专题训练：第12章 因式分解（原卷版）

专题训练：第12章因式分解知识框架重难点题型题型1因式分解概念及意义【解题技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。1．（2021·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ）A． B．C． D．2．（2021·隆昌市知行中学月考）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．3．（2020·重庆南开（融侨）中学校期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A． B．C． D．4．（2021·陕西西安·高新一中期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．x2-x-1=x（x-1）-1 B．a2-ab=a（a-b）C．x2-1=x（x-） D．（x+2）（x-2）=x2-45．（2018·安徽初一期中）已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．6．（2021·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（2021·重庆八中初二期中）若多项式可分解为，则的值为（）A． B． C． D．8．（2021·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．题型2提公因式法【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）计算：________．2.（2021·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．3．（2021·北京北师大实验中学初二期中）因式分解；．4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）5．（2021·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______．6．（2021·内蒙古昆都仑·初二期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）8．（2021·上海市静安区实验中学初一课时练习）分解因式：9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：10．（2020·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为____________．题型3运用公式法【解题技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。1．（2020·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（）A． B． C． D．2．（2020·潍坊美加实验学校其他）分解因式：___________．3．（2020·静宁县田堡初级中学期中）在实数范围内因式分解：a2－2＝______.4．（2020·辽宁灯塔·期末）分解因式5．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．6．（2020·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A． B． C． D．7．（2021·郁南县蔡朝焜纪念中学初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．8．（2020·广东二模）因式分解：a2﹣2ab+b2=_________．9．（2020·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1）（2）题型4分组分解法【解题技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。1．（2020·太原师范学院附属中学初二月考）整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形．把多项式乘多项式法则反过来，将得到：，这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例：（第一步）（第二步）（第三步）（1）例题求解过程中，第二步变形是利用____________（填乘法公式的名称）（2）利用上述方法，分解因式：．2．（2021·陕西三原·初二期末）阅读材料，回答问题：材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：分解因式：（1）；（2）．3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先分解因式，再求值：，其中，．6．（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解：（1）；（2）．7．（2021·诸暨市浣江初级中学初一期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）===（2）===（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①；②．8．（2021·福建省泉州实验中学期末）因式分解：(1)(2)9．（2021·安徽全椒·初一期中）因式分解：（1）；（2）题型5十字相乘法1．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．2．（2020·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（）A． B． C． D．3．（2020·陕西凤翔·初一期中）计算结果为的是（）A． B． C． D．4．（2020·长春市第四十七中学月考）分解因式________________．5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．6．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________7．（2019·全国初一单元测试）因式分解：______.7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则，的值是（）A．，B．，C．，D．，12．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．题型6利用因式分解判断三角形1．（2019·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2.（2020•闽清县期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．3．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为：；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.4.（2020•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．5．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．6．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．7．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．8.（2020•东营期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？9.（2019•仁寿县期中）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．题型7利用因式分解求值1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.2．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．3．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（）A． B．或 C．1 D．1或114．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．5．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）已知，，则代数式的值是________．6.（2021•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．7．（2020·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．8．（2020·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．任务:（1）利用上述方法推导立方和公式(从左往右推导)；（2）已知,求的值．9.（2021•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．10．（2021·全国初一课时练习）已知实数a，b满足：，，则|=．题型8因式分解的应用解题技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。1．（2020·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．2.（2021•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．3．（2020·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．4．（2020·河南郑州外国语中学初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．5．（2020·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：若，求的值．解：根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，求的值．6．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．7．（2021·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．8．（2020·邵东创新实验学校初一期中）先阅读下列解答过程，然后再解题．例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解