2025高考数学冲刺复习：抽象函数模型与双函数归类（原卷版）

培优冲刺01抽象函数模型与双函数归类

籍优题型大集合

目录

题型一：抽象函数具体化模型1:过原点直线型.....................................................1

题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型.................................................2

题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型............................................................2

题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型........................................................3

题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型........................................................4

题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型...................................................5

题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型........................................................5

题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型................................................6

题型九：双函数：系数不是1型....................................................................7

题型十：双函数：双函数综合.....................................................................8

题型十一：双函数：导数型双函数性质..............................................................8

暗优

题型一：抽象函数具体化模型1：过原点直线型

抽象函数模型1

/(x+y)=/(x)+/(y)一-过原点直线型〃尤)=kx

有以下性质

①"0)=0

②奇函数:丁=一工，则〃x-x)=〃x)+〃T)=0

③可能具有单调性(结合其他条件)

相似的模型

于(x+y)+于(x-y)=2/(x)

1.(多选题)(23-24高一上.江苏无锡.阶段练习)定义在R上的函数“X)满足〃x+y)=〃x)+〃y),当

尤<0时，/(x)>0,则下列说法正确的是()

A.了(无)在R上单调递减

B.复合函数〃sinx)为偶函数

C.复合函数/(cosx)为偶函数

D.当xe[0,2n],不等式/(sinx)+/

2.(多选题)(23-24高一上.浙江金华.阶段练习)定义在R上的函数满足〃x)+〃y)=〃x+y),

则下列说法正确的是()

A./(o)=oB.〃x)-/(y)=/(x-y)

c.“X)为奇函数D.”X)在区间上",〃］上有最大值/(")

3.(多选题)(23-24高一上,安徽淮南・阶段练习)已知函数/(尤)满足了(犬+)0=〃幻+〃”彳,,6：»,则()

A./(0)=0B./a)=W)^eZ

C.f(x)=W；],(X)D./(-%)/(%)<0

题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型

抽象函数模型2

证明如下：

〃X+y)=〃X)+〃y)+b。带正负，即+6或一")

^-f(x+y)+b=f(x)+b+f(y)+b

一"同构”:/z(x)=/(x)+b

―/z(x+y)=/z(x)+/z(y)-----/z(x)是过原点的直线

<->/(%)=kx-b

L(2024•山东泰安•一模，多选)已知函数〃%)的定义域为R,且"1)=0,若〃x+y)=〃x)+〃y)+2,

则下列说法正确的是()

A./(-1)=-4B.〃x)有最大值

C.7(2024)=4046D.函数/(“+2是奇函数

2.(多选题)(2024•安徽安庆•二模)已知定义在R上的函数/*),满足对任意的实数x,y,均有

〃x+y)=〃x)+〃y)T,且当尤>0时，/«<1,贝U()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)-1

C.函数/⑺为减函数D.函数y=/(x)的图象关于点(0,1)对称

3.(23-24高三下•江西,开学考试，多选)已知函数/⑺的定义域为R,对任意实数x,y满足

/(x+j)=/(x)+/(j)+2,且/(2)=。，则下列结论正确的是()

A./(0)=-2B./(^)=-6

C.丁(幻+2为奇函数D./⑺为R上的减函数

题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型

抽象函数模型3

/(x)+f(y)小)+/(£)

/(x+y)?/(«£)

1-7W(£)

所以复合〃x)=tan丘(左根据其余条件待定系数)

1(多选题)(233高三下,河南郑州・阶段练习)已知函数仆)满足削=】，小+所谯缁

则()

A./(0)=0B-f(-x)=-f(x)

C./(x)的定义域为RD.〃x)的周期为4

2.(多选题)(23-24高二上•广东茂名•期中)已知函数/(x)的定义域为{x|x*4/:+2,%wZ},且

〃x)+〃y)

〃x+y)="1)=1,则()

l-/(x)/(y)

A.〃0)=0B.〃x)为偶函数

C.〃x)为周期函数,且2为了(元)的周期D.”2023)=7

3.(23-24高一上•重庆永川期末)已知定义在上的函数“X)满足：当x>0时，/(x)>0,且对任意

的X,ye(-1,1),均有〃x+y)[lT(x)/1(')]=/1(x)+/(y).若*nx)</gj,则X的取值范围是(e是

自然对数的底数)()

题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型

抽象函数模型4

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

贝行(无)=ax2+Z?x+c.

/(%+y)=。(尤+y)2+》(％+y)+c=〃%2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax2+bx+c+ay1+by+c+2axy-c=f^x)+/(y)+2axy-c

此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.

1.(多选题)(23-24高三下・重庆・开学考试)已知定义在实数集R上的函数〃%),其导函数为/(%),且

满足〃x+y)=〃x)+〃y)+◎，/⑴=0,广⑴=；,贝()

B.的图像关于点(,o］成中心对称

A.〃。)=。

2024

C.7(2024)=1012x2023D.£/'(%)=1012*2024

k=\

2.(多选题)(23-24高一上•辽宁辽阳,期末)已知函数〃x)对任意x,yeR恒有

/(x+y)=/(x)+/(y)+4xy+l,且/⑴=1,则()

A./(0)=-1B.〃x)可能是偶函数

C./(2)=8D./(X)可能是奇函数

3.(多选题)(23-24高三上•河北保定•开学考试)已知函数的定义域为

R,/(x+y)+2xy=/(x)+/(y),/(l)=2,则()

A./(0)=0B./(-2)=-10

C.>=是奇函数D.y=/(x)-%2是偶函数

题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型

抽象函数模型5

余弦函数型

于(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

/(x)=cosAx

证明：f{x+y)+/(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)

=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy

=2于(x)于(y)kx

(也可以直接用和差化积公式推导)

备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现

1.(多选题)(23-24高一上•湖北荆州•期末)已知定义在R上的函数/。)，对任意的x,yeR,都有

/(x+y)+/(x-y)=2f(x)/(y),且/⑴=g,贝1J()

A./(0)=1B.f(x)是偶函数

2024

C./(3/1)=-1,zleN,D.Z/(")=°，"eN*

n=l

2.(多选题)(23-24高一上•山东荷泽・期末)已知函数〃元)对任意实数关、》都满足

/(X)+/'(、)=2/(3^]/]宁[且=以下结论正确的有()

A./Q]=0B./(x+2)是偶函数

C,〃x+l)是奇函数D,/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2025)=-1

3.(多选题)(2024河南.模拟预溯已知定义在R上的函数〃x),满足”(x+y)〃x-y)=/(2x)+〃2y),

且=则下列说法正确的是()

A.〃0)=lB./(x)为偶函数

C./(2x)=/(x)D.2是函数的一个周期

题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型

抽象函数模型6

/(%+y)=/(x)+/(y)+3g(x+y)，则〃力=加+打(其中b可以借助其他条件待定系

数)

1(多选题)(2024•辽宁大连•一模)已知函数“X)是定义域为R的可导函数，若

y(x+y)=/(x)+f(y)+3孙(x+y),且­(。)=一3,则()

A.〃力是奇函数B.〃力是减函数

C./(73)=0D.x=l是的极小值点

2.(多选题)(2023•湖南永州•二模)已知定义域为R的函数/(x)满足

〃x+y)=〃x)+/'(y)+xy(x+y)J'(x)为的导函数，且/'(1)=2,贝U()

A.“X)为奇函数B.“X)在X=—2处的切线斜率为7

C./(3)=12D.对.占户2e(0,+oo),%.X2，/［册;‘‘(*)；/(苫2)

3.(多选题)(2024福建莆田二模)已知定义在R上的函数满足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3砂(龙+日,

则()

A.y=/(x)是奇函数

B.若/⑴=1,则〃-2)=4

C.若=则y=/(x)+x3为增函数

D.若\/X＞0,/(力+三＞0,则＞=/(*)+三为增函数

题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型

抽象函数模型7

正弦函数型，或者正弦双曲函数型

/(X+y)/(X-y)=尸(x)-尸(y)

px-p

则〃x)=sinx,或者是正弦双曲函数/•(;<)=

L(2024.广西南宁.一模)已知函数〃力的定义域为R,〃x+y)〃x—y)=/2(x)—/2(y),且当x>0时,

/(x)>0,则()

A./(0)=1B.是偶函数C.是增函数D.“X)是周期函数

2.(多选)(2023•福建莆田二模)已知函数/'(力的定义域为R,且

7'"+封/"一目=r")一/2(力"1)=石/(2天+?为偶函数，贝U()

A./(O)=OB.f(x)为偶函数

2023

C./(3+x)=-/(3-x)D.Ef(k)=6

k=l

3.(多选题)(2024河南郑州.二模)已知函数〃x)的定义域为R,且〃尤+y)〃x-y)=「〃x)T-

〃l)=lj(2x+l)为偶函数，贝()

A./(O)=OB.〃x)为偶函数

2024

c-/(2+x)=-/(2-x)D.㈤=o

k=l

题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型

抽象函数模型8

正余弦函数辅助角型

形如/（x+y）+/（x-y）=2/（“cosy

贝旷（x）=asinx+Z?cosx,a,b值可以通过其他条件待定系数

1.（2024・浙江•模拟预测）已知函数7"（”的定义域为R,且/⑼=（曰=1,若

/（x+y）+/（x-y）=2/（x）-cosj,则函数〃x）（）

A.以兀为周期B.最大值是1

C.在区间卜弓上单调递减D.既不是奇函数也不是偶函数

2.（2023•四川德阳一模）已知函数〃力的定义域为R,〃x+y）+〃尤—y）=2〃x）cosy且"0）=1,

/^]=A/3,那么（）

A.〃x）为偶函数B./（7T）=1

C.x=]是函数的极大值点D./（元）的最小值为-2

3.（多选题）（22-23高二下•山东德州,期末）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足

/（x+y）+/（x—y）=2/（x）cosy,且"0）=0,（鼻=1.其中正确的是（）

A.f[j\=\B.〃x）为奇函数C.为周期函数D.在（0,兀）内单调递戒

题型九：双函数：系数不是1型

带系数：系数不为1,类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移

平移变换：左右或者上下

龙+夕）=>/（。（尤+。）+0）左加右减

1.（2022秋浙江高三慈溪中学校联考期中）已知函数“X）的定义域为R,且/[gx+1]是偶函数，

是奇函数，则（）

A./（0）=0B.=°C./（l）=0D.〃3）=0

2.（2023春.浙江丽水.高二统考期末）已知函数〃2x+l）是奇函数，〃x+2）是偶函数，当xe[2,3]时,

/（无）=3-不则下列选项不正确的是（）

A.f（x）在区间（-2,0）上单调递减

B./⑺的图象关于直线x=-l对称

C./（x）的最大值是1

D.当时恒有f（x）<0

3.（2023,全国,模拟预测）已知函数/⑺的定义域为R,/（2x+2）为偶函数，/（x+1）为奇函数，且当xw[0,l]

时，〃x)=g+6.若*4)=1,则瑁)+，图+佃+f1|

题型十：双函数：双函数综合

常见结论：

(1)关于对称：若函数下⑺关于直线芯=。轴对称，则/(x)=/(2a-x),若函数f⑺关于点(“㈤中心对称,

则f(x)=2b-/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若f(x+a)=-/(x),或/'(x+a)=/i，或/(x+a)=-7二，可知函数/⑺的周期为2a.

/(x)f(x)

L已知y=/(x+4)是定义域为R的奇函数，y=g(x-2)是定义域为R的偶函数,且尸/⑺与y=g⑺的

图象关于y轴对称，则()

A.y=/(x)是奇函数By=g(x)是偶函数

C.y=/(x)关于点(2,0)对称D.y=g(x)关于直线x=4对称

2.(2023•江西抚州・统考模拟预测)已知函数〃x),g(x)都是定义在R上的函数，“X-1)+2是奇函数，

2023

g(x-2)是偶函数,且/⑴―g(x—2)=3,g(—2)=1,则()

k=l

A.-4052B.-4050C.-1012D.-1010

3..(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，g(x)是偶函数，

2023

/(x)=g(2-x),g⑵=1,则£/(幻=()

&=1

A.-2023B.-1C.1D.2023

4(多选题)(2024•湖南・二模)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,g(x+1)+/(1-x)=l,

〃x+l)-g(x+2)=l,且y=/(x)的图像关于直线x=l对称，则以下说法正确的是()

A./(x)和g(x)均为奇函数B.VXGR,/(X)=/(X