2025高考数学解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形（6大题型）（解析版）

解答墓..三廊为小、■鲁修得安柒鸟箫互窗影

°(KES°

题型一三角恒等变换与三角函数..............................................................1

题型二正余弦定理解三角形的边与角..........................................................3

题型三利用正弦定理求三角形外接圆..........................................................6

题型四解三角形中边长或周长的最值范围.....................................................8

题型五解三角形中面积的最值范围...........................................................10

题型六三角形的角平分线、中线、垂线.........................................................13

必刷大题....................................................................................16

题型一三角恒等变换与三角的数

念大题典例

1.(24—25高三上•河南•月考)已知向量用=(cosrc+sina;,V3sinx),n=(COST—sin%,2cos劣),函数g[x}

=man.

(1)求gQ)的最小正周期；

(2)若函数/3)=g(c)—a在区间[0,5]上恰有两个零点,求实数a的取值范围.

【答案】⑴兀；⑵[2).

【解析】⑴g(劣)=m-n=cos2a;—sin2a;+2V3sina;cosT,=COS2T+V3sin2rc=2sin(2/+f)

(力)的最小正周期T=~^~=7U；

令"=22+4,.FC[o4],.•.uC[■1■考],

由图知，当l<aV2时，g=2sina(〃e的图象与直线g=a有两个交点,

・•・实数Q的取值范围为［1,2).•••

解法指导

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降塞公式降幕，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a—2sinacosa(S2a)；cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a(C2ff)

(2)降塞公式：cos2a=1+片,sin2ff=~叩2a,

2、再通过辅助角公式“化一"，化为"=Asin(a)x+(p)+B

3、辅助角公式：asina+bcosa—Va2+d2sin((7+0),其中tan(p

a

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：

一般将32+0看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的

问题(零点问题),通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题,再借助图象进行分析。

s变式制练

2.(24-25高三上•江苏常州・月考)如图，已知函数/(/)=2sinOc+G(o>0,|w|<5)的图象过点

A(0,l)和B(g,—2)(g>0),且满足|4B|=U.

(1)求/0)的解析式；

(2)当rrC[―已,1]时,求函数/(为值域.

【答案】⑴/(±)=2sin(筌c+*);⑵[0,2]

【解析】(1)由A(0,1),B(x0,—2)(T0>0),\AB\得谟+9=13,g>0,则g=2

又/(0)=1,即sin®=:,|w|■得3=看，

由/(2)=-2,得sin(2co+~^")=—1,

\o7

根据图象可知20+专=呼，解得°=穹

"0)=2sin(T/+。).

(2)VxG[—}j]^3~X+]~G，故+聿)[0,1],

fQ)=2sin(要①+「)E[0,2],即/(%)的值域为[0,2].

,3O7

3.(24—25高三上•北京•期中)已知函数/(2)=sin2rc+2sinxcosa;—COS2T.

⑴求/Q)的最小正周期;

（2）求不等式/（为＞—1的解集；

（3）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件,求m的取值范围.

①f（x）在（0,m）有恰有两个极值点；

②/（为在（0,小）单调递减；

③于⑸在（0,小）恰好有两个零点.

注:如果选择的条件不符合要求，0分;如果选择多个符合要求的条件解答,按第一个解答计分.

【答案】⑴兀；⑵*"W/W亨+k兀#⑶答案见解析

【解析】（1）因为/（x）=sin2a;+2sinj;cosT—cos2rc=2sin力cos6—（cos2x—sin2a;）=sin26—cos2/二

A/2sin（2x—）.

所以/（劣）的最小正周期为亳二=7T.

（2）因为J（T）=，^sin（2力一子）＞—1,即sin（2c—（■）,

则一+2%兀＜26—+2kn,kGZ,解得％兀《力&+4兀,kEZ,

所以不等式/（力）＞一1的解集为{/,兀《力&竽+k兀,kez}.

⑶因为66（0,772），所以21—手G（—j,2m—于）.

若选择①：因为f{x}在（0,771）有恰有两个极值点.

则萼V2m一弓&萼，解得WVMW坐，

242oo

所以小的取值范围（萼,止］;

若选择②：因为/（力）在（0,m）单调递减

当2c—卞e时，/（,）函数递增，

所以/（乃在（o,m）不可能单调递减，所以②不符合题意；

若选择③：因为f（x）在（0,771）恰好有两个零点.

则兀＜2m—Y＜2兀，解得粤~＜m&等~,

所以小的取值范围（粤,萼］.

,3oJ

题型二正余弦定理解三角册的边与角

S大题典例

4.（24-25高三上•福建南平•期中）在锐角△ABC中，角所对的边分别为a,b,c.已知

cos2（A+B）="1"

⑴求tan2C；

（2）当仁=20,且匕=^^时，求Q.•••

【答案】（1）—亨；（2）半

【解析】（1）因为cos2（A+B）=—告,

所以cos2（A+B）—sin2（A+B）=―1~,即cos2C—sin2C=―1~,

所以cos2。一sin2c_]—tan?。___3

cos2C+sin2C1+tan2C4'

所以tan2C=7,

又因为。为锐角，所以tanC=，7,

所以tan2C=2tan°=_4

1—tan2c3

⑵由（1）知tanC=〃7且。为锐角，

所以cosC=,

所以c2=a2+〃_2abcosC,即4a?=a2+]一2ax亨乂号,

所以12a2+V14a—7=0.解之得a—

解法指导

利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

⑴已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化;若将条件转化为

边之间的关系,则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论:利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，

并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

S变式训练

5.(24-25高三上•江苏苏州•月考)记△4BC的内角/,8,C的对边分别为a,b,c,已知a(V2-cosB)

=2bcos2等.

(1)证明：b+c=V2a；

⑵若a=2,tanBtanG=3,求sinA.

【答案】(1)证明见解析；(2)sinA=1

【解析】⑴由已知结合正弦定理，得sin4，^—cos_B)=2sirkBcos2等，

化简得sinA(V2—cosB)=sinB(l+cosA),

艮!7sinAcosB+cosAsinB+sinB=V2sinA,

所以sin(A+_B)+sinB=V2sinA,

又/L+_B=7U—C,所以sinB+sinC=A/2sinA,

故由正弦定理得b+c=V2a.

(2)因为tanBtanC=3,所以=3,

cosBcosG

所以sinBsinC—cosBcosC=2cosBcosC,

所以一cos(B+C)=2cosBcosC,

结合石+<7=兀->1,可得一cos(_B+C)=cosA,故cosA=2cosBcosC,

由(1)知b+c=V2a=2A/2,

(b+c)2—41—2

由余弦定理得cosA=°弋-4T-W1,

2bc2bc

则,T=2・——•号产

be4c4b

化简得16—8bc—(4+c2—b2)(4+62—c2)=16—(b+c)2(b—c)2,

代入b+c=2V2,整理得16—8bc=16—8(6—c)?,所以be=§■,

5

所以cosA=*---1=4",

be4

故sinA=V1—cos2A=---.

4

6.（24-25高三上•上海・期中）在/XABC中，角4B、。所对的边分别为a、b、c,已知a=5.

⑴若A=看，b=3c,求c；

o

⑵若A=3，5csin8=3b,求△ABC的周长.

6

【答案】(l)c=;(2)15+3V3或7+3V3.

【解析】⑴根据余弦定理o?=b2+c2-2bccosA,已知a=5,A=当，b=3c.

将b=3c,a=5,cosA=代入余弦定理公式可得：

52=（3c）2+。之—2x3cxc义［化简得c?=孕

解得。因为边长不能为负，舍去一弓1）.

（2）已知5csinB=3b,由正弦定理［=''可得5sinCsinB=3sin_B.

sinBsmC

因为sinBW0,可得sinC=.

5

因为Q=5,_A=2，QVC时。有两解（C为锐角或钝角）.

6

当。为锐角时，COS。=W.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC,sinA=],cosA=

ZtOZiO-LU

5

再由正弦定理/五=，可得b=遮畔■=5x且呼亘X2=(4+3V3).

smz)smAsmA10

cQasinC=5xgx2=6.

可得c

sin。sinAsinA5

此时二角形周长为a+b+c=5+(4+3A/3)+6=15+3A/3.

当C为钝角时，cosC=—各.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC=]x(—曰)+§x1~=3—J.

由正弦定理，可得6=誓呼=5xa咚?x2=(3V3-4).

smBsmAsmA1U

caasinC3

，可得c==5x^-x2=6.

sinCsinAsinA5

此时二角形周长为a+b+c=5+(3,\/3—4)+6=7+3A/3.

则△ABO的周长为15+3/§或7+3，§.

题型三利用正裁定理求三角也外接展

9大题典例

川+02—Q2二

7.(24—25高三上•全国・专题练习)△4BC的内角。的对边分别为a,b,c,已知

ab

2sin°B—siii04

sin°sin°A

⑴求。的大小；

(2)若△ABC面积为6居,外接圆面积为粤乃，求△ABC周长.

O

【答案】⑴春；⑵18

【解析】(1)•••>+c-2=2sindsin%=2b—a

absin°AQ

/.afe=fe2+a2—c2,

b2+a2-c2_1

cos0一2ab~1

••ce(o,兀)，二。*

o

(2)设AABC外接圆的半径为7?,

由S圆=兀/？2=粤■兀，得R=7y,

oo

因为’77=2R="③，解得c=7,

smC3

i

S^BC—1absin°C—6V3，所以ab=24,

又c?=〃+稼—而=g+b)2—3ab,

所以49=(Q+b)2—72，故a+b=n,

所以4ABC周长a+b+c=18.

解法指导

利用正弦定理：」7=/不=177=2五可求解三角形外接圆的半径。

smAsmBsmC

若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径

的范围。

S变式训练

8.（24-25高三上•海南・月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB=5,8。=3西，人为钝

角，sinA=.

5

(1)求sinZ.ABD；

⑵若瓦7=5,求ABCD的面积.

【答案】⑴答;⑵15

4

【解析】（1）因为4为钝角，sinA=,所以cosA=—

由余弦定理得

整理得AD2+8AD-20=(AD+10)(4D—2)=0,解得AD=2(负根舍去),

2xt_2V5

ADBDADxsinA

由正弦定理得sinZABD=

smZ-ABDsinABD3V5—25

（2）由于圆的内接四边形对角互补，所以sinC=sinA=§且。为锐角，则cosC=3,

55

在三角形BCD中，由余弦定理得：

(3e)2=52+CD2_2X5xCDxW,CE>2_8GD_20=(CD-10)(CD+2)=0,

解得CD=10(负根舍去)，

所以三角形BCD的面积为春xBCxCDxsinC=JX5X10X*=15.

9.（23-24高三下•浙江•模拟预测）如图，在平面内的四个动点A,B,C,。构成的四边形ABCD中,

AB=1,BC=2,CD=3,AD=4.

D

（1）求AACD面积的取值范围；

（2）若四边形A8CD存在外接圆，求外接圆面积.

【答案】（1）（0,2遍）；（2）段|工

【解析】（1）由三角形的性质可知，AB+3O47,即力。<3,

且AC+CD>A。，即4。>1,所以1<4。<3,

△ADC中,cosAADC=9*16］华=25:产2

2x3x424

所以cos/ADCC信,1）,则sin/ADCC（0,李），

S/WXJ='x3X4XsinZ.ADC—6sinZ.ADC,

所以4ADC面积的取值范围是（0,2遍）；

⑵△ADC中，AC2=9+16—2X3X4XcosAADC=25-24cos/ADC,

△ABC中，AC2=1+4—2xlx2xcosZABC=5—4cos/ABC,

即25—24cos/ADC=5—4cos/ABC

因为四边形4BCD存在外接圆，所以AADC+/ABC=180°,即cosAADC=-cosAABC,

即25—24cos/ADC=5+4cos/ADC,得cosAADC=-1-,sin/ADC=5_2V6

此时松=25-24x1=5■，即等，

4_AC_V23W._V23W

由729RR—U亚——-nAR—

四边形ABCD外接圆的面积S=兀7?2=兀x（缥页f=1155兀

v24/288

题型四解三角形中边长或周长的最值范围

S大题典例

10.（24-25高三上•四川绵阳・月考）在锐角AABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,b2=c2—ab.

（1）求证：C=2B；

（2）b=2,求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2<a<4.

【解析】（1）在锐角△ABC中，由余弦定理〃=a?+c?—2accosB及〃=c?—ab,得2ccos8=a+b,

由正弦定,理得2sinCcosB=sinA+sinB=sin（_B+C）+sinB=sinBcosC+cosBsinC1+sinB,

则5由（0—3）=5皿3,由0<（7<拳0<3<会得一5<0—3<5，

所以=B，即。=23.

(2)在锐角4ABC中，由正弦定理得上y=,则,(:g=-A7，

smAsmBsm(7U-B-2B)smB

工日2sin(B+2B)2(sinBcos2B+cosBsin2B)。cc,5„c小

于是a=----V—---=---------------------=2cos2B+4cos2B=8cos92B-2,

sinBsmB

由得看<B<]'则8sBe(亨，号)，cos2BC(H),

所以a的取值范围是2VaV4.

解法指导

利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角

互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换,构造关于某一角或某一边的函数或不等式,再利

用函数的单调性或基本不等来处理。

S变式训练

11.（24-25高三上•山西・月考）在△48。中，角人昆仁的对边分别是明仇小且（fe+c）cosA=

a(cosB—cosC).

(1)证明：A=2B.

（2）若△ABC是锐角三角形，求卫的取值范围.

a

【答案】（1）证明见解析;

【解析】(1)由题设(sinB+sinC)cosA=sinA(cosjB—cosC),

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

贝IsinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sinBcosA,RRsin(A+C)=sin(A—B),

又4+。=兀一则sin(7t—B)=sinB=sin(_A-_B),且Z,_Be(0,7U),

所以8=>1-石0入=26,得证.

0<A<f0<2B<f

⑵由题设，0<B<-1，即＜0<B<f，得=

/64

n

号VA+BVTU<3B<7r

sinB_sinB1

由—,而cosBGe

asinAsin2B2cosBa

12.（24-25高三上•贵州遵义・月考）记△ABC的内角A,B,。对应的三边分别为a,b,c,且《sinB+

cosB=1.

⑴求8；

（2）若b=3,求△ABC的周长的取值范围.

【答案】（1）B=等；（2）（6,2g+3]

O

【解析】（1）因为sirkB+cos_B=1,所以2sin（B+看）=1,即sin（B+[■）=],

因为BE（0,兀），所以石+5=萼，即R=警；

663

（2）因为8=等，b=3,由正弦定理得acb3

OsinAsinCsinBV3_

2

则a=2V3sinA,c=2V3sin(7,又_4+_8+。=兀,

则0=兀-8—4=专一4且AC(0,兀

所以a+b+c=2V3sinA+2V3sin^—A)+3=2A/SsinA+3cosA—VSsinA+3

=VSsinA+3cos>4+3=2V3sin

因为AC（0昼），所以A+号G

所以a+b+cG（6,2A/3+3],

综上可知,三角形48。的周长的取值范围是（6,2盗+3].

题型五解三角形中面积的最值疱国

s大题典例

13.（24—25高三上•辽宁沈阳・月考）已知△ABC中，角45。的对边分别为a,b,c,满足，^bsinC—

ccosB=c.

⑴求角R

⑵若△48。为锐角三角形，且a=2,求△ABC面积的取值范围.

【答案】⑴,⑵（卓,2⑹

【解析】（1）因为V3bsinC—ccosB=c,由正弦定理得VSsinBsinC—sinCcosB=sinC,

因为OVCV兀，可得sinC>0,所以V3sinB—cosB=1,所以sin（B—,

又因为OVBV兀，所以B—£解得8二3.

663

⑵由⑴知_B二5,且a=2,

O

aca

又由正弦定理得可得c・sinC,

sinAsinC'sinA

血sinC_血sin(弩一⑷_四(乌cosA+/sinA

所以S=-^-acsinB—^-c—-sinC=

222sinAsinAsinAsinA

V3।3

22tanA'

因为△ABC为锐角三角形，所以0VAV=■，且0<0=孕一AV3，可得《〈人〈会,

23262

则tanA>^，所以0<—J<维之，所以△4BC面积的取值范围是（项,26）.

32tanA2\2，

解法指导

1、常用三角形的面积公式:

⑴S=9总；

(2)S=JabsinC=JacsinB=JbcsinA；

(3)S=]~r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；

⑷S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)，即海伦公式，其中p=-y(tt+6+c)为三角形的半周长。

2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利

用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。

S变式训练

14.(24-25高三上•江西•期中)已知△ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,且空¥+必铲=

0ab

3

4acosB

(1)求cosB；

(2)若b=4,求△ABC面积的最大值.

【答案】⑴等；⑵4a.

【解析】(1)由等。+空铲---——,得acosC+ccosA=3b

bab4acosB4cos8

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=产口金

4cosG

因为sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin_B,且0VBVBsiirBW0,

综上，3=1ncosB=:.

4cosB4

⑵因为b=4,cosB=(,

由余弦定理，得16=Q?+。2—2accosB=a2+c2—QC》2ac—^-ac—^-ac,

所以QC432,当且仅当Q=c=4V2时取等号，

因为sinB=A/1—cos2B=J1—(菖)=,

所以△ABC面积S=]acsinB<1~X32x4=4，f,即△ABC面积的最大值为477.

15.(24-25高三上・河南・月考)在△ABC中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且满足a+b

cosA+cosB

c

sin。

(1)求。的值;

⑵若ZVIBC内有一点P,满足AAPB=AAPC=/CPB=与，CP=1,求△ABC面积的最小值.

O

【答案】⑴告；⑵等+3

【解析】(1)因为——旺久-c

cosA+cosBsinC

由正弦定理得2RsirM+2、sinB_2RsinC

'cosA+cosBsinC'

所以sin—+sin'=1，9口sin_A—cosA=cosB—sinB,

cosA+cosB

艮!7sin（A—=—sin（_B—等）=sin（_B—年+兀）=sin（_B+^~）,

又因为ABC是三角形得内角，显然4—§WB+普，所以（4—］）+（B+苧）=兀,

即4+8=5,所以C=5.

（2）法一：由（1）得：C=5,PA—m,PB—n,

在APAB中,由余弦定理得，AB2=m?+九2-2mncos-^=m2+n2+mn,

tj

同理在/\PBCAPAC中有：BO?="2+i_2ncos等=n2+l+n,

O

AC2=m2+1—2mcos-^-=m2+1+m,

o

又因为△ABC是直角三角形，所以AB?=602+^02,

所以m2+n2+mn=m2+稼+馆+九+2,即mn=m+n+2,

所以71=恒+?-，因为n>0,m+2>0,所以nz—l>0,即？n>l,所以

m—1

LABC~z\B4B^/\PAC~~2+方义1,~2乂

=（m+n+mn）=^-（m+n+l）=（m+1+m++^^（m+7n+：）,

422'm—1/22'm—1）

V3V3加+2=V3V3,（（馆一1）2+2（馆一1）+3

FF.m—l~~T~F.\m-1

多年+乎7r+2）=乎+亨.（2小2）=竽+3,

当且仅当771—1=—^―-，即771=h=1+V3时取等号.

m—1

△ABC的面积的最小值为心乎+3.

法二:在△ABC中，设_B4=c,PB=g,

2222222

由余弦定理可得，AC=x+x+lfBC=y+y-il,AB=x-ixy+y.

由勾股定理可得:力2+力+1+靖+^+1=/2+力"+沙2,即2+/+"=Xy

而SAABC=,（1Xrc+lXy+a；v）sin争={x+y+xy）=（2xy-2）.

由基本不等式力+g>'ly/xy，所以g/>2+2yfxy,可解得迎>4+2，^（由上g/>2）,

当且仅当x=y=V3+1时等号成立，•••

所以△ABC面积最小值为6+旷

题型六三角形的角平分线、中线、垂线

S大题典例

16.（24-25高三上•江苏徐州・月考）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2bcosA-

a.

⑴求角8；

（2）若8。是角B的平分线，40=4/7,CD=2。,求线段的长.

【答案】⑴3二等；（2）4.

O

abc

【解析】（1）已知2c=2fecosA—a,由正弦定理=2R（R为△ABC外接圆半径）,

sinAsinBsinC

可得2sinC=2sinBcosA—sinA.

因为4+B+C=7U,所以。=兀一Q4+_B),那么sinC=sin(7U—(A+B))=sin(A+B).

根据两角和的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

贝U2(sinAcosB+cosAsinB)=2sinBcosA—sinA.

展开可得2sin力cos_B+2cosAsinB=2sinBcosA—sinA.

移项可得2sinAcosB=—sinA.

因为71£（0,兀），所以sinAW0,两边同时除以sinA得2cosB=-1,解得cosB=——

又因为Be(o,n)，所以B=誓.

o

(2)因为BD是角B的平分线，根据角平分线定理袈=华，

ZJG

已知40=4/,CE>=2〃7,所以怨■=生2=2,设则AB=2x.

BC2V7

在△ABC中,根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

AC=AD+66,B=争，则(6/)2=0名尸+d—2x2/xa；x)

即252=4炉+/+2炉=7d,解得0=6,所以3。=6,AB=12.

B_AB2+BD2-AD2

在4ABD中，根据余弦定理COS

T一2AB・BD

B兀

因为8=等，所以cos万cos—=£B

OoI,

122+^2-(4V7)2AC

设_8。="则y=D

2xl2y

即12y=144+y2-112,整理得y2-12y+32=0.

分解因式得(y—8)(y—4)=0,解得y=8或y=4.

CB2+BD2-CD2_36+64-28_72

当y=8,在△CBD中，=菖WcosZ-DBC,舍去.

2CB-BD2x6x8-96

CB2+BD2-CD2_36+16-28_241

当沙=4,在△CBD中,cosADBC,满足.

2CB-BD2x6x4482

故BO的长度为4.

解法指导

1、解三角形角平分线的应用

如图，在AABC中，AO平分。，角A、B,C所对的边分别问a,b,c

⑴利用角度的倍数关系：乙民4。=2乙BAD=2/CAD

（2）内角平分线定理：AD为XABC的内角ABAC的平分线，则、着=倦.

说明:三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构,

就可以转化为向量了，一般的,涉及到三角形中“定比”类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷。

⑶等面积法:因为4cD=S^.c，所以-y-c-ADsin等+Jb-ADsin等=-^-bcsinA,

2bccos等

所以（b+c）4D=2bccos”■，整理的：AD=——----（角平分线长公式）

2、解三角形中线的应用

⑴中线长定理:在△ABC中，AD是边石。上的中线，则A&+AC2=2（BD2+AD2）

【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

（2）向量法：AD2=（b2+c2+2bccosA）

【点睛】适用于已知中线求面积（已知黑的值也适用）.

3、解三角形垂线的应用

⑴4,h2,%分别为A4BC边a,b,c上的高，则4:卷：用=—：

bcsin/sinBsinC

（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度

高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。

S变式训练

17.（24-25高三上•福建福州•月考）△ABC的内角所对的边分别为a,b,c,已知

C

sin（A—B）

⑴求Z;

（2）若。为中点，入。=哗^,人。=3,求△48。的周长.

【答案】⑴春；⑵4+/

O

.c-b_sin(A-B)sinC—sinB_sin(A-B)

【解析】⑴1，由正弦定理得,

即sinC-sinB=sin(A-B)，因为A+B=n—C,所以sinC=sin(A+B),

所以sin（A+B）—sinB=sin（A—B）,

化简得2cosAsinB=sinB,又sinBW0,

可得COSA=-1-,0<A<7T,

贝“|AD|2=AD2=J（AB+AC）2=J（AB2+AC2+2AB-AC）^,

|AB|2+9+2|AB|x3Xq=13,整理得|AB|2+3|AB|-4=0,解得AB=1或一4（舍去）,

在△ABC中，由余弦定理可得BO?=AB?+AC2-2ABxACxcosA=l+9-2xlx3Xy=7,

.♦.BC=e,所以△ABC的周长为l+3+，7=4+〃7.

18.（24-25高三上•广西南宁•月考）已知△ABC的三个内角A,8,C所对的边分别是a,b,c.已知—

C

sin2R

2sinA+sinB

（1）求角c；

（2）若点。在边48上，b=2,CD=1,请在下列两个条件中任选一个,求边长AB.

①CD为△ABC的角平分线;②CD为△ABC的中线.

【答案】⑴等；⑵2遮

O

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理知立=国与，

csmC

所以sinB_sin2B_2sinBcosB

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB'

又BC（0,兀），所以sinB>0,°.2胃”,

smC2smA+smB

2sinA+sin_B=2cosBsinC,

又4=兀一（_B+C）,2sin（B+C）+sinB=2cosBsin（7,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化简得2sinBcosC+sinB=0,即cos。=—,

又ce（o,兀），所以。=穹.

（2）选①，CD为△ABC的角平分线，

由S^CD+SABCD=S^ABC得：春d•CD•sin/力CD+yCB-CE»-sinZBCD=^-CA-CB-sinAACB,

即［bT•-+-1-a-1，所以a+b=ab,

又b=2,所以Q=2,

在AABC中,由余弦定理得c2^a2+b2-2abeosC=22+22-8cos等=12,

所以AB—c—2A/3.

选②，CD为△ABC的中线，

-►-►-►-►Q->o->9-►O->9

则C4+CB=2CD,平万得C4+CB+2a4・CB=4CD,

15

所以〃+02+2而（：05。=4X12,所以稼+62-。6=4,

又6=2,所以a=2,

在AABC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abcosC=22+22-8cos等=12,

所以AB—c—2V3.