2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语课时作业31.1.3四种命题间的相互关系含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业3四种命题间的相互关系时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的(C)A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．以上都不对解析：由四种命题的关系，知命题p与命题r互为逆否命题．2．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是(D)A．若m∈M，则n∈MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M解析：互为逆否命题的两个命题是等价命题，“若m∈M，则n∉M”的逆否命题是“若n∈M，则m∉M”．3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(C)A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．4．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题为“若a>－6，则a>－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.5．与命题“能被6整除的整数，肯定能被3整除”等价的命题是(B)A．能被3整除的整数，肯定能被6整除B．不能被3整除的整数，肯定不能被6整除C．不能被6整除的整数，肯定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则肯定能被3整除”的逆否命题．6．已知原命题“菱形的对角线相互垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假推断正确的是(D)A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：因为原命题“菱形的对角线相互垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”明显是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．7．下列结论中不肯定成立的是(B)A．若p⇒q，则¬q⇒¬pB．若p⇒q，则¬p⇒¬qC．若¬p⇒q，则¬q⇒pD．若p⇒¬q，则q⇒¬p解析：选项B中“p⇒q”与“¬p⇒¬q”是互否命题的关系，A，C，D选项中都是互为逆否命题的关系．故选B.8．若命题“若x<m－1或x>m＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是(D)A．(－1,2)B．(0,2]C．[－1,1)D．[0,2]解析：由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1,m＋1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1,m＋1≤3))，∴0≤m≤2.二、填空题9．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，在它及其逆命题、否命题与逆否命题中假命题是原命题，逆否命题，真命题是逆命题，否命题．10．命题“若x≠1，则x2－1≠0”是假命题．解析：可转化为推断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是[3,8)．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2－m≤0，,4＋4－m>0，))∴3≤m<8.三、解答题12．写出命题“若直线l的斜率为－1，则直线l在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并推断这三个命题的真假．解：逆命题：若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率为－1.明显该命题是假命题．否命题：若直线l的斜率不为－1，则直线l在两坐标轴上的截距不相等．明显该命题是假命题．逆否命题：若直线l在两坐标轴上的截距不相等，则直线l的斜率不为－1.明显原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．13．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明：原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1，所以原命题成立．——实力提升类——14．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是(D)A．都为真命题B．都为假命题C．否命题为真命题D．逆否命题为真命题解析：原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题，故选D.15．设a，b，c为三个人，命题A：假如b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小，命题B：假如c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大．若命题A，B都是真命题，则a，b，c的年龄的大小依次是否能确定？并说明理由．解：能确定．理由如下：明显命题A和B的结论是冲突的，因此应当从它们的逆否命题来考虑．由命题A为真，可知当b的年龄不是最大时，a的年龄是最小的，即若c的年龄最大，则a的年龄最小，所以c>b>a.而命题A