全概率公式高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章§7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式学习目标1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式，并会简单应用.导语王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？课时对点练一、全概率公式二、多个事件的全概率问题*三、贝叶斯公式随堂演练内容索引一、全概率公式

一问题从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1,2.如图所示.提示因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是

，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式，得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2)＝P(R1R2)＋P(B1R2)＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1)知识梳理全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有___________________.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；例1记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与).(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).反思感悟跟踪训练1某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，多个事件的全概率问题

二甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.例2设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1,2,3，P(A3)＝P(H1H2H3)，又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞机被击落的概率为0.458.“化整为零”求多事件的全概率问题反思感悟(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.反思感悟跟踪训练2假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.用A1，A2，A3分别表示事件买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.贝叶斯公式

*三知识梳理*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有__________________________________，i＝1,2，…，n.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率；例3设事件B1，B2，B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品”.易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，故取到次品的概率为0.0345.(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01)故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36.贝叶斯公式的内涵(1)公式

反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重.反思感悟跟踪训练3设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，课堂小结1.知识清单：(1)全概率公式.(2)贝叶斯公式.2.方法归纳：化整为零、转化化归.3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.随堂演练

1.已知P(BA)＝0.4，P()＝0.2，则P(B)的值为A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5√2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为A.0.6 B.0.85C.0.868 D.0.88√设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1,2，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.所以该产品合格的概率为0.868.3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为

，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为______.设小王从这8题中任选1题且做对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路的题为事件D，4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为____.设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.则Ω＝B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥.课时对点练

基础巩固1.某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.02√随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.0248.2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为A.0.8 B.0.532C.0.4825 D.0.3125√设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，3.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是A.0.01245B.0.05786C.0.02865 D.0.03745√用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，故P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)4.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7√设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68.5.(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是√√由全概率公式可知，所以BC错误，D正确.6.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为√设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的报名表”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，7设A1表示“早餐去a餐厅用餐”，B1表示“早餐去b餐厅用餐”，A2表示“午餐去a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1，8.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________.64%9.以往大数据分析结果表明，当机器调试良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调试良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时，试求机器调试良好的概率(精确到0.01).设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调试良好”，10.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回.求顾客买下该箱玻璃杯的概率.设Ai为“该箱玻璃杯有i个次品”(i＝0,1,2)，B为“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，综合运用11.(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为√√√由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；故D正确.12.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64√设A表示“