2025年高考数学专项复习：平面向量-解析版

专题03平面向量

考情概览

命题解读考向考查统计

平面向量的线性运算2022・新高考I卷，3

高考对平面向量的考查，一^殳为平面向

2023・新高考I卷,3

量基本定理、坐标运算、平面向量数量平面向量垂直的坐标运算

2024•新高考I卷，3

积的运算、化简、证明及数量积的应用

平面向量夹角的坐标运算2022•新高考II卷，4

问题，如平行、垂直、距离、夹角等问

2023•新高考n卷，13

题的计算，难度一般不高。平面向量数量积的综合运算

2024•新高考II卷，3

’2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷和n卷都考查到了平面向量的垂直运算，n卷还结合了数量积的综合运算。总体上

来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向

量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，

体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、

向量的夹角、向量的模。

试题精讲

一、单选题

1.(2024新高考I卷-3)已知向量1=(0,1)石=(2,X),若必甸,则尤=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为必(鼠甸，所以",-甸=0,

所以12_41芯=0即4+--4X=0,故X=2,

故选：D.

2.(2024新高考II卷-3)已知向量2花满足问=1巾+24=2,且倒-2Z)_L5,则忖=()

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由0-2可力得看=2屋g，结合同=申+2+2,得i+元.坂+店=1+67=4,由此即可得解.

【详解】因为但-2可耳，所以(加-2°”=0,即片=27石,

又因为忖=1,|。+2*2,

所以1+4H+47=1+6尸=4>

从而w=q.

故选：B.

近年真题精选

一、单选题

1.(2022新高考I卷-3)在“8C中，点。在边N2上，BD=2DA.记而=而，而=方，则而=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA,所以诙=2E，即丽-Q=2(B-而)，

所以赤=3函一2否=312而=-2玩+3加.

故选：B.

2.(2023新高考I卷3)已知向量£=。,1)花=(1,-1),若夕+码斗+闷,则()

A.4+〃=1B./1+//=-1

C.M=1D.=一1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出3+与，2+而，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为。=(1,1)花=(1,一1),所以a+与=(1+41-4),。+痴=(1+〃,1一〃)，

由(a+&)_L(a+可得，(〃+刀)(〃+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1_冷(1_〃)=0,整理得:"/=-1.

故选：D.

3.(2022新IWJ考n卷・4)已知向量〃=(3,4)1=(l,0),c=〃+4，若<a,c>=<瓦c>,则，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】c

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：3=（3+训,侬伍3〉=3他可,即^^=百,解得/=5,

故选：C

二、填空题

1.（2023新高考II卷T3）已知向量G,B满足忖一4=G,归+可=怩-可，则问=.

【答案】V3

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令1=万-3,结合数量积的运算

律运算求解.

【详解】法一：因为口+可=忻-可，即,+盯=侬-盯，

贝Ua+2a-b+b=4a—4a-b+b»整理得/-2屋3=0，

又因为归_可=5即卜-盯=3,

则/一2二族+片=/=3,所以W=6.

法二：^.c=a-b>贝！）H=/,a+^=c+2不,2a-各=2c+兀

由题意可得：（。+2否）=（2°+否）,则—+41.石+4卞=412+4之.3+1~,

整理得：了=片，即同=口=e.

故答案为：V3.

必备知识速记

一、向量的线性运算和向量共线定理

C1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

二一①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求G与B的相反

向量的和的

减法a-b=3+(-B)

运算叫做万与Ba

的差三角形法则

(1)|旗|=|刈方|

2(//5)=(2//)3

求实数4与向量(2)当2〉0时，/IN与方的方向相同；当

数乘(4+jLi)a=45+〃方

a的积的运算几＜0时，2a与G的方向相同；

A(a+b)=2a+2b

当4=0时，25=0

二、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果2=4(/leR),贝iU/区；反之，如果3/区且3*6,则一定存在唯一的实数X,使@=加(口诀:

数乘即得平行，平行必有数乘).

2、平面向量基本定理

如果自和［是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量3,都存在唯一的一对实数

4,4，使得)=40+^e2，我们把不共线向量6,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛-e?｝,

\ex+^e2叫做向量值关于基底,0｝的分解式.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△/5C中，若点。是边5C上的点，&BD=ADC(4w-1)，则向量"在

1+几

向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌

握.

平面内三点B,C共线的充要条件是：存在实数4〃，使反=20+〃砺，其中2+〃=1,O为平面

内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

/、B、C三点共线

o存在唯一的实数彳，使得就=彳刀；

。存在唯一的实数X,使得无=厉+几方;

O存在唯一的实数X,使得方=(1-⑷厉+彳砺；

=存在2+〃=1,使得云=疝+〃砺.

5、中线向量定理

如图所示，在△/BC中，若点。溟边8c的中点，则中线向量近=；(次+X),反之亦正确.

三、平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与'轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量7作为基底，那么由平面向量基

本定理可知，对于平面内的一个向量值，有且只有一对实数xj使2=后+引，我们把有序实数对(xj)叫做

向量彳的坐标，记作a=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是---对应的，即有

向量(X/)、一对应、向量OA、一对应:、点A(x,y).

(3)设万=(再b=(x2,y2),则〃+石=(玉+%2,%+%)，a-b=(xx-x2,yl-y2),即两个向量的和与差

的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若N=(x,y),几为实数，则然=(Ax,4y),即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐

标.

(4)设4(演,必)，B(x2,y2),则45=05-。4=(%1-%2,必一歹2)，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段

的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

①已知点4(石，必)，B(X2,y2),则45=(工2-石，外-必)，|/箕|=J(>2—再了+>

②已知5=(和乂)，b=(x2,y2),贝!J1±B=(再±x2,yx±y2)，42=，

5

晨b=x{x2+必%'ll=旧+..

a//b<=>xxy2-x2yx=0,GJ_Boxxx2+yxy2=0

(5)/、P、5三点共线O丽=(1一。刀+£砺«£氏)，这是直线的向量式方程.

四、数量积的坐标运算

已知非零向量。=(再，必)，b=(x2,y2),6为向量〃、》的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=yjaa|a|=Jx+y

数量积a'b=\a\\b\cos0ab=x1x2+yxy2

cosd=acos*,〃+产

夹角

〃的充要

ab=0xxx2+yxy2=0

条件

a〃办的充要

a—%从w0)再%-x?必=0

条件

•川与|。||加|«-*|<|a||*|（当且仅

1天也+乂％氏旧+y；小;+y；

的关系当"〃Z>时等号成立）

【平面向量常用结论】

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且孱石国矶店I.

（2）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当心3>0且）/4（彳>0）（或。石<0,且3H%（2<0））

（3）B在万上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

（4）数量积的运算要注意2=0时，a-b-0,但3•5=0时不能得至U3=6或5=0,因为时，也有

a-b=0.

（5）根据平面向量数量积的性质：115AM，cose=&=万/二。等，所以平面向量数量积

\a\\b\

可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

一、单选题

1.2024•广东深圳•三模）已知向量耳，耳是平面上两个不共线的单位向量，且方=不+2当，灰?=-3耳+2瓦,

刀=3瓦-6瓦，则（）

A.A、B、C三点共线B.A、B、。三点共线

C.A、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【答案】C

【分析】根据向量共线则a=泥（XeR）判断即可.

【详解】对A,因为方=可+22，前=-3瓦+2瓦，不存在实数4使得方=4数，故A、B、C三点不共

线，故A错误；

对B,因为48=4+2瓦，DA=3^-6^,不存在实数几使得9=九初i,故A、B、。三点不共线，故B

错误；

对C,因为就=在+就=-2耳+4卷,方3=3瓦-6瓦，贝！|%=-g方3,故A、C、。三点共线，故C正

确；

对D,因为灰~BD=-DA-AB=53=-3e,+6e2-e,-2e2=-4e,+4e2,不存在实数彳使得

BC=ABD,故8、C、。三点不共线，故D错误.

故选：C

2.(2024・广西•三模)已知向量3=(-1,3)石，B,那么向量B可以是()

A.(1,3)B.1一1,£|C.(3,-1)D.(3,1)

【答案】D

【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】对于A,因为(-1,3)-(1,3)=-1+9=8力0,所以万万不垂直，故A错误；

对于B,因为(-1,3)11,\=1+1=2*0,所以落B不垂直，故B错误；

对于C,因为(-1,3).(3,-1)=-3-3=-630,所以不垂直，故C错误；

对于D,因为(-1,3)-(3,1)=-3+3=0,所以故D正确.

故选：D

3.(2024•浙江•三模)已知向量£=(%/)，3=(也-1),若3力与5垂直，则同等于()

A.V2B.V3C.3D.6

【答案】B

【分析】根据3)-否与石垂直，可得(3°-q4=0,即可求出加，再根据模的坐标公式即可得解.

【详解】3a-b=(2m,4),

因为3)-B与3垂直，

所以(3【5”=2/_4=0,解得加2=2,

所以'=slm2+1=y/3.

故选：B.

4.(2024•重庆•三模)已知向量3=(3,1),3=(-2,x),若3JLm+B),则仍h()

A.2B.3C.2#)D.

3

【答案】C

【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量X即可求得B,进而得

【详解】因为为1+X）,

所以。G+1）=3+（1+X）=0,nx=-4,故3=（-2,-4）,

所以W=J（-2了+（-4）2=26.

故选：C.

5.（2024•北京•三模）若|矶=1,后|=2,（2-而，2,则向量2与B的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根据®-3），万，得伍-5）与=0,结合数量积的运算律求出75,再根据向量的夹角公式即可得解.

【详解】因为伍所以m-很）方=0,

即/_鼠刃=0,所以1石=/=1，

一[a-b1

所以『6=丽=万,

又0°《扇74180°,

所以向量万与3的夹角为60。.

故选：B.

6.（2024•甘肃兰州•三模）已知向量，=（1,-2）3=（-1,-2）,设5与3的夹角为夕，贝ijsine=（）

3344

A.——B.-C.——D.-

5555

【答案】D

【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.

【详解】因为方=（1,一2）3=（-1,一2）,

所以〃%=—3,同

a-b3

所以c°s小丽一，

因为0为日与B的夹角，所以sind=Jl-cos?©=g.

故选：D

7.（2024•河北衡水•三模）已知是单位向量，1£=-；,则，+2■与I的夹角为（）

71712兀

A.B.一C—D.

64,3T

【答案】A

【分析】先计算向量1+2届的模，再计算1+2］与I的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案.

【详解】(q+24)=e：+4弓・4+4才=1-2+4=3,故+1+2电卜百.

(,+2,)=q+24=—'+2=2，设q+26与4的夹角为8，

则36=上+22)二1="又。目0,兀］,故6.,

k+2ez|.同石26

故选：A.

8.(2024•浙江金华三模)已知同=4,忖=3,归+*归-.,则鼠()一到=()

A.-16B.16C.-9D.9

【答案】B

【分析】由已知可得/+2标+片=/-2会+片，可求得菽=0,进而计算可求

【详解】由|。+,=|。-小两边平方可得7+2a£+片=/一2京Z+7，

所以否.£=0,所以("刃)=，-。；=42-0=16.

故选：B.

9.(2024•陕西榆林•三模)在A/8C中，E在边2C上，且后。=382。是边上任意一点，4E与CD交

于点P,若而=xE3+y而，则3x+4y=()

33

A.-B.——C.3D.-3

44

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算，nCP=CE+EP=tCA+［^-^^CB，再利用平面向量基本定理，可得

33

x==9-0，然后就可得到结果.

44

【详解】尸、E三点共线,设丽=画0</<1),

贝!］岳=屋+而=1屈+必=\在+/叵_：可=总+］；_；］屈，

__kk_33

又•.・CP=xCA+yCB,所以％=£/=:一:/,即3x+4y=3.

44

故选：C.

10.(2024•江苏苏州•三模)已知|1-彼|=|2)-B|=2,且2,-B在方方向上的投影向量为单位向量，贝1出|=

A.4B.2A/3C.4A/3D.6

【答案】B

【分析】根据题意，分别将|2"昨2与**2平方，然后作差可得3q=2/，再由条件可得

【详解】由题意可得|23一印=2,所以（21日=4,即一4a%+/=4,

所以4忖-40%+忖=4①，

因为+2,所以R—可2=4,即/一273+片=4，

所以，|+=4②，

①-②可得3问2=22%,即£%=羽2

又加-不在行方向上的投影向量为单位向量，

贝！|鼠族=342=6,代入②中可得4一2x6+p1=4,解得忖=26.

故选：B

11.。024•山西吕梁三模）已知等边^ABC的边长为1,点。,£分别为“风加的中点，若丽=3而，则赤=

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

D.-AB+-AC

22

【答案】B

【分析】取｛就，在｝为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在“8C中，取｛就，下｝为基底，

A

则困=网=2,再，现=60°,

因为点£>,£分别为8c的中点，DF=3EF,

所以访」历」旅，

24

所以#=方+丽=；（而+码+：元=g方+

故选：B.

12.（2023•黑龙江佳木斯•三模）已知非零向量I,B满足（2@+3），（2）-彼），且向量7在向量B上的投影

向量是则3与B的夹角是（）

4

71c兀一兀c5兀

A.-B.-C.—D.——

6326

【答案】A

【分析】根据侬+6）乂2々-B）,可得（2G+孙（23-与=0,结合数量积的运算律可得。雨的关系，再根

据投影向量的公式即可得解.

【详解】因为（20+山（2叫,

所以（23+孙（2力）=4/-7=0,

所以忖=2同,

因为向量］在向量B上的投影向量是立B,

即;cos点,，所以cos（a1）=V，

又因为«,书”［0,兀］,

所以3与B的夹角是J.

6

故选：A.

13.(2024•四川眉山•三模)已知向量万五5满足同=|可=1,同=6,且N+B+5=0，贝IJCOSR-33-，二

()

133637313

A.—B.2C.一二巳D.——

14141414

【答案】A

【分析】根据数量积的运算律求出京石、a-c.be,即可求出伍-沙但-q、|«-c|,^-c\,再根据夹

角公式计算可得.

【详解】由题意得3+否=_3,贝!|0+分)2=了2有E+2展B+E=(G)2,解得)石=；,

又由万+5=-3,则(,+?)2=必有『+2,.己+(g)2=]2,解得].1=一5，

一3

同理可得6七=-5，

所以伍一司•伍―1)=小3―小1_3・1+12=£,

\a-c\=>]a2-2a-c+c2=V7,

^b-c\=^b2-2b-c+c2=V7,

(fl-c)-(g-c)y_13

所以cos(,-乙

|5-c|.|^-c|一汨x汨一14

故选：A

二、多选题

14.(2024•安徽•三模)已知向量3=(1,2),3/=(3,1),则()

A.b=(-2,1)B.a//b

C.a±bD.)/在Z上的投影向量为Z

【答案】ACD

【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC,由投影向量的定义可判断D.

【详解】对于A,S=a-p-S)=(l,2)-(3,1)=(-2,1),故A正确;

对于BC,由于lxl-2x(-2)=5w0,lx(-2)+2x(-l)=0,故B错误，C正确；

//-»-\―\一（/—一、

\a-b]-a7\a-b\'a-5--

对于D,屋g在♦上的投影向量为'•符=~■a^--a=a,故D正确.

IHJHIN,

故选：ACD.

15.（2024•福建厦门三模）已知等边小8C的边长为4,点£>,£满足丽=2厉，BE=EC,AE与CD交

于点。，则（）

—.2—•1—•—._.

A.CD=-CA+-CBB.~BO.~BC=^

C.cd=2ODD.\OA+OB+OC\=43

【答案】ABD

【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出。为4E中点，。为CD上靠近点。的四等分点，

对选项进行判断，得出答案.

【详解】

A

对于A选项，CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA^=-CA+-CB,故A正确；

对于B选项，因为。8C为等边三角形，BE=EC,E为中点，所以/EL3C,

所以/0/8C,即而.於=0,所以而友=（诙+亚）及

=S4-5C+IO-5C=&4-5C=|A4||5C|COS60°=4X4X1=8,故B正确；

对于C选项，设的=4而，

由（1）^CD=-CA+-CB=-CA+-CE,所以。。=望0+彳国，

又。,4石三点共线，所以（+号=1,解得2=；,所以。为。上靠近点。的四等分点，故C错误;

—1―•1—13----1—.3

对于D,AE=-AC+-AB=-AC+-AD,设荏=前，贝!p/O=/C+Y。，

所以+又O,c,。三点共线，所以£+*=1,解得”2,

2t2t2t2t

所以。为4E中点，所以厉+砺+或=次+（砺+灰）=厉+2无=无=3荏，故D正确，

故选：ABD.

16.（2024•河南•三模）已知平面向量G=（m,加+2）,加ER,B=（3,4）,则下列说法正确的有（）

A.瓦B一定可以作为一个基底

B.|同一定有最小值

C.一定存在一个实数他使得卜+可加_可

D.或B的夹角的取值范围是［0,可

【答案】BC

【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借

助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.

【详解】对A：若1/区，即4加-3（〃7+2）=0,即加=6,此时不能作基底，故A错误；

对B：同=小〃2+（加+2）~=d2ml+4加+4=12（加+1『+32百，

故同有最小值百，故B正确；

对C：^\a+b\=\a-b\,贝情归+可2=口_12

即|同"+|可+2ab=|a|2+|/）|-2ab,即3彼=0,即3机+4（加+2）=0,

解得加=［,即当加=［时，|万+可=归一可，故C正确；

对D：由A知，若方/石，贝！|加=6,即用日只能同向不能反向，

故仇行的夹角不可能为兀，故D错误.

故选：BC.

17.（2024•山西•三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是

平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的

蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口凡它的边长为1,点P是△。口内部（包括边界）的动点,

则（）

A.DE=AF--AD

2

B.AC-BD=-

4

C.若尸为E尸的中点，则而在反上的投影向量为-由就

D.|厚+而|的最大值为疗

【答案】AD

【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据昉结合投影向量的

定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.

【详解】对于选项A：因为无=方-历=万一（而，故A正确；

对于选项C：由题意可知：CE1EF,

若P为EF的中点，所以屈在反上的投影向量为一反，故C错误;

对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，

可得刀=',4],丽=（0,6）,所以就.丽=；,故B错误;

设P（x,y）,可知一W乎，

故选：AD.

18.（2024・吉林•二模）已知平面向量3,b,c,同=26，问=6,莉=18，且但一己彼一或=60°,则

（）

A.3与B的夹角为30°

B.伍-打,-刁的最大值为5

C.同的最小值为2

1F17

D.=xa+yb（x,yeR）,则+＞的取值范围

【答案】ACD

【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项A,设谖=°,OB=b，~0C=c，根据已知条件求出向量

OA,OB,建立直角坐标系，将他-己)-0-q转化为瓦•赤即可求其最大值；根据图形可知点C的轨迹,

利用几何性质即可求出同的最小值；设出点C的坐标，根据已知条件，转化为三角函数求最值的问题求

解.

【详解】对于A,由于同=26，同=6,展彼=18,贝!l2A/^x6xcos〈a1〉=18,

则cos&,母=［，由于向量夹角范围为大于等于00小于等于180。，

故3与B的夹角为30。，则A正确；

对于B,设谖―，OB=b，而二，则第=£4,CB=b-c,

不妨设况=（26,0）,AAOB=3G°,

由于昨痴-Bp=112-2x18+36=25即/B=26，

故△0/8为等腰三角形，贝!|/B/x=60°,故8(36,3),

因为〈…1d〉=60。,所以〈B,而〉=60。，

则点C在以N3为弦，且使得N/C3=60。的两个优弧上，如图示：

故C点所在优弧所在的圆的直径为2r=任_=4,则其半径为r=2,

sin60°

设该圆的方程为(X-。)2+(y-6)2=4,将43坐标代入,

（273-a）2+Z?2=4

a=2^/3a=3Vs

,解得b=2或

（373-a）'+（3-ft）2=46=1

则两优弧所在圆的圆心为。(26,2),O2(3A/3.1),且两个圆心关于直线AB对称,

设N8的中点为M,贝=5.而

=(2m)MW=|^_3,

而仪至!］弦AB的距离为d=J/_(与了=J^5=1,

故|右必|的最大值为r+l=3,则由2_3的最大值为6,

即.-3)®-q的最大值为6,则B错误；

对于C,同即为|反结合C点轨迹可知当C在圆Q上的那条优弧上运动时,

国会取到最小值，由于。0=J(2道＞+2?=4,

故pq的最小值为4-厂=4-2=2,即同的最小值为2,则C正确；

对于D,结合以上分析可知之=(2^,0),B=(373,3)，

当C在圆J上的那条优弧上时，圆的方程为(尤-2百尸+Q-2＞=4,

设C(26+2cos6»,2+2sin6>),其中。e[2,g]，

62

贝!I由己=历+仍(WwR)可得(26+2cos6,2+2sin6)=x(2^/3,0)+J/(3A/3,3)，

6A•Q

x=——cosa-sin”

_1].(八兀2

解得：aBP-^+J=-sml6»+jl+y,

2.2

I33

所以;wgx+yWl,

当C在圆仪上的那条优弧上时，圆的方程为(x-3后y+Q-Ip=4,

设C(3G+2cos4l+2sin0),其中

62

贝！]由3=+历(x,yeR)可得(3百+2cos仇1+2sin=x(2百,0)+y。6,3),

x=—cos。-sin6+1

11.7l>5

解得：即Hn彳x+P=/sm^+―+—,

2-125\5Jo

I33

1171「17-

所以+综上所述，—x+＞的取值范围,则D正确;

22621_36_

故选：ACD.

【点睛】平面向量中的复杂问题，可以坐标化为纯代数运算来求解.

三、填空题

19.(2024•四川•三模)若向量Z=(x,4)与向量「=(l,x)是共线向量,则实数x=

【答案】±2

【分析】根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案.

【详解】因为Z与5共线，所以x・x=4xl,解得x=±2.

故答案为：±2

20.（2024•上海三模）已知向量。B满足间=2,网=3,归+*4,则鼠不=.

【答案】|3

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.

【详解】由同=2,|可=3,卜+可=4,得m+=片+庐+21.彼=4+9+2屐B=16,

所以小

故答案-为：j3

21.（2024•辽宁沈阳•三模）已知向量扇/满足同=2,（碗+炉=4,则忸+可=.

【答案】2百

【分析】根据数量积的运算律得到钻石+庐=4,再由|23+.=,（23+5）计算可得.

【详解】因为（41+孙14,所以4IZ+为=4,

又同=2,

所以恢+同=小侬+盯