

4/=a；+3而变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.

【详解】根据题意，设耳（《⑼,据（。,0）,

_T2=2

对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得；*-2,所以〃；-斤=〃；+片，

的+W=C

即吊-第=厅+公，所以A错误；

pp_pp-2a

对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得p二"。之，

PFX+PF2=24

所以|尸周=ax+a2,\PF2\=a1-a2,

又由余弦定理得闺入「=|尸用2+「闾2_2户片卜归闾cos60。,

可'4c2=2Q；+2Q；-（Q；-电）=a；+,

所以/万+]＞+，所以B正确；

4e；4e；4c4c4c

对于C中，由吊―，=3°2—3城，可得计=3眩,所以C正确；

对于D中，因为6£卜/^,2],所以,

e2L43_

[3]「"13-9/T-3伺

由”+==1可得不£3,-,所以,所以D正确.

4,4/q4」133

故选：BCD.

22

15.（2024・重庆•三模）已知双曲线C:\-匕=l（a>0）的左，右焦点分别为片,4,尸为双曲线C上点，且

a16

△期月的内切圆圆心为/（3,1）,则下列说法正确的是（）

B.直线的的斜率"

A.a=3

C.AP/M；的周长为§D.鸟的外接圆半径为§

【答案】ACD

【分析】对于A,根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件片工、F/、"以

及与各个所需量的关系即可求出/尸44=2/44、NPF2A=2gA和NF』K，进而可依次求出直线PF1

的斜率、结合焦三角形面积公式邑=（咫+%+么巴”得APF\E的周长、结合正弦定理得△尸片外的外

△门厂122

接圆半径.

【详解】如图1,由条件，点P应在双曲线C的右支上，

设圆/分别与△尸片片的三边切于点M、N、A,则由题/（3,o）,

且忸M=|PM，阳MT耳H，闪W=|%4|,

又引尸耳|-|尸闾=|耳闾一I取V|=M周一向）=（肛+C）-（CTQ=2XL2a

由选项A得片（/―5,0）、,鸟（/5,0）、,连接与、/、IA,贝！Jtan/邛/=舄"=$1,

~7/cl/c八lA2tan/邛/16，一支

所以电=tan/呻=tan2/3/=匚荷芝丽=dB选项错误;

4

同理，tan/"Z=tan24=§,

「.tan/片”=-tm(ZPF{A+ZPF2A)=-y,

NF\PF23

「.=>tan!——-=—,

22

s_b2_32

所以由焦三角面积公式得以"尸2一NF\PF「F,

tan[——-

2

又S—=(%”'+3"，故得冏|+|叫+叱|=墨

，△尸耳片的周长为6茎4，C选项正确；

1212

由tan一片P耳=一二二sin^FlPF2=—,

由正弦定理.=2R得R=2,D选项正确.

smZFiPF212

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、△打；£的周长、△期月的外接圆半径的关键是根据已知条件

耳4、84、"以及与各个所需量的关系即可求出/尸片/=2乙//、NPF2A=2〃BA和NFfK.

三、填空题

16.（2024•湖北荆州三模）已知双曲线C:=-W=i5>o）经过点（2,1）,则C的渐近线方程为,

a

【答案】y=±^~x