2024-2025学年高中数学第3章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用练习新人教A版选修2-3

PAGE2独立性检验的基本思想及其初步应用[综合训练·实力提升]一、选择题（每小题5分，共30分）1．推断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是A．2×2列联表B．独立性检验C．等高条形图D．其他解析A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度；独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为精确．答案B2．视察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是解析在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．答案D3．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46则表中a、b处的值分别为A．94，96B．52，50C．52，54D．54，52解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73，,a＋2＝b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝52，,b＝54.))答案C4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行探讨时，若有99.5%的把握认为事务A和B有关系，则详细计算出的数据应当是A．k≥6.635B．k<6.635C．k≥7.879D．k<7.879解析有99.5%的把握认为事务A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.答案C5．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d对于同一样本，以下数据能说明X与Y相有关的可能性最大的一组为A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，明显7>2.答案D6．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，观测值k＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案A二、填空题（每小题5分，共15分）7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照耀小白鼠．在照耀后14天内的结果如表所示：死亡存活总计第一种剂量141125其次种剂量61925总计203050进行统计分析的统计假设是________．解析由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与人体的受损程度无关．答案假设电离辐射的剂量与人体的受损程度无关8．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．解析因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案是9．某探讨小组为了探讨中学生的身体发育状况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，依据列联表的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系.超重不超重总计偏高415不偏高31215总计71320解析K2＝eq\f(20×（4×12－3×1）2,5×7×13×15)≈5.934>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．答案0.025三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．（10分）在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较宠爱哪一种进行了调查．调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较宠爱看电视，男性有35人比较宠爱运动．(1)请依据题目所供应的调查结果填写下列2×2列联表：看电视运动总计女男总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？解析(1)依据题目所供应的调查结果，可得下列2×2列联表：看电视运动总计女302555男203555总计5060110(2)依据列联表中的数据，可计算K2的观测值k；k＝eq\f(110×（30×35－20×25）2,50×60×55×55)≈3.667<3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．答案见解析11．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是依据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该本育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．依据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为在犯错误的概率不超过5%的前提下“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计解析由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100由2×2列联表中数据代入公式计算，得：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋c）（b＋d）（a＋b）（c＋d）)＝eq\f(100×（30×10－45×15）2,75×25×45×55)≈3.030.因为3.030<3.841，所以，没有理由认为在犯错误的概率不超过5%的前提下“体育迷”与性别有关．答案见解析12．（13分）为了解某班学生宠爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：宠爱打篮球不宠爱打篮球总计男生5女生10总计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到宠爱打篮球的学生的概率为eq\f(3,5).(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)．(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为宠爱打篮球与性别有关？说明你的理由．(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中宠爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．解析(1)列联表补充如下：宠爱打篮球不宠爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050(2)因为K2＝eq\f(50×（20×15－10×5）2,25×25×30×20)≈8.333>7.879.所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为宠爱打篮球与性别有关．(3)宠爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2.其概率分别为P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,10)Ceq\o\al(2,15),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(7,20)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(1,2)，P(ξ