2024-2025学年高中数学第一章计数原理课时作业41.4简单计数问题含解析北师大版选修2-3

课时作业4简洁计数问题时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必需分完，那么不同分法的种数是(D)A．54 B．45C．5×4×3×2 D．5解析：由题意知，只有一个人没有票，故共有5种不同的分法．2．某次数学测验中学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成果f(i)∈{86,87,88,89,90}且满意f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，则此4名同学的成果的可能状况有(C)A．5种B．120种C．15种D．10种解析：当f(2)≠f(3)时，从五个数中任选四个从小到大排列对应学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成果，共有Ceq\o\al(4,5)＝5种方法；当f(2)＝f(3)时，从五个数中任选三个组成4名同学的考试成果，共有Ceq\o\al(3,5)＝10种方法，故共有10＋5＝15种方法．3．将4个不同的小球全部放入A，B两个盒子中，每个盒子至少放1个小球，求不同的放置方法的种数．甲列式子：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)×22；乙列式子：Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)；丙列式子：24－1；丁列式子：Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2).其中列式正确的是(B)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：第一类：1个放A盒，3个放B盒，有Ceq\o\al(1,4)种放置方法．其次类：2个放A盒，2个放B盒，有Ceq\o\al(2,4)种放置方法．第三类：3个放A盒，1个放B盒，有Ceq\o\al(3,4)种放置方法．依据加法原理，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)种不同的放置方法，所以乙列式正确．4．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(C)A．72B．96C．108D．144解析：分两类：若1与3相邻，有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(个)，若1与3不相邻有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)故共有72＋36＝108(个)．5．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数是(B)A．480B．240C．120D．96解析：从5本书中任取两本有Ceq\o\al(2,5)种取法，这两本为一堆，另外三本当成三堆，共四堆有四个学生拿，方法有Aeq\o\al(4,4)种，∴分法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240(种)．6．现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参与．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是(B)A．152B．126C．90D．54解析：先支配司机：若司机有一人，则共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝108(种)方法，若司机有两人，此时共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)方法，故共有126种不同的支配方案．7．4位同学参与某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必需从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分状况的种数是(B)A．48种B．36种C．24种D．18种解析：本题是考查排列组合及相关分类的问题．①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)．②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同状况有24＋12＝36(种)．故选B.8.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有(C)A．8种 B．12种C．16种 D．20种解析：如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接随意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)－4＝16(种)．故不同的建桥方案共有16种．二、填空题9．某旅游团组织的旅游路途有省内和省外两种，且省内路途有4条，省外路途有5条，则参与该旅游团的游客的旅游方案有9种．解析：游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路途，有4种方法，其次类：选省外路途，有5种方法，由分步加法计数原理知，游客的旅游方案有4＋5＝9(种)．10．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种(用数字作答)．解析：A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占eq\f(1,3)，∴排法有eq\f(2,3)Aeq\o\al(6,6)＝480(种)．11．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有10种．解析：有两种满意题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)种放法．综上可得，不同的放球方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＝10种．三、解答题12．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有Ceq\o\al(4,9)种方法；其次步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有Ceq\o\al(3,5)种方法；第三步：把剩下的书给丙，有Ceq\o\al(2,2)种方法．∴共有不同的分法为Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝1260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)种方法；其次步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有Aeq\o\al(3,3)种方法．∴共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝7560种．13．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的全部的四位数的各位数字之和为288，求x的值．解：因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有Aeq\o\al(3,3)个，所在的1的和共为4×Aeq\o\al(3,3)＝24.同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有Aeq\o\al(3,3)个，所以，所在的4的和共为4×4×Aeq\o\al(3,3)＝96.所在的5的和共为5×4×Aeq\o\al(3,3)＝120.所在的x的和为x×4×Aeq\o\al(3,3)＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.——实力提升类——14．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是336(用数字作答)．解析：由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有Aeq\o\al(3,7)种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)种不同的站法．因此不同的站法种数是Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336.15．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名；(2)队长至少有1人参与；(3)至少有1名女运动员；(4)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(2,4)＝120(种)不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参与和两人都参与：共Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(种)不同的选派方法．(3)全部选法中解除无女运动员的状况：共C