2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价三十八用函数模型解决实际问题含解析北师大版必修1

PAGE9-课时素养评价三十八用函数模型解决实际问题(15分钟30分)1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为 ()A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又2x>2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5D.人追不上汽车,其间距最少为7【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时3.今有一组试验数据如表所示:t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是 ()A.u=log2t B.u=2t-2C.u=t2-【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地相识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,解除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,解除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,t2-12=32-12=4,由题干中表格知当4.某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.

【解析】由三角形相像,即24-y24-8=x20,得x=54故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t每吨收费标准/元不超过2t部分m超过2t不超过4t部分3超过4t部分n已知某用户1月份用水量为8t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=mx当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得2m+6+4所以y关于x的函数解析式为y=1(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5t水.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则 ()A.a=b B.a>bC.a<b D.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a1-1100,所以b=a×992.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 ()A.3 B.4 C.6 【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为24-所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,Smax=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,一般车存车费是每辆一次0.5元,若一般车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是 ()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2000-x)=-0.3x+1600.4.我国工农业总产值安排从2000年到2024年翻两番,设平均每年增长率为x,则 ()A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2024年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特殊留意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2024·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,A.60 B.63 C.66 D.69【解析】选C.因为I(t)=K1+所以I(t*)=K1+则e0.23(t*-53)解得t*≈30.23二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是 ()A.甲比乙先动身B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x改变的数据如表:x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数改变的变量是.

【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数改变.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2起先改变,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数改变.答案:y28.(2024·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付胜利后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,须要支付元;

(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.

【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以实惠,所以当x=10时,顾客须要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的实惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,实惠的比例越大.而顾客要想得到实惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130(2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经验了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).依据图象供应的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得a+b或a无论哪个均可解得a=12所以所求函数关系式为S=12t2(2)把S=30代入,得30=12t2解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=12×72-2×7=212=10.5(把t=8代入,得S=12×82-2×8=16(万元则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界全部人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的状况调查时发觉:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得2=a+b,5=16a+4b,解得a=-1因为y=-14x2+94x=-14x-922+811681161.把物体放在冷空气中冷却,假如物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90℃的物体,放在10℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50℃,那么t的值约等于(参考数据:ln3A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=12,即-0.25t=ln12=-ln2≈-0.693,解得t2.某校学生探讨性学习小组发觉,学生上课的留意力指标随着听课时间的改变而改变,老师讲课起先时,学生的爱好激增;接下来学生的爱好将保持较志向的状态一段时间,随后学生的留意力起先分散.设f(x)表示学生留意力指标,该小组发觉f(x)随时间x(分钟)的改变规律(f(x)越大,表明学生的留意力越集中)如下:f(x)=100ax10-60,0≤x(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间留意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的留意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,