2024新高考数学基础知识梳理与练习：集合与逻辑用语

模块一：集合与逻辑用语

1、元素与集合

(1)元素与集合的含义

元素:一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a,b,c,...表示.

集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).用大写拉丁字母4、B、表示.

(2)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的;反

过来,当这两个集合相等时,这两个集合中的元素是完全相同的.

2、元素与集合的关系

关系概念记法读法

属于a是集合4的元素，就说a属于集合aa属于集合a

不属于a不是集合4中的元素，就说a不属于集合aa不属于集合a

3、集合中元素的三个特性(判断是否是集合的依据)

(1):对任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合，二者必居其

>

(2)(同一个集合中的元素是互不相同的,相同的元素只能出现一次；

(3)—:集合中的元素没有先后顺序.

4、集合的分类

(1)按元素属性分类:数集、点集、图形集等；

(2)按元素个数分类:有限集、无限集

5、集合表示方法

(1)列举法：

(2)描述法：

描述法表示集合的基本形式:{xEA\P(x)]

(3)图示法:Venn图和数轴表示集合.

6、常用数集符号

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号表肃

7、集合间的基本关系

(1)集合间的关系：

语言符号表

概括示Venn图相关性质

子集

真子

集

集合A=B------、(1)a=B=auB且Bua(2)两个

相等集合中的元素相同

(2)空集:把不含任何元素的集合叫做空集,记作:0;规定:空集是任何集合的子集:空

集是任何非空集合的真子集.

(3)用Venn图表示集合间的基本关系：

AQB]BQA]4GB)mMB

}o/l=B(

B¥A)8d\BlA

(4)含有几个元素的集合

_集合子集个数真子集个数非空子集个数非空真子集个数

…’。九}

8、集合的基本运算

(1)集合的基本运算

语

言

运描

算述符号表无图形表不运算性质

并auB=⑴auB=Bua；(2)AU(BUC)=

集(x\xe(AUB)uc；(3)au。=。ua=a；(4)

4或久eAUAA;(5)A(AUB),Bc

Q4uB)；商BuaqauB=a,

B}

交

集

补

集

(2)全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全

集，通常记作U.

(3)德•摩根定律：

⑴Cu(ACB)=(CMU(QB)(2)Cu(AUB)=(小)C。胆)CV(AnB)

(CVA)U(CVB)

C.MUfi)(C.4)na,,B)

(4)集合中元素个数计算(阅读课本人教A版P15-P16]

(1)card(>1UB)=card(Z)+card(B)—cardQ4AB);

(2)card(?lU8UC)=card(71)+card(B)+card(C)—card(XAB)—card(71AC)—

card(BClC)+card(AClBClC)

9、充分条件与必要条件

(1)充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q"为真命题,是指由p通过推理可以得出q.即由p退出q，记作：

并说的充分条件，的必要条件.(2)充分条件、必要条件、充要条件的

判断

定义法判断集合语言判断

p是q充分不必要条件

p是q必要不充分条件

p是q充要条件

p是q既不充分也不必要条p/q田qA乏B且B乏

件分pA

注:把p研究的范围看成集合a,把q研究的范围看成集合B,记a={%|=

(XIq(x))

(3)充要条件的证明：

(1)证明“p是q充要条件”，要分别从“pnq"和“qnp”两个方面证明，即要分别

证明充分性和必要性两个方面,但是,在表述中要注意充分性与必要性对应的关系.

(2)要分清命题中的条件和结论，防止把充分性和必要性弄颠倒,由条件》结论是证

明充分性,由结论=条件是证明必要性.

10、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题

语言定义符号表示

全称量词短语中在逻辑中成为全称蠢京

全称量词命题含有全称量词的命题

语言定义符号表示

全称量词命题(1)M断全称量词命题是真命题，需要对每一个元素%,证明都成立;的

判断(2)判断全称量词命题是假命题,举反例.

(2)存在量词与存在量词命题

语言定义符号表示

存在量词后语中在逻辑中成为存在量♦

存在量词命题含有存在量词的命题

存在量词命题(1)判断存在量词命题是真命题,举例说明；的判断(2)判断全称量词

命题是假命题，需要对每一个元素x，证明都不成立;.

(3)量词的否定

命题形式否定rp

存在量词命题

存在量词命题

全称量词命题的否定是存在量词命题;存在量词命题的否定是全程量词

【课本优质习题汇总】

新人教A版必修一P14

6,已知全集u=auB={xeN|OWxw1O}Mn(C0B)={1,357},试求集合B.

新人教A版必修一P23

5.设a,b,ceR.证明:a?+扭+c?-ab+ac+be的充要条件是a-b-c.

6.设a,b,c分别是AABC的三条边，且aWbWc.我们知道，如果△ABC为直角三角

形，那么a?+块=°?(勾股定理).反过来，如果a?+房=c2,那么△ABC为直角三

角形(勾股定理的逆定理).由此可知,△ABC为直角三角形的充要条件是a?+4=

c2.

请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并

证明.

新人教A版必修一P35

11.学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛,

有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3

人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田

径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

12.根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：

(第12(2)题)

(1)1=M,

1+3=22,

1+3+5=32,

1+3+5+7=42,

1+3+5+7+9=52,

(2)如图，在△ABC中,A。,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高，则AD,BE与CF

所在的直线交于一点。.新人教B版必修一P22

(1)已知集合A-{1,3,m],B={m2,1},且AUB=A,求zn的值.

(2)已知集合P-(x\x2<1},M-{d}，若PUM=P，求a的取值范围.

(3)已知U=(-8,+8),A=(-8,a],B=(-oo,1)，且《M)UB=U，求a的取值

范围.

(3)已知M,N为全集U的非空真子集，且M与N不相等，若(CyM)CN=0,试判断

集合M和N的关系，并求出MUN.

新人教B版必修一P31

(3)已知区间M=[a,a+1],且"Vxe+1>0"是真命题,求实数a的取值范

围.

新人教B版必修一P38

Q判断下列命题的真假：

11

(11VxGR,——V1；(2)3%GR,—V%+1.

xz+lX

(2)判断下列命题的真假：

(1)Va,beR,(a+b)3-a3+a2b4-ab24-b3;

(2)Va,Z?GR,a3+Z?3=(a+b)(a2—ab+b2).

新人教B版必修一P42

1.已知A={1,2,3,4,5},B={(%,y)|%EA,yEA,x-y"},求B中所含元素的个

数.

2.已知集合A={(%,y)\x2+y2<l,x,yGZ],B={(x,