2025高考数学冲刺复习：抽象函数模型与双函数归类（解析版）

培优冲刺01抽象函数模型与双函数归类

籍优题型大集合

目录

题型一：抽象函数具体化模型1:过原点直线型.....................................................1

题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型..................................................3

题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型............................................................5

题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型........................................................6

题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型........................................................8

题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型....................................................10

题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型.......................................................13

题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型...............................................15

题型九：双函数：系数不是1型...................................................................18

题型十：双函数：双函数综合....................................................................20

题型十一：双函数：导数型双函数性质.............................................................22

暗优

题型一：抽象函数具体化模型1：过原点直线型

抽象函数模型1

/(x+y)=/(x)+/(y)一-过原点直线型〃尤)=kx

有以下性质

①"0)=0

②奇函数:丁=一工，则〃x-x)=〃x)+〃T)=0

③可能具有单调性(结合其他条件)

相似的模型

于(x+y)+于(x-y)=2/(x)

1.(多选题)(23-24高一上.江苏无锡.阶段练习)定义在R上的函数“X)满足〃x+y)=〃x)+〃y),当

尤<0时，/(x)>0,则下列说法正确的是()

A.了(无)在R上单调递减

B.复合函数〃sinx)为偶函数

C.复合函数/(cosx)为偶函数

D.当行[0,2可，不等式/")+/'升0的解集为昌器J

【答案】ACD

【分析】A,应用赋值法，x+y=x>x=x2,则y=X]-X2,结合单调性的定义即可判断，B,举反例/(x)=-x,

即可判断；C,结合偶函数的定义即可判断；D结合赋值法与抽象函数的单调性即可求解.

【详解】模型解法:显然该函数复合y=kx型，且k<0.

A正确。

再由内外复合函数知/(sinx)=k*sinx,是奇函数,故B错误；/(cosx)=kcosxo为偶函数，C正确

对于D.当无«0,2兀],不等式/(sinx)+/(—1)<Oo〃sinx)</(g]osinx>g。即sinx>：,xe[0,2n\,

/(x)e(了不).故选：ACD

常规解法：A.正确，设尤+〉=再，x=x2,则>=国-々,

，/(石)=/(马)+/(石-尤2)，=

设X]-X2<0,即占<%,

当x<0时，/(x)>0,

•・・当王_%<0时，即/(为)>/(%2)，

,•"(X)在R上单调递减；

B.错误，取一个符合要求的具体函数，如：/(x)=-x,贝IJ*sinx)=—sinx,为奇函数；

C,正确,/(cosx)的定义域为，且cos(-x)=cosx,则/(cos(-x))=/(cosX),所以/(cosx)为偶函数；

D.正确，由/■(sinx)+/1-gJ=/(sinx-g)<O,又/(无)在R上单调递减，

令x=y=0则/(0)=2/(0),贝疗(0)=0,

则sinx-g>0,即sinx>；,xe[0,2兀],.,./■(x)e(£，m),故选：ACD

2.(多选题)(23-24高一上.浙江金华.阶段练习)定义在R上的函数〃x)满足/(x)+〃y)=〃x+y),

则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./(x)-/(y)=/(x—y)

C.为奇函数D./(元)在区间[川,川上有最大值/⑺

【答案】ABC

【分析】令x=y=0,求得"0)=0,可判定A正确；令》=一％,推得〃r)=-〃x),可判定C正确；用

代替儿可判定B正确；由/&)-八％)=/&)+/(-%)=/&-%),因为/(占-3)的符号不确定，可判定

D不正确.

【详解】由定义在R上的函数〃x)满足〃x)+〃y)=〃x+y),

令x=y=0,可得2/(0)=/(0),可得"0)=0,所以A正确；

令广T,可得〃x)+〃r)=〃o),因为"0)=0,可得/(T)=_〃X),

所以函数“X)为定义域上的奇函数，所以C正确；

用P代替儿可得/(x)+/(r)=/(x)—/(y)=/(x—y),所以B正确；

任取且玉<X2,则玉一马<°,

贝U/(占)一/(三)=/(占)+/(-尤2)=/(%~X2),

其中f(xt-x2)的符号不确定，所以函数/(x)的单调性不确定，

所以“X)在区间[狐川上的最大值不一定为/("),所以D不正确.

故选：ABC.

3.(多选题)(23-24高一上・安徽淮南・阶段练习)已知函数〃力满足/(*+丫)=/(幻+/(”天,丫6：»,则()

A./(0)=0B.f(k)^kf(l),keZ

C./(幻=^］。,(心0)D./(-%)/(%)<0

ABC

【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断.

【详解】对于A,/'(0)=f(0+0)=f(0)+/(0)=2/(0),，/(0)=0,故A正确；

对于B,f(k)=f(k-D+/(I)=/(*-2)+/(I)+/(I)=.=/(1)+/(1)+.+/(1)=W),故B正确；

对于C,

==[[+/[]+心。，故C正确；

对于D,/(%-%)=/(%+(-%))=/(%)+/(-%)=/(0)=0,/(%)=-/(-%),/(x)/(-x)=-(/(x))2<0,故D错

故选：ABC.

题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型

抽象函数模型2

证明如下：

〃X+y)=/(X)+/(y)+Z>。带正负,即+6或一。)

^f(x+y)+b=f(x)+b+f(y)+b

―“同构”：/z(x)=/(x)+b

—/z(x+y)=/z(x)+/i(y)----------/z(x)是过原点的直线

<->/(%)=kx-b

1.(2024•山东泰安•一模,多选)已知函数〃%)的定义域为R,且/(1)=0,若〃u+y)=〃x)+f(y)+2,

则下列说法正确的是()

A./(-1)=-4B.f(x)有最大值

C.f(2024)=4046D.函数/(%)+2是奇函数

【答案】ACD

【分析】

根据题意，利用抽象函数的的性质，利用赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.

【详解】对于A中，令x=y=0,可得〃0)=_2,令x=l,y=-l,

则〃lT)=〃T)+/(l)+2,解得/(-1)=-4,所以A正确；

对于B中，令苫=%,〉=%-玉，且玉<%,则/(%+9—石)=/(%)+/(9一%)+2,

可得〃毛)一/(%)=/(当一xJ+2,

若x>0时，〃x)>-2时，"动-此时函数“X)为单调递增函数；

若无<0时，〃x)<-2时，/伍)-/(%)<0,此时函数“X)为单调递减函数，

所以函数/(x)不一定有最大值，所以B错误；

对于C中，令y=l,可得/■(x+l)=/(x)+/⑴+2=〃x)+2,

即〃x+l)—J(x)=2,

所以/(2024)=[/(2024)-f(2023)]+[/(2023)-f(2022)]++[/(3)-/(2)]+[/(2)-/(1)]+/(1)

=2023x2+0=4046,所以C正确；

对于D中，令〉=一》可得/(O)=/(x)+/(—力+2,可得/(x)+2+/(—x)+2=0,

即〃x)+2=—[〃r)+2],所以函数/(x)+2是奇函数，所以D正确；

故选：ACD.

2.(多选题)(2024•安徽安庆二模)已知定义在R上的函数Ax),满足对任意的实数无，y,均有

/(x+y)=/(x)+〃y)T,且当x>0时，〃尤)<1,贝U()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)=1

C.函数/⑴为减函数D.函数y=/(x)的图象关于点(0,1)对称

【答案】ACD

【分析】

对A:借助赋值法令x=y=0计算即可得；对B：借助赋值法令x=1,y=-1计算即可得；对C：结合函数

单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得

【详解】对A:令尤=y=0,则有/(0)=/(0)+/(0)-L故/(0)=1,故A正确；

对B:令无=1,y=-l,51lJW/(O)=/(l)+/(-l)-l,故/(1)+/(—1)=2,故B错误；

对C:令y>0,贝1J有/'(元+y)—/(x)=/(y)—1,其中x+y>x,/(y)-l<0,

令Xi=x+y,x2=x,即有对V国、x2eR,当玉时，/(%)-/(%)<0恒成立，

即函数Ax)为减函数，故C正确；

对口：令〉=一》,贝IJ有/(x-x)=/(x)+/(—x)—l,又/(0)=1,

故/(X)+〃T)=2,故函数了=/(尤)的图象关于点(0,1)对称，故D正确.

故选：ACD.

3.(23-24高三下•江西・开学考试，多选)已知函数/⑺的定义域为R,对任意实数x,y满足

/(X+J)=/(X)+/(J)+2,且/(2)=。，则下列结论正确的是()

A./(0)=-2B./(T)=-6

C./(幻+2为奇函数D.7(无)为R上的减函数

【答案】ABC

【分析】令无=y=0,解得/(。)=一2即可判断A；令x=2,y=-2求得八-2)=-4,令x=y=2求得/(4)=2,

令x=4,y=-4求得/(-4)=-6即可判断B；令》=一％可得/(x)+2+f(-x)+2=0,即可判断C；由AB即可判

断D.

【详解】A：令无=y=0,代入/(x+y)=/(x)+/(y)+2,

得f(0)=2/(0)+2,解得f(0)=-2,故A正确；

B：令x=2,y=-2,RA/(X+J)=/(X)+/(J)+2,

得/(O)=/(2)+/(-2)+2,又/⑵=0,所以『(一2)=-4;

令x=V=2,代入/(x+y)=/(x)+/(y)+2,

得"4)=2/⑵+2=2,

令x=4,y=-4,代入/(x+y)=/(x)+/(y)+2,

得/(0)=/(4)+/(Y)+2,所以〃7)=-6,故B正确；

C/y=T,RA/(X+J)=/(X)+/(J)+2,

得了(0)=/(x)+/(-x)+2,贝IJ/(x)+2+/(-X)+2=0,

所以函数f(x)+2为奇函数，故C正确；

D：由选项AB知,/(0)=-2,/(-2)=一4,则/(0)>/(-2),

所以函数/(无)不为R上的减函数，故D错误.

故选：ABC

题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型

抽象函数模型3

…二巫3?{£/)+/(£)

所以复合=3日(左根据其余条件待定系数)

1(多选题)(22高三下・河南郑州・阶段练习)已知函数小)满足/⑴—尸告徐，

则()

A./(0)=0B./(-%)=-/(%)

C.“X)的定义域为RD.“X)的周期为4

【答案】ABD

【分析】赋值，令x=Ly=。，即可判断A；令x=y=l,可判断C；令y=-x,结合函数奇偶性定义可判

断B；令y=l,推出/(x+D=*^,/(x+2)=--，即可推出函数的周期，判断D.

1-/⑺f\x)

【详解】令x=l,y=0,则/⑴即1=:黑，'"°)=°，A正确，

令x=y=l,则,2)=⑴无意义,即“X)的定义域不为R,C错误；

1-1

由/(x+y)=/T"可知/(无)”41,

令尸一X,则/⑼=高,即〃X)+/(T)=0,故〃一力=一〃力，B正确；

“x)+l

"x+l)+l=]—+=1

“x+D=黑＞(x+2)x

i-f(-v+i)["x)+if()'

故/(X+4)=一〃1+2)=〃X),即/(x)的周期为4,D正确，

故选：ABD

2.(多选题)(23-24高二上.广东茂各期中)已知函数“X)的定义域为{尤|尤*4《+2,"Z},且

小+加⑴4则()

A.40)=0B.为偶函数

C./(尤)为周期函数，且2为的周期D./(2023)=-1

【答案】AD

【分析】对于选项A:令x=y=O,即可得出答案；对于选项B：令》=-匕得出/(r)=-/(x),根据已

知得出其定义域关于x轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；对于选项C：令y=l,得出

/(x+4)=/(%),即可根据周期定义得出答案；对于选项D:根据周期得出答案.

【详解】A选项：令x=y=O,得〃0)=0,故A正确；

仆)+〃-尤)

B选项：令》=一匕则八。)==0因此/(一力=一/(力,

1一/(3(-力

又“X)的定义域为例无力软+2,人Z},关于X轴对称，所以“X)为奇函数，故B错误；

C选项：令9,则小+1)=逐嵩〃x+l)=1।2

1-/(无)1-/(尤)

1因此小+4)=-互\=

所以y(x+2)=—1H-----------=

加以'7l-/(x+l)〃元)

所以“X)为周期函数，且周期为4,故C错误；

D选项：/(2023)=/(3)=f(-l)=-f(1)=-1,故D正确.

故选：AD.

3.(23-24高一上.重庆永川.期末)已知定义在(-1,1)上的函数/(X)满足：当x>0时，/(%)>0,且对任意

的x,ye(-1,1),均有〃尤切=〃x)+〃y)若则x的取值范围是(e是

自然对数的底数)()

【答案】B

【分析】根据抽象函数的性质先判断函数为奇函数，再由单调性定义证明函数单调性，即可求解不等式.

【详解】对任意的x,ve(-l,l),都有〃x+y)[l—=+

令x=y=0,则以0)口-〃0)〃0)]=〃0)+〃0),/(0)[-1-/2(0)]=0,

即〃0)[1+/(0)]=0,由1+产(0)>0,可得〃0)=0,

令y=-%,则f(x-x)=/(O)=/(x)+/(-x),

f(-%)=-/(x),.1/(x)是奇函数.

设£1,XjG[O,I),且玉<%,则占-%<。，令y=f,

则〃占-%)[1-〃项)〃-彳2)]=〃占)+〃-%)，

由“X)是奇函数，可得〃%-%)[1+〃玉)〃%)]=/(玉)-〃马)，

・当X>。时,/(%)>0,且“^G[0,1),.-.l+f(xl)f(x2)>0,

由函数”X)是奇函数，可得当x<0时，/(%)<0,

；./(百一9)口+/(石)/(尤2)]<。，即/■(占)一/(%2)<0,即/(%)</(%),

函数”X)在[0,1)上是增函数，，函数“X)在上是增函数,

,、-1<Inx<1

则不等式/(Inx)</佶等价于।1解得3<正

72)lnx<—

I2

即不等式的取值范围是g,捉]

故选：B

题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型

抽象函数模型4

f(^+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

贝炉(x)=以?+bx+c.

/(x+y)=a(x++b(^x+y^+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax1+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=/(%)+f[y}+2axy-c

此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.

1.(多选题)(23-24高三下•重庆・开学考试)已知定义在实数集R上的函数〃x),其导函数为尸(x),且

满足了(了+丫六八2+“丫升移，/⑴=0/⑴=；,贝U()

A./(0)=0B.的图像关于点g,0)成中心对称

2024

C.f(2024)=1012x2023D.2广伏)=1012x2024

2=1

【答案】ACD

【分析】

对A、B,利用赋值法进行计算即可得；对C、D,利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数

列公式法求和即可得.

【详解】对A:令尤=y=0,则有〃0)=〃0)+/(0)+0,即〃0)=0,故A正确；

对B:令x=y=l,则有/(2)=/(1)+〃1)+1,又〃1)=0,故/(2)=1,

令x=l,y=-l,则有/(O)=/(l)+〃-l)T,故/(一1)=1工一/(2),故B错误；

对C:令y=l,贝IJ有/(x+l)=/(x)+/(l)+x,即/(%+1)—/(力=尤，

则/(2024)=/(2024)-/(2023)+/(2023)-/(2022)+-/(1)+/(1)

2023+1x2023

=2023+2022++1+0=()=1012x2023,故C正确；

2

对D：令y=LfllJW/(^+l)=/(x)+/(l)+x,即/(x+l)=/(x)+x,

则ra+i)=r(x)+i,即r(x+i)-/(x)=i,又(⑴=：故/㈤=(+”1=左一：

CP+2024--1x2024生丁…—

川£r(k)="-----2---------=1012X2024'故D正确,故选：ACD.

M2

2.(多选题)(23-24高一上•辽宁辽阳•期末)已知函数“X)对任意x,yeR恒有

f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy+l,且/(1)=1,则()

A./(0)=-1B.7'(£)可能是偶函数

C./(2)=8D./(x)可能是奇函数

【答案】AB

【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.

【详解】对于选项A,令尤=y=0,得/(0)=〃0)+/(0)+1,贝IJ〃0)=T,所以选项A正确；

令〉=一匕得+贝IJ〃x)+"r)=4f—2,

对于选项B,若“X)是偶函数，则〃*=/(-月=2/-1,所以选项B正确；

对于选项D,若是奇函数，则/。)+/(-1)=2/0,所以7•(*)不可能是奇函数，所以选项D错误；

对于选项C,令x=y=l,W/(2)=/(l)+/(l)+4+l=7,所以选项C错误；

故选：AB.

3.(多选题)(23-24高三上•河北保定开学考试)已知函数/'(X)的定义域为

R"(x+y)+2孙=/(x)+〃y),〃l)=2,贝()

A./(O)=OB./(-2)=-10

C.y=/(x)+x2是奇函数D.y=/(x)-V是偶函数

【答案】ABC

【分析】x=y=O求得〃0),判断A,再令无=y=l求得/(2),从而令元=-2,y=2,可得/(一2),判断B,

已知等式变形为/(x+y)+(尤+y)2=/(x)+x2+/(y)+y2,令g(x)=/(力+炉，贝(]g(x+y)=g(x)+g(y),

由赋值法得g(x)是奇函数，判断C,再计算出g(-2)wg(2),判断D.

【详解】令x=y=O,可得/(0)=0,故A正确；

令X=y=l,可得"2)=2,令x=-2,y=2,可得*0)―8=〃2)+〃一2),则〃_2)=T0,故B正确；

由/■(x+y)+2Ay=〃x)+/(y),可得/(x+y)+(x+_V)2=/(力+了2+/(村+/，令8⑺=/(%)+工2,贝|J

g(x+y)=g(x)+g(y),令无=y=0,可得g(o)=o,令》=-%,贝ljg(o)=g(x)+g(r)=。，所以g(x)是

奇函数，即y=/(x)+d是奇函数，故c正确；

因为"2)—22中〃一2)-(-2)2,所以>=〃力-/不是偶函数，故D错误.

故选：ABC.

题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型

抽象函数模型5

余弦函数型

f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(j)

/(x)=coskx

证明：f{x+y)+/(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)

=cosxcos-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy

=2f(x)f(y)kx

(也可以直接用和差化积公式推导)

备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现

1.(多选题)(23-24高一上,湖北荆州•期末)已知定义在R上的函数/⑺，对任意的x,yeR,都有

f^+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且/⑴=g,则()

A./(0)=1B./(尤)是偶函数

2024

C.z(3n)=-l,〃cN*D.Z/W=°.〃eN*

n=l

【答案】ABD

【分析】用赋值法，令x=l,y=0求得/⑴判断A,令x=0判断B,求出"3)/(6)判断C,令y=l得出递推

关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D.

【详解】在/(x+y)+/(尤-y)=2/(尤)/(y)中，又有"1)=(

令无=l,y=O得/⑴+〃1)=2/⑴/(0),所以/(0)=1,A正确;

令x=0得/(y)+/(_y)=2/(0)/(y)=2/(y),所以f(一月=f(y),/⑴是偶函数，B正确；

91

令X=y=I得/⑵+〃0)=2[/(1)]-,所以/⑵=-],

令无=2,y=1得/(3)+/⑴=2/(2)/(1),所以“3)=-1,

令x=y=3得/(6)+/(0)=2"(3)『,令6)=1,C错误；

令V=1得1)+/(x—1)=2/(x)/(1)=/(x),所以/(x+1)=/(x)-/(x-l),

由此/(x+2)=/(x+1)—/(%)=/(%)-/(x-l)-/(x)=-/(x-l),即/(x+3)=-f(x),

所以/a+6)=-/(x+3)=/(x),/*)是周期为6的周期函数，

/(4)=/(3)-/(2)=-1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=〃5)-八4)=1,

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=1-1-1-1+|+1=0,

2024

所以2〃〃)=337X0+"1)+”2)=0,D正确.

n=l

故选：ABD.

2.(多选题)(23-24高一上.山东荷泽.期末)已知函数/(X)对任意实数x、y都满足

〃x)+/(y)=2d*3dT],且/⑴=」，以下结论正确的有()

A./Q]=°B./(x+2)是偶函数

C./(x+1)是奇函数D.f(l)+/(2)+/(3)+-+/(2025)=-l

【答案】ABD

【分析】令》=>=1可求得”0)的值，令x=i,%。可求得的值，可判断A选项；推导出为偶

函数，且〃x+2)=〃x),可判断B选项；由/.+1)=-/(X)结合函数〃尤)的奇偶性可判断C选项；利用

函数的周期性可判断D选项.

【详解】对于A选项，令x=y=l可得2/⑴=2〃1)〃0),

因为/。)=一1,贝U/(o)=i,

令x=l,y=0,可得2=/(1)+/(0)=0,则=A对；

对于B选项，令kx可得〃耳+〃一力=2〃0)〃尤)=27(力，

所以，〃-尤)=〃力，故函数/⑺为偶函数，

令y=x+l可得“对+/(尤+1)=2/1+切(-：=2/1+£|(功=0,

即」(尤+1)=-仆),故〃x+2)=_〃x+l)=〃x),

因为函数为偶函数，则函数/(x+2)为偶函数，B对;

对于C选项，因为/(x+1)=

因为函数7'(x)为偶函数，则函数/(x+1)也为偶函数，C错；

对于D选项，由B选项可知，函数7•(*)是周期为2的周期函数,

因为=/(1)+/(2)=0,

所以，/(l)+f(2)+/(3)+-+/(2025)=1012[/(l)+/(2)]+/(l)=-l,D对

故选：ABD.

3.(多选题)(2024,河南,模拟预测)已知定义在R上的函数〃x),满足y)=〃2x)+〃2y),

且=则下列说法正确的是()

A./(O)=lB.f(x)为偶函数

C./(2x)=/(x)D.2是函数的一个周期

【答案】ABD

【分析】对A：借助赋值法，令x=y=；,计算即可得；对B：借助赋值法，令＞结合偶函数定义即

可得；对C：计算出其与丁⑴不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令y=结合

的值与周期函数的定义计算即可得.

【详解】对A：令x=y=g,贝第2/(1)〃0)=/(1)+/(1),又/⑴=一1,

故有-2〃0)=-2,故"0)=1,故A正确；

对B：令户T,则有2〃0)/(2x)=/(2x)+〃-2x),又“0)=1,

故有〃2x)=〃-2x),BP/(x)=/(-x),又其定义域为R,

故/(x)为偶函数，故B正确；

对C:令x=g,y=0,则有2dgyJ=〃l)+〃0)=-l+l=0,

故U=o,又/⑴=-1,不符合，故C错误；

对D：令丁=尤一;，贝IJ有2/(2下，4，=〃2耳+〃2X-1),

由/[11=0,故/(2x)+/(2x—1)=0,则/(x)+/(x_l)=0,故/(x+l)+/(x)=0,

两式作差并整理得/(x+l)=/(x-l),故2是函数/(x)的一个周期，故D正确.

故选:ABD.

题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型

◎0/0

抽象函数模型6

/(x+y)=/(x)+/(y)+3g(x+y)，则/(尤)=加+以(其中b可以借助其他条件待定系

数)

1.(多选题)(2024.辽宁大连.一模)已知函数“X)是定义域为R的可导函数，若

/(x+y)=/(x)+/(y)+3xy(x+y),B./，(0)=-3,贝lj()

A.是奇函数B.是戒函数

C./(⑹=0D.x=l是的极小值点

【答案】ACD

【分析】令x=y=o求出/(0),令》=一%可确定奇偶性，将》当作常数，尤作为变量，对原式求导，然后

可通过赋值，解不等式求单调性及极值.

【详解】方法一：令x=y=O,得/(0)=0,令得0=/(x)+/(-x),所以是奇函数,A正确；

/(x+y)=/(x)+/(y)+3x2y+3到2,，r(x+y)=r(x)+6yx+3y2

令x=O,，r(y)=r(O)+3y2,

又r(0)=-3,;.r(y)=3/-3,;J(y)=yJ3y+c,

/(o)=0,C=0,=y3-3y,.-./(x)=x3-3x,;./(道)=0,

令〃x)=0,/.x=±l,/(%)>0,x<-l或(无)<0,-1<X<1

：./(%)在(-8,-1)和(1,+8)上为增函数，在(-1,1)上为减函数，

：.X=1是“X)的极小值，故CD正确,B错误.

故选：ACD.

方法二：构造模型如下

2.(多选题)(2023•湖南永州二模)已知定义域为R的函数满足

〃x+y)=/(x)+/(y)+孙(x+y),/'(x)为“X)的导函数，且尸(1)=2,则()

A.“X)为奇函数B.“X)在x=-2处的切线斜率为7

C./(3)=12D.对e(0,+oo),%

【答案】ACD

【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将/(》+封=/(可+/3+孙(x+y)

变形为g(x+y)=g(x)+g(y)形式，利用柯西方程可求得〃x)=：+x,代入求值，即可判断C；结合

〃x)=：+x,利用作差法可判断D.

【详解】由题意定义域为R的函数“X)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+冲(x+y)

令x=y=o,WJ/(o)=/(o)+/(o),.-./(o)=o,

令3=-,则/⑼=〃x)+〃_x),即0=〃x)+〃f),;.〃f)=—〃x),

故/(x)为奇函数，A正确；

由于故一尸(r)f(x),即r(-x)=1(x),

则/,a)为偶函数，由尸⑴=2可得r(-i)=2,

由/(x+yb/aH/ly)+个(x+y),令y=l得/(x+l)=/(x)+/⑴+x(x+l),

故尸(x+l)=_f(x)+2x+l,令x=—2,则/(—1)=。(—2)—3,.•.广(―2)=5,B错误;

又〃x+y)=〃x)+〃y)+»(x+y),

贝-二匚小)一；小)一：，

令g(x)=〃x)-'，贝】Jg(x+y)=g(x)+g(y),

由柯西方程知，ga)=g(i),x,故〃x)=8⑴+事=\+g⑴.x,

贝ljr(x)=f+g⑴，由于广⑴=2,故1+g⑴=2,;.g⑴=1,

即〃x)=：+x,则/(3)=12,C正确；

〃xJ+〃X2)(号)3

玉+x2

对Vxpx2e(0,+oo)，xwx2,f|(1x|x)

22+2+1++2

3

——(一%；—+%2)-(Xj—X］产(％+%2)<0,

88

故,卜产卜山7^，D正确，

故选：ACD

3.(多选题)(2024•福建莆田二模)已知定义在R上的函数〃x)满足：〃x+y)=〃尤)+/(y)-3个(x+y),

则()

A.y=/(x)是奇函数

B.若/(1)=1,则〃-2)=4

C.若=则y=/(x)+v为增函数

D.若Vx>0,/(x)+d>0,则'=/(》)+三为增函数

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项

进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：“X)定义域为R,关于原点对称；

对原式，令x=y=0,可得〃0)=2/(0),解得"0)=0;

对原式，令产r,可得〃0)=/(x)+/(r),BP/(x)+/(-x)=0,

故y=/(x)是奇函数，A正确；

对B：对原式，令x=y=l,可得/(2)=2/⑴-3x2,

又/⑴=1，贝U/(2)=2xl—6=T;

由A可知，y=/(x)为奇函数，故〃-2)=-42)=4,故B正确；

对C：由A知，"0)=0,又/⑴=一1,对y=/(x)+V

当x=0时，y=/(0)+0=0；当x=l时，y=/(l)+l=0;

故y=/(x)+x3在=时，不是单调增函数，故C错误；

对D：在R上任取为>马，令//(3)=/⑺+/，

贝IJ/z(%)一/z(%2)=/(玉)+x：―/)一石

=f[a—%)+%]—/(x2)+(Xl—X2X^+君+下％)

=/(xj-%2)+/(X2)-3(X1-X2)X2■占-x2)+x2^|-/(x2)+(xl-9)储+卒2)

=/(再一%)—3卬式%一爸)+(巧一室乂才+4+占9)

=/(玉-尤1+(王一尤2)1

由题可知V尤〉。,/(元)+丁>0,又再_天2>0,故/(百_尤2)+(玉一尤J>0,

即无⑶-力㈤>0,/?(%1)>//(%2),故y=〃(x)在R上单调递增，

也即y=/(x)+X3在R上单调递增，故D正确；

故选：ABD.

题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型

抽象函数模型7

正弦函数型，或者正弦双曲函数型

/(x+y)/(x-y)=/(%)-尸(y)

则/'(x)=sinx,或者是正弦双曲函数/■(力=上《

1.(2024・广西南宁•一模)已知函数〃x)的定义域为R"(x+y)f(x-y)=_f(x)-尸(江且当x>0时,

/(x)>0,则()

A./(0)=1B,〃x)是偶函数C.“X)是增函数D.“X)是周期函数

【答案】C

【分析】

对A,令无-了=。求解即可；对B,令尤=0化简可得/(-y)+/(y)=0即可；对C,设％>占>0,结合题意

判断产(%)-产&)>0判断即可，•对D,根据〃x)是增函数判断即可.

【详解】模型解法一：构造正弦双曲函数即可

常规解法二：

对A,令x-y=O,则/(0)=/2(0)-/2(0),得/(。)=0,故A错误；

对B,令x=0,得/(y)/㈠)=r(O)—r(y),

由〃0)=0整理可得/(y)[/(-y)+/(^)]=0,

将y变换为->，贝lj/(7)"(y)+”7)]=0,

故"(y)+〃-y)T=o,故/㈠)+/(y)=o,故/⑴是奇函数，故B错误；

对C设三>占>0,则E)>0,

且/'?(%)-尸(%)=("/)+/■a》(/■(々)一/■a))

=/(x2+x1)/(x2-x1)>0,故产(%)-产(西)>0,贝[)/口2)>/(斗).

又〃。)=。，"X)是奇函数，故"X)是增函数，故C正确；

对D,由〃x)是增函数可得不是周期函数，故D错误.

故选：C

2.(多选)(2023•福建莆田•二模)已知函数/■(》)的定义域为R,且

〃工+日/白一、)=/(无)一尸(力八1)=6,42》+目为偶函数，贝U()

A./(0)=0B.〃x)为偶函数

2023

C./(3+x)=-/(3-x)D,£/伏)=石

k=l

【答案】ACD

【分析】对于A,利用赋值法即可判断；对于B,利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C,利用

换元法结合“X)的奇偶性即可判断；对于D,先推得〃x)的一个周期为6,再依次求得

/(1),/(2),/(3),/(4),/(5),/(6),从而利用f(x)的周期性即可判断.

【详解】模型解法一:构造正弦函数〃x)=2sin|^d即可

常规解法二：

对于A,因为/(x+y)/(x-y)=/2(x)-严(y),

令x=y=0,贝lj〃o)〃o)=尸(0)-尸⑼，故/'2(0)=。，贝丫(0)=0,故A正确；

对于B,因为/■(%)的定义域为R,关于原点对称，

令％=0,则y)=#(0)-产(力又不恒为0,故〃-y)=-〃y),

所以“X)为奇函数，故B错误；

对于C,因为+为偶函数，所以/2X+|J=/(2X+3],令T=-2X+[,则2x=t+：故

/(-)=〃/+3),

aQ

令”一2%+j则2尤=T+$故/«)=/(-+3),又〃x)为奇函数，故/(-/)=-/()

所以〃f+3)=—〃T+3),gp/(3+x)=-/(3-x),故C正确；

对于D由选项c可知〃r+3)=〃+)=—f(f),所以“r+6)=-C(/+3)"G),故"X)的一个周期为6,

因为"1)=6,所以"-1)=一/⑴=一石，对于〃r)=〃f+3),令r=2,得〃2)=〃1)=百，则

/(-2)=-V3,

令/=3,得〃3)=/(0)=0,则/(-3)=0,令y4,得〃4)=〃-1)=-石,47=5,得〃5)=〃-2)=-石,

令/=6,得/⑹=〃-3)=0,所以〃l)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=K+g+O_g_^+0=O,

2023

又2023=337x6+1,所以由/⑺的周期性可得：£/伏)=/⑴+/(2)+〃3)++/(2023)=/(I)=^,故

Z=1

D正确.

故选：ACD.

3.(多选题)(2024•河南郑州•二模)已知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)〃x-y)=[〃x)]2_[〃y『

/(l)=l,/(2x+l)为偶函数，则()

A./(O)=OB.〃x)为偶函数

2024

C./(2+^)=-/(2-x)D.£/(^)=0

k=\

【答案】ACD

【分析】令尤=y=0,