13.5 逆命题与逆定理（重点练）解析版

13.5逆命题与逆定理（重点练）一、单选题1．（2021·湖南湘乡·八年级期末）在RtABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【分析】根据角平分线的性质即可求得．【详解】解：∵∠B=90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴DE=BD=3，

故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2．（2021·辽宁沈河·八年级期末）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（）A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等【答案】A【分析】根据角平分线判定得出BP平分∠DPE，根据平行线的性质推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案．【详解】解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，∴BP平分∠DPE，∴∠DPB＝∠EPB，∵DP∥BC，PE∥BD，∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，∴∠DBP＝∠EBC，即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的性质的应用，注意：角的内部到角的两边距离相等得点在角的平分线上．3．（2021·全国八年级课时练习）命题“邻补角互补”的逆命题是（）A．真命题 B．假命题 C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻【答案】B【分析】根据命题“邻补角互补”写出的它的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：“邻补角互补”的逆命题是“互补的角是邻补角”，这句话是错误的，是假命题，故选：B．【点睛】本题考查了命题与逆命题，以及判断命题的真假，能准确写出原命题的逆命题是解题的关键．4．（2021·全国八年级课时练习）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．如果或，那么 B．两个负数之积是正数C．如果，那么 D．绝对值相等的两个数一定相等【答案】B【分析】先找出各命题的逆命题,后根据所学知识逐一判断即可．【详解】根据题意，得A命题的逆命题是“如果，那么或”，是真命题，不符合题意；B命题的逆命题是“如果两个数的积是正数，那么这两个数都是负数”，两数还可能都是正数，是假命题，符合题意；C命题的逆命题是“如果，那么”，是真命题，不符合题意；D命题的逆命题是“如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等”，是真命题，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了命题，逆命题的关系，熟练掌握逆命题的确定方法并灵活判断真伪是解题的关键．5．（2021·全国八年级课时练习）以下命题的逆命题为真命题的是（）A．邻补角相等 B．同旁内角互补，两直线平行C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】先写出各自命题的逆命题，然后进行判断即可得到答案．【详解】解：A、邻补角相等的逆命题是：互补的两个角相等，是假命题，不符合题意；B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意；C.若a=b,则的逆命题为若，则a=b，此逆命题为假命题，故错误；D.若a>0，b>0，则的逆命题为若，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故错误．故选B．【点睛】本题主要考查了逆命题和判定命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．（2021·全国八年级课时练习）下列命题的逆命题一定成立的是（）①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则④若，则A．①②③ B．①④ C．②④ D．②【答案】D【分析】先写出各自命题的逆命题，然后进行判断即可得到答案．【详解】解：①逆命题为：相等的角为对顶角，错误；②逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确；③逆命题为：若，则，例如，，但，所以逆命题错误；④逆命题为：若，则，，因为当时，也可能，所以逆命题错误．故选D．【点睛】本题主要考查了逆命题和判定命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（2019·广东增城·八年级期末）如图，点是平分线上的一点，，垂足为D，若，则点到边的距离是（）A． B．3 C．5 D．4【答案】B【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质即可求得．【详解】作PE⊥OA于E∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA∴PE=PD=3故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm【答案】B【分析】过点D作DE⊥AB于E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=CD，再代入数据求出CD，即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD平分∠CAB，

∴DE=CD，

∵BC=12cm，BD=8cm，

∴CD=BC-BD=12-8=4cm，

∴DE=4cm．

故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．9．（2020·重庆璧山·）下列命题中，错误的是（）A．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称；B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等；C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；D．五边形共有5条对角线．【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质、三角形全等判定条件、等腰三角形的三线、多边形的对角线条数公式逐一判断即可．【详解】垂直平分线也是这条线段的对称轴，故A正确；符合HL，故B正确；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故C错误；多边形对角线公式为：，当n=5时，有5条对角线，故D正确；故选C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形全等判定条件、等腰三角形的三线、多边形的对角线条数，熟练掌握相关性质并灵活应用是本题的关键．10．（2020·山东八年级月考）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若的周长为，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形三线合一的性质得出AB=AE=CE，再根据的周长为，能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案．【详解】∵，，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∵△ABC周长26cm，AC=10cm，∴AB+BE+EC=16cm，即2DE+2EC=16cm，∴DE+EC=DC=8cm．故选：C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练应用等腰三角形和垂直平分线的性质进行等量代换为解题关键．11．（2019·江西吉安·八年级期末）如图，，点是垂直平分线的交点，则的度数是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用线段垂直平分线的性质即可得出答案.【详解】解：连接OA，OB∵∠BAC=80°∴∠ABC+∠ACB=100°又∵O是AB和AC垂直平分线的交点∴OA=OB，OA=OC∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC∴∠OBA+∠OCA=80°∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°又∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO=10°故答案选择B.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质.12．（2020·巴彦淖尔市临河区第二中学八年级月考）如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（）A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定【答案】C【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴DE=DF，

∴S△ABD：S△ADC=AB•DE：AC•DF=AB：AC=4：3．

故选C．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．13．（2020·北京市京源学校）如图所示,在中，，AD平分，于点E，则下列结论：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正确的有（）A．①② B．①④ C．③④ D．①②④【答案】D【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【详解】∵AD平分∠BAC

∴∠DAC=∠DAE

∵∠C=90°，DE⊥AB

∴∠C=∠E=90°

∵AD=AD

∴△DAC≌△DAE

∴∠CDA=∠EDA

∴①AD平分∠CDE正确；

无法证明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB错误；

∵BE+AE=AB，AE=AC

∴BE+AC=AB

∴④BE+AC=AB正确；

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B

∴∠BDE=∠BAC

∴②∠BAC=∠BDE正确．

故选D．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题关键是灵活运用角平分线的性质进行分析．14．（2019·温州市第十二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知△AFC的面积为5，FD＝2，则AC长是（）A．2.5 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面积法，便可求出AC.【详解】解：过F作FH⊥AC，∵AD⊥BC，CE平分∠ACB，∴FH＝DF，∵FD＝2，∴FH＝2，∵△AFC的面积为5，∴AC•FH＝×2×AC＝5，∴AC＝5，故选：C．【点睛】考查了角平分线性质和用面积法求三角形的低，也属于常考题目，希望重点掌握.二、填空题15．（2020·江苏南京·八年级期中）角的内部到角两边距离相等的点在_______上．【答案】角的平分线【分析】根据角平分线性质的逆定理解答即可．【详解】∵角平分线性质的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上∴答案为角的平分线故答案为角的平分线．【点睛】本题考查了角平分线性质的逆定理，熟练记忆定理是本题的关键．16．（2020·富顺第三中学校八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=______．【答案】10cm【分析】根据垂直平分线的性质求出AE等于BE，再根据已知条件可知BE与EC的和，再用周长减去BE与EC的和即可得出BC的长．【详解】解：在△ABE中，∵D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，∴BE+EC=AE+EC=AC=14cm，又∵BE+EC+BC=24cm，∴BC=24-14=10cm．故答案为：10cm．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，熟记相关性质并能灵活应用是解题的关键，切记答案带单位．17．（2020·江苏南京·八年级期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为_______．【答案】11【分析】根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可得到AD=BD，则，代入即可求解．【详解】∵的垂直平分线交于点∴AD=BD∵∴∵，∴故答案为：11．【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．18．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．【答案】15【分析】根据角平分线的性质定理可得DE的长，再利用三角形的面积公式求得答案即可．【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E,∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴CD=DE=3∴S△ABD=·AB·DE=×10×3=15故答案为：15【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解熟记并熟练运用是解题关键．19．（2019·福建漳州·八年级期中）如图，是内一点，且点到，的距离，相等，则的依据是__．【答案】HL【分析】根据证明即可．【详解】解：，，，在和中，，．故答案为．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2020·和平县和丰中学八年级月考）如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°−∠AED=62°，∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，∴∠ABE=28°故填：28°.【点睛】此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.21．（2019·辽宁灯塔·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF的度数为__________【答案】40°【分析】根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，BF=CF，推出∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，即可求出∠ABE+∠CBF的度数，就能求出答案．【详解】∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，

∴AE=BE，BF=CF，

∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，

∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=110°，

∴∠A+∠C=70°，

∴∠ABE+∠CBF=70°，

∴∠EBF=110°-70°=40°，

故答案为：40°【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，解此题的关键是求出∠A+∠C的度数，进一步求出∠ABE+∠CBF的度数，题目比较典型，难度不大．22．（2019·浙江宁波·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当的周长最小时，的度数为_________．【答案】100°【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】解：如图，

作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，

连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，

∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，

∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，

由轴对称的性质得：A′N=AN，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，

∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．

故答案为：100°【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．23．（2019·温州市第十二中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝_____°．【答案】35【分析】利用三角形内角和定理求出∠CEB，再证明∠A＝∠EBA，便可求解了.【详解】解：∵∠C＝90°，∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，∵DE垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵∠CEB＝∠A+∠EBA，∴∠A＝∠EBA＝35°，故答案为35【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段的垂直平分线性质，三角形内角和定理，解题关键是熟悉掌握知识本身.24．（2019·河南叶县·八年级期末）如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，.若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为__________．【答案】10【分析】连接AD,根据等腰三角形的性质可得而AD⊥BC，根据三角形的面积求出AD的长，由EF是AC的垂直平分线可得当AD,EF交点M时，周长的最小值为AD+CD的长，故可求解.【详解】连接AD,∵，点为边的中点，∴AD⊥BC，∵，的面积是，∴AD=16×2÷4=8，∵EF是AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴周长的最小值为AD+CD=8+BC=8+2=10.故填：10.【点睛】此题主要考查对称轴的应用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的性质.25．（2018·上海长宁·）已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________【答案】16【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2，

∴点P到AC、BC的距离为2，

∵△ABC的周长为16，

∴△ABC的面积=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16．

故答案为16．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键．26．（2018·上海长宁·）如图，已知点B、C分别在∠EAF的两边AE，AF上，BP,CP分别平分∠EBC,∠BCF,则点P__________（填“一定在”或“不一定在”）∠A的平分线上【答案】一定在.【分析】作射线AP，过点P分别作AE、BC、AF的垂线PM、PD、PN，M、D、N为垂足．根据角平分线的性质可得PM=PD，PD=PN，进而可得出结论．【详解】证明：过点P分别作AE、BC、AF的垂线PM、PD、PN，M、D、N为垂足，

∵CP是∠FCB的平分线，

∴PN=PD．

同理：PM=PD．

∴PM=PN．

∴点P在∠BAC的平分线上．故答案为一定在.【点睛】本题考查角平分线的性质定理和判定定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．27．（2019·全国）已知，如图，AC=BC，AD=BD，那么______是_______的垂直平分线.【答案】CDAB【分析】根据线段垂直平分线的判定即可解答.【详解】解：∵AC=BC∴点C在线段AB的垂直平分线上；∵AD=BD∴点D在线段AB的垂直平分线上；∴CD是线段AB的垂直平分线上.故答案为CD；AB.【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键.28．（2019·广西青秀·南宁二中八年级期中）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.三、解答题29．（2020·四川武侯·成都七中八年级开学考试）如图，的顶点均在正方形网格图的格点上，且网格中每个小正方形的边长都是1．（1）画出在网格图中关于直线对称的图形；（2）在直线上找一点，使得（要求在直线上标出点的位置）；（3）连接、，计算四边形的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）．【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过中点作交直线于点，点即为所求；（3）根据列式计算即可得解．【详解】解：（1）△如图所示；（2）如图所示，过中点作交直线于点，此时；（3）．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．30．（2019·浙江路桥·八年级期末）如图，已如是等边三角形，于点，于点，，求证：（1）≌；（2）是的垂直平分线．【分析】（1）已知BE=CF,∠EBD=∠FCD,∠BED=∠CFD，根据三角形全等的判定定理可得；（2）通过证明△ABD≌△ACD得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，推出是的垂直平分线．【详解】（1）∵是等边三角形，∴，∵，，∴，∵，∴≌．（2）∵≌，∴，∵是等边三角形，∴，∴点，均在的垂直平分线上，∴是的垂直平分线．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，关键是找边角关系，选择合适的判定定理证明，另外及垂直平分线判定需要满足两条，一平分，二垂直.31．（2018·浙江江干·八年级期末）写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．【答案】逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．理由见解析.【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可.【详解】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，∵BC=BC，∴△CBD≌△BCE（HL），∴∠DBC=∠ECB，∴△ABC为等腰三角形．【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.32．（2020·广东广州市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．（1）若，求的度数；（2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．【答案】（1）30°；（2）26【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；（2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过线段代换即可求得△ABC的周长．【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB70°，∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；（2）∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，EC＝EA＝5，∴AC＝2AE＝10，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键．33．（2020·广东广州市第二中学八年级期中）尺规作图：如图，已知和两点M，N，试确定一点P，使得P到射线OA，OB的距离相等，并且到点M，N的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，射线OT交直线EF于点P，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查几何作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，属于中考常考题型．34．（2020·陕西韩城·八年级期中）如图，已知在中，的垂直平分线交于点，连接．若，求的度数；若求线段的长度．【答案】（1）30°；（2）7【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．

（2）由（1）得BD=AD，结合AB=AC，根据BD=AD=AC-CD，代入即可求解．【详解】（1）点在的垂直平分线上，（2）．【点睛】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．35．（2020·广西宾阳·八年级期中）已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC．【分析】根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可.【详解】过E点作EF⊥AB于点F，∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB∴DE=EF∵E是CD的中点∴DE＝EC∴EF＝EC∵EF⊥AB，∠C＝90°∴BE平分∠ABC．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握.36．（2017·广东吴川一中实验学校八年级月考）如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．求证：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．【分析】根据角平分线的性质得出距离相等，结合其它条件先证△ABP≌△CBP，从而得到AB=BC.再利用“边角边”证得△ABD≌△CBD，从而根据全等三角形的性质证得结果.【详解】解：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，

∴△ABP≌△CBP

∴AB=BC，∵点D是∠ABC的平分线上一点，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中∴△ABD≌△CBD，

∴(1)AD=CD，(2)∠ADB=∠CDB．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；得出两对三角形全等是正确解决本题的关键．37．（2019·江苏玄武·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长．【答案】【分析】连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A=90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC=DB，设DC=DB=x，则AD=8-x．根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接DB，在△ACB中，∵AB2+AC2＝62+82＝100，又∵BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2．∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x．在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即CD＝．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.38．（2021·山东牡丹·）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PBN和Rt△PCM全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，

∴PM=PN，

∵PQ是线段BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

在Rt△PBN和Rt△PCM中，，

∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），

∴BN=CM．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确确定出全等三角形是解题的关键．39．（2019·上饶市广信区第七中学八年级月考）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）求∠AOB的度数．（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用等边三角形的性质证明；（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形内角和等于180°，由△APC和△BPO中有内角互为对顶角进而得出∠BOA=∠ACP=60°.（3）过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其对应高相等．再根据到角两边距离相等的点在角平分线即可得出结论.【详解】（1）证明：与都是等边三角形，，，，∴，即．在和中，，（SAS）．（2）．∴∠CBD=∠CAE，

∵∠BPO=∠APC，又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.

∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．（3）如图，过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，，∴，AE=BD，∴，∴CG=CH，又∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴OC是∠AOD的角平分线，即OC平分∠AOD.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等．40．（2019·山东郓城·八年级月考）△ABC的边BC的中垂线DF交∠BAC的外角平分线AD于D，垂足为F，ED⊥AB与点E，且AB>AC,求证：BE-AC=AE【分析】作DG⊥AC，连接BD、CD，易证△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再证明△BED≌△CGD，即可得到；【详解】证明：作DG⊥AC，连接BD、CD，∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，∴∠DAE=∠DAG，则在△ADE与△ADG中,∴△ADE≌△ADG(AAS)，∴AE=AG，∵DF是BC的中垂线，∴BD=CD，∴在Rt△BED和Rt△CGD中，，∴Rt△BED≌Rt△CGD(HL)，∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，∴BE−AC=AE.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.41．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，