2025年高考数学二轮复习专练：不等式（解析版）

2025二轮复习专项精练2

不等式

【真题精练】

一、单选题

1.（2024•北京•高考真题）已知（再,%）,（%，%）是函数y=2工的图象上两个不同的点，则

)

%+%《玉玉

A.log+%2B.logX+%)+%2

222222

C.log2%%-芯+%2D.log2%>%+%

2.（2024•上海•高考真题）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（)

A.a+Z?2>q+c?B.a2+b>a2-^-c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

3.（2022•全国•高考真题）已知9m=10,〃=10机一9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4.（2021•全国考真题）下列函数中最小值为4的是（）

|sinx|+」

A.y=x2+2x+4B.>=

sinx

C.y=2x+22-xD.y=\nx+—

Inx

5.（2021•浙江•高考真题）已知。，以7是互不相同的锐角，则在

sinccos#,sin#cossin/cos。三个值中，大于'的个数的最大值是（

)

2

A.0B.1C.2D.3

参考答案:

题号12345

答案BBACC

1.B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即

可.

【详解】由题意不妨设％1<%，因为函数>=2尢是增函数，所以0<2西<2"2,即

0<%,

XX

9192I---------画+42I西+巧

对于选项AB：可得/十/〉巧用2=2,即—匹〉2丁>0,

22

-+%2

根据函数y=log?X是增函数，所以厩2之产>1。822丁=七三，故B正确，A错误;

对于选项D：例如玉=。,々=1，则X=1，%=2,

可得log2%%=log2ge（0,1）,即log2H<1=%+/,故D错误；

对于选项C：例如玉=-1,入2=-2,则，1=5，，2=［，

可得现2入夏1=1082'|=10823-3€（-2,-1）,即10g21:%>-3=%+%,故C错误，

2X2

故选：B.

2.B

【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.

【详解】对于A,若c<6<0,则从<02,选项不成立，故A错误；

对于B,因为b>c,ikcr+b>cr+c,故B成立，

对于C、D,若。=0,则选项不成立，故C、D错误；

故选：B.

3.A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知根=bg910>l，再利用基本不

等式，换底公式可得相>lgU,bg89>〃z,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:（指对数函数性质）

由9'”=10可得初=bg910=整>1,

而ig9ign<g，1gHi=［等)<i=(igio)2,所

1g9「

以翁黑

即所以a=10皿一11>103“-11=0.

又lg81glO<Jg8；gl°)=僵2)<(ig9『,所以手,uplog89>m

所以6=8'"—9<8"%9-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

由9"'=10,可得iTog-。e(1,1.5).

根据“，6的形式构造函数/（工）=/-无一1（尤>1）,则7=-1,

令((x)=0,解得飞=机寸，由根ulogglOe(1,1.5)知不€(0,1).

/(x)在(1,+刃)上单调递增，所以了(10)>/(8)，即。>b,

又因为7(9)=9蚓°-10=0,所以。>0>b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，

属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数/5)=/一*_1(*>1),根据函数的单调性得出大小关系，

简单明了，是该题的最优解.

4.C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相

等，，，即可得出民。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=—l时取等号，所以其最小

值为3,A不符合题意；

对于B,因为0Vsinx|wl,y=|sinx|+-^-1>2^=4,当且仅当椀1,=2时取等号，等

sin

号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而厅>0,>=2工+22-'=2'+上22"=4,当且仅当

2

2，=2,即x=l时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+白，函数定义域为(O,1)U(L"),而InxwR且InxwO,如当

lnx=-l,y=-5,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确"一正二定三相等"的意义，再

结合有关函数的性质即可解出.

5.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/+sin/Jcosy+sinycosaW],从而可判

断三个代数式不可能均大于1,再结合特例可得三式中大于5的个数的最大值.

22

.22n

【详解】法L由基本不等式有sinacos尸4smc；cos),

口丁中.csin2Z?+cos2/sin2/+cos2a

I可埋sinpcosy<----£―--------,smycosa<-----------------,

3

故sincrcos/+sin夕cosy+sin/coscr(5,

故sinacosB,sinBcosr,sinycosa不可能均大于’.

2

亦_,TC门冗兀

取々=p=--7=-.

O34

贝Usinacos尸=；<；,sin/cosy=>；,sin/cosa=,

故三式中大于1的个数的最大值为2,

2

故选：C.

法2：不妨设a</3<y,贝|cosa>cos#>cos/,sine<sin6<sin/,

由排列不等式可得：

sinacos/?+sin£cos/+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa,

故sinacosf3,sinf3cosy,sinycosa不可能均大于一.

亦_,71cn冗

取々=丁,p=--7=-.

O34

则sinacos£=；<；,sin8cosy=>；,sin7cosc=,

故三式中大于5的个数的最大值为2,

2

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍

雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

【模拟精练】

一、单选题

1.（2024•北京丰台,二模）若a,6eR,且a>b,则（）

A.―：-<―：~-B.a2b>时

a+1b+1

coQ十8,

C.a2>ab>b2D.a>------>b

2

2.（2024,北京西城•一t模）设〃=%—,b=t+—,c=t（2+t^,其中—Iv/vO,贝U（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.（2024・云南昆明•模拟预测）设。=,,6=苧,c=当，贝I］（）

o1012

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

4.（2024•福建宁德•模拟预测）若两个正实数x,y满足4%+y=2盯，且不等式

工+=<加2-能有解，则实数机的取值范围是（）

4

A.{m|-l<m<2}B.{词m<一1或根>2}

C.{m|-2<m<1}D.{ml机v—2或机>1}

5.（23-24高一上•安徽淮北•阶段练习）下列条件中，为〃关于x的不等式如2_如+1>。对

VXER恒成立〃的充分不必要条件的有（）

A.0<m<4B.0<m<2C.l<m<6D.—l<m<6

6.（23-24高三上•江苏南通•阶段练习）已知A=B|x2—4x—m>01,

若AqB,则实数机的取值范围（）

A.[0,+co)B.(-<x),-3]

C.[-3,0]D.(-oo,-3]U[0,+oo)

7.（23-24高一上•江苏徐州•期末）若命题〃*wR,f+4x+/vo〃是假命题，则实数看的最

小值为（）

A.1B.2C.4D.8

8.（23-24高三上•江苏苏州•开学考试）若函数/（x）=Mnx+---三（〃。0）既有极大值

也有极小值，则〃£（）

A.B.（0,3）C.（0,；3（9,+⑹D.（0,3）U（9,+s）

二、多选题

9.（2024•甘肃陇南•一模）已知a,b,ce（O,«»）,关于x的不等式优+F>0的解集为

（-°°52），则（）

A.b>lB.a+c>b

1111D.(a-Z?+c)|---+-|>5-3V2

C.----+-<-------

abca-b+c\abcJ

10.（2023,山西•模拟预测）已知正实数a,6满足。+4》=2,则（）

,1119r-r-

A.ab<-B.2H+16Aft>4C.-+D.&+2扬24

4ab2

11.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知正数x,y满足x+2y=l,则下列说法正确的是

（）

A.孙的最大值为:B.f+4/的最小值为工

o2

13

C.6+7^的最大值为2退D.q+1的最小值为7+2m

14

12.（2024•全国•模拟预测）己知。>0,b>0且一+:=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+6有最小值二

2

C.2必+a有最小值26D.Jl6a2+b?的最小值为4/

13.（2023•广东汕头三模）^a>0,b>Q,a+b=4,则下列不等式对一切满足条件。力恒成

立的是（）

A.y[ab<2B.\[a+\[b<2

C.—+/?2>4D.-+->1

3ab

14.（2024・浙江•二模）已知正实数a,瓦c,且。>匕>c，尤,y,z为自然数，则满足

——r+~r~—1--->。恒成立的％y,2可以是（）

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y-2,z-lD.x=l,y=3,z=9

15.（23-24高三上•广东惠州，阶段练习）下列说法正确的是（）

A.函数y=优+2—2x（。>0,aw1）的图像恒过定点A（-2,5）

B."-I<x45"的必要不充分条件是"T〈x<6"

C.函数y（x—l）=-/（x+l）的最小正周期为2

D.函数y=，2尤+2+7^=的最小值为2

V2%+2

参考答案:

题号12345678910

答案DCABBBCABCDABC

题号1112131415

答案ABDABDACDBCAB

1.D

【分析】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

22

【详解】由于取。上=1=1,ab=ab=l,无法得到

a2+lb2+l2

~__7'Mb>ab2，故AB错误，

Q+1b+1

取〃=0,b=_2,则〃2=0,〃。=06=4,无法得到/>原>匕2,C错误，

由于贝所以——>b,

2

故选：D

2.C

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由-l<r<0,故*（-8,-1）,故°=—>0,

由对勾函数性质可得b=/+；<_（l+l）=_2,

c=（2+%）v0,且0=/，（2+/）=/+2/=（/+Ip—1>—1,

综上所述，有b〈c〈a.

故选：C.

3.A

【分析】构造函数〃x）=当，利用函数单调性确定6,C大小，通过作差a-6,判断正负

即可确定。/大小即可.

【详解】设〃X）=号，则令/'（同=匕手=0,得x=0

则在（0，6）上单调递增，在（血,+8）上单调递减，

b=f（布）,c=f（a）,则6>c,

p,1ln55-31n5lne5-lnl25八，口,

又。一力=------=-------=---------->0,得

6103030

所以

故选：A

4.B

【分析】根据题意，利用基本不等式求得尤+V的最小值，把不等式x+V</-机有解,

44

转化为不等式M-机>2,即可求解.

14

【详解】由两个正实数x，y满足4尤+>=2丐，得—+—=2,

xV

则■+2=2,

21V日m4^1

当且仅当一4x=六y，即y=4x=4时取等号，

y4x

又由不等式%+与<疗-根有解，可得病-根>2,解得m<-1或m>2,

4

所以实数加的取值范围为{加相<-1或相>2}.

故选：B.

5.B

【分析】先求出关于x的不等式加2—3+i〉。对VXER恒成立的充要条件，然后根据充

分不必要条件的定义即可求解.

【详解】若关于X的不等式座2_如+1>0对D]£R恒成立，

当机=0时，不等式等价于1>0恒成立，故根=。满足要求，

m>0

当mwO时，原不等式恒成立当且仅当|\2yl八，解得0<相<4,

A=-4m<0

综上所述，若关于x的不等式如2一如+1〉。对VXER恒成立，则当且仅当。<根<4,

而选项中只有0〈根<2是04根<4的充分不必要条件.

故选:B.

6.B

【分析】解不等式可得集合A,根据可得根©在(0,1)上恒成立，结合二次函

数的单调性即可求得答案.

1Y

【详解】解不等式一-<-1,即一-<0,/.0<x<l,

x-1x-1

即A=(o,l),

又AqB,B=^x|x2-4x-m>01,

故%之一4%-m20在(0,1)上恒成立，

即加《f—4x在(0,1)上恒成立，而y=f—4X在(0,1)上单调递减,

故丁>12-4=-3,故znW-3,

即实数m的取值范围为（-叫-3，

故选：B

7.C

【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求

解即可.

【详解】因为命题"上'eR,尤2+4尤+/<0"是假命题，

所以命题"VxeR,尤2+4尤+f20"是真命题，

因此有A=42-4r<0^>r>4,所以实数t的最小值为4,

故选：C

【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决

问题.

【详解】因为（）上三

/x=alnx+*0）,所以函数/（尤）定义域为（0,+8）,

由题意，方程r（x）=0,即"2一3x+i=o有两个不相等的正根，设为项,马，

△=9—4。>0

XfX2=—>0

故选：A.

9.BCD

【分析】举特殊值可判断A；令三=m：=n,结合题意得病+*=1,利用三角代换判断

bb

B；将伍-6+。）［,-：+』］转化为（加+〃-1）（^^一1）,令/=相+〃，继而转化为

\abc）mn

2；丁,再结合换元，利用函数的单调性，可求得］的范围，即可判

断C,D.

【详解】对于A,由题意知。，反ce（O,y）,关于x的不等式0的解集为

(-°o,2),

不妨取a=c=与力=1,则优—Z/+c*>0,即2（等

其解集为（-8,2）,即〃=。=曰力=1满足题意，故A错误；

对于B,1一bx+cx>0即（，）'+（7）%>1,

bb

令?=加，?=〃，由于不等式优>0的解集为（F,2）,

bb

故需满足0<根<1,0<〃<1,且疗+“2=1,

令加=cos6,"=sine,ee(0,/),则m+n=cos+sin=A/2sin(^+—),0e(0,—),

242

由于e+'e(工,羽)，则亚sin(6+工)e(I,0],即得加+心1,

4444

又a+c=Z?(根+〃)，故a+c>b,B正确；

1111/111、1/11八八,八

对于C,D,—+—=—(—+—I)=—(----+——--1)>0,a-b+c>0,

abcbmnbcosJsm夕

I1I11m+n

故(Q_/?+C)(-----F—)=(m+n—1)(——l----1)=(m+n—1)(-------1),

abcmnmn

Tllt2-l

^t=m+n=cos6+sina6£(0,—)tG(1,V2]，贝ljmn=----

2-2+i2/--+1

-1)=(?-1)•

产一1t+1

2

人，小后，、mu2t-t2+l2(r-l)-(r-l)2+l-r2+4r-2

令f+1=r,rw(2,+1],则-------=——————-——=----------

t+1rr

=4-(r+-),

r

由于函数y=r+—在(2,&+l]上单调递增，

r

故3=2+2<厂+多4夜+1+^3—=3夜-1,

2rV2+1

贝!|5—3夜44一(厂+2)<1,gp5-3V2<(a-Z?+c)(---+-)<l,

rabc

1

即J___L+』<__,(fl-Z>+C)|--1+-|>5-3V2,C,D正确,

abca-b+cbcJ

故选：BCD

【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强,

难度较大，解答的难点在于c,D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将

（0-6+。）［,-；+，］等价转化，再结合函数的单调性进行判断.

\abc）

10.ABC

【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.

【详解】对于A,因为2,4的工〃+44=2,所以就工!，当且仅当Q=4Z?=1,即

时，取到等号，故A正确；

4

对于B,2。+16"22也J16,=2x）2。+%=4,当且仅当a=4Z?=l,即。=l,b=；时，取到等

号，故B正确；

9

对于C,>—5+2=5,当且仅当

2

21

a=2b,即〃=§时，取到等号，故C正确；

对于D,（右+2折）=a+4b+4yjab<4,所以&+2斯（2,当且仅当a=4Z;=l,即

。=1,6=；时，取到等号，故D错误.

4

故选：ABC.

11.ABD

【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.

【详解】对于A：0x>O,y>0,x+2y=l.

£1

Sx-2y<xy<-.

LB48

\x=2y11

当且仅当/,,即x=4，y=T，取"=回A正确；

[x+2y=l24

对于B：x1+^y~={x+2y)2-4xy=1-4.xy,由(1)知孙W」，0-4xy>-—.

82

Ex2+4y2=l-4xy>1-^=^.[?]B正确；

对于C：(C+=x+2y+2jx・2y=1+2,十・2yKl+%+2y=l+l=2.

+而4e,回C错误；

对于D：f-+-^(x+2j)=l+^+—+6=7+^+—>7+2^,

yxyJxyxy

当且仅当马包，即

取"=回D正确.

xy

故选：ABD.

12.ABD

【分析】利用基本不等式可判断各选项.

14H~414

【详解】A选项：由2=上+之22,卢之，得必24,当且仅当土=不，即。=1,b=4时取

ab\abab

等号，故A选项正确;

B选项：a+b=^14\1Cb4a>15+2,b4q

—+—(a+7b)=—\5d---b——，当且仅当

ab'f2yababab

3

即〃=：,b=3时取等号，故B选项正确；

2

14

C选项：由一+：=2,得2ab—4a—b=0,

ab

所以2加。=5»[[+„+*]9+/半4小+2『^=£±产

当且仅当。=竺，即°=2m，6=2+百时取等号，故C选项错误；

ab10

D选项：由A的分析知"24且。=1,力=4时取等号，

所以疯万之后=40，当且仅当4。=力，即<2=1，6=4时取等

号，故D选项正确；

故选：ABD.

13.ACD

【分析】对于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；对于C,利用〃=4-〃，求出

+=|(^-3)2+4,结合。的范围，利用二次函数的性质即可求得.

【详解】对于A,a>0,b>0,a+b>2yfab,BP^ab<=2,当且仅当〃=b=2时等号

成立，所以A正确;

对于B,a>0,b>0,(4a+4b)2=a+b+14ab=4+2y[ab<4+2x2=8,

又&+扬〉0,则G+扬W20,当且仅当。=b=2时等号成立，所以B错误;

对于C,a+b=4,b=4-a>0,所以0<。<4,

则《+/=《+（4—〃）2=M—8〃+16=*（。-3>+424,并且a=3时等号成立.，所以C

3333

正确；

对于D,a>0,b>0,a+b=4f所以^