沪教版九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点10四种方法求二次函数的解析式(原卷版+解析)

重难点10四种方法求二次函数的解析式【知识梳理】1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.3.交点式已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【考点剖析】解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．5．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．解法三：交点式1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标.（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′BB′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于6时，求点N的坐标.7．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【过关检测】1．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式．2．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．4．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求点A坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．5．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．6．（2022·上海徐汇·九年级期末）二次函数的自变量x的取值与函数y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知二次函数．(1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图像沿轴向下平移5个单位，所得新抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，顶点为，求的面积．8．（2022·上海金山·九年级期末）已知：抛物线经过点和，顶点为点，抛物线的对称轴与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点平移到点的位置，如果，求平移后的抛物线解析式．9．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．(1)用含的代数式表示顶点的坐标：(2)当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式：(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在内，求的取值范围．10．（2022·上海普陀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)两点．(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；(2)将抛物线y=x2-bx+c向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'．①求∠BP'P的度数；②将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．11．（2022·上海静安·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，（如图所示），二次函数的图像经过点O、A、B三点，顶点为D．(1)求点B与点D的坐标；(2)求二次函数图像的对称轴与线段AB的交点E的坐标；(3)二次函数的图像经过平移后，点A落在原二次函数图像的对称轴上，点D落在线段AB上，求图像平移后得到的二次函数解析式．12．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于点和点，与轴交于点,顶点为．（1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标；（2）将抛物线沿轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为,点的对应点为．①如果点落在线段上,求的度数；②设直线与轴正半轴交于点,与线段交于点,当时,求平移后新抛物线的表达式．13．（2022·上海市罗星中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．14．（2022·上海宝山·九年级期末）已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．

重难点10四种方法求二次函数的解析式【知识梳理】1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.3.交点式已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【考点剖析】解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得c=0a解得a=4b=5∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得a−解得a=2b=则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；由y＝2x2﹣3x+5＝2（x−34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x=33.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO＝1，OB＝4，AB＝AO+OB＝1+4＝5，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数图象过A，C，B三点，∴a−解得a=−∴二次函数的表达式为y=−54x24.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，∴4a−解得a=−故抛物线的解析式为y=−27x25．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，画出图形，过作轴交于由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：；∴∴D（-3，2）；（2）令则∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，，∴E（-2，3），过作轴交于设为则则为∴（3）如图，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，∴∠ABC=∠OCD=45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图，当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC=2，经检验：符合题意，∴P（0，1），②如图，当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC=9，经检验：符合题意，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a=−所以这个函数的关系式为y=−19（x2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2．所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．【答案】（1）顶点D（m，1-m）；（2）向左平移了1个单位，向上平移了2个单位；（3）m=－1或m=－2．试题分析：把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标.把点代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解.分两种情况进行讨论.试题解析：（1）∵，∴顶点D（m，1-m）．（2）∵抛物线过点（1，-2），∴．即，∴或（舍去），∴抛物线的顶点是（2，-1）．∵抛物线的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位．（3）∵顶点D在第二象限，∴．情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1）．作于点G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍）．情况2，点A在轴的负半轴上，如图（2）．作于点G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍），或解法三：交点式1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．【解题思路】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），即y＝2x2﹣4x﹣6．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．∴B（2，0），C（0，2），设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a=3所以此时抛物线的解析式为y=34（x﹣1）（x﹣4）=34x当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a=−所以此时抛物线的解析式为y=−34（x﹣1）（x﹣4）=−3所以该二次函数的解析式为y=34x2−154x+3或y=−4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．【答案】（1）抛物线为，；（2）；（3）【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标；（2）过D作CA延长线的垂线，通过证明求出DE和EC的长度，再求出正切值；（3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标．【详解】解：（1）将，代入抛物线，解得：，∴抛物线为，令x=0，得y=4，故．（2）过作交延长线于，因为，，∴，∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，∴，∴，，EC=6，∴．（3）设，连接DP、AP，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【解题思路】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答过程】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【解题思路】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；（2）将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标是15．【解答过程】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新抛物线经过点（1，5），∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵与y轴的交点坐标，∴设交点为（0，y），∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，∴与y轴的交点坐标为（0，15）．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【解题思路】先确定出抛物线经过点（1，0），再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出原抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线顶点式形式，再把点的坐标代入求出a的值，即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∵向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），∴原抛物线的顶点坐标为（3，1），设抛物线顶点式形式y＝a（x﹣3）2+1，则a（1﹣3）2+1＝0，解得a=−所以，原抛物线的解析式为y=−14（x4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式【答案】【分析】把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的横坐标不变，即可求得函数解析式．【详解】∵，∴顶点坐标为(-2，-1)

∵这个二次函数的图象只上、下平移，且顶点恰好落在正比例函数的图象上，

即顶点的横纵坐标互为相反数，∴顶点的横坐标不变为-2，纵坐标为2，∴顶点坐标为(-2，2)，

∴函数解析式是：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=-x的图象上点的坐标特征．5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．【解题思路】先确定A点坐标为（1，0），M点坐标为（﹣2，﹣3），顶点P的坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，可得到△AMH为等腰直角三角形，则△AOD为等腰直角三角形，于是有D点坐标为（0，﹣1），AD=2，所以点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，这样抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，然后求出点P【解答过程】解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A点坐标为（1，0），把x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝4﹣4﹣3＝﹣3，则M点坐标为（﹣2，﹣3），y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则P点坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，∵AH＝1﹣（﹣2）＝3，MH＝3，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠OAD＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∴OA＝OD＝1，∴D点坐标为（0，﹣1），AD=2∴点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，∴抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，∵点P（﹣1，﹣4）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣5＝y＝x2+4x﹣1．6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标.（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′BB′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于6时，求点N的坐标.【答案】（1），顶点坐标；（2）①，②当时，点的坐标为或.【分析】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)即可求出m，得出顶点坐标，连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B=2求出,得,故可得的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与，解得三角形的高；故设或分别代入即可求出N的坐标.【详解】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入得解得∴抛物线的关系式为：，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为.（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得，（舍去）；∴，得顶点连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B==2∵,∴,∴.②∵,即,∴;∵线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处;∴,∴轴，;设在边上的高为，得：，解得；∴设或分别代入得解得：或∴或，方程无实数根舍去，∴综上所述：当时，点的坐标为或.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解.7．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【答案】(1)(2)①k≥2②P的坐标为（2，3）或（-2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；②把P（m，n）代入，得n=，则P（m，），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC=tan60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．(1)解：把，代入，得，解得：，∴函数解析式为：；(2)解：①∵，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．∴抛物线向右平移了m个单位，∴，∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m，）根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC=tan60°=，解得：∵m＞0，∴m=2，∴n==3，故P的坐标为（2，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．【过关检测】1．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式．【详解】解：由题意，得解这个方程组，得∴所求二次函数的解析式是．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的方程组时，采用了“加减消元法”来解方程组．2．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，－1）【分析】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A、B的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，则有PA＋PC＝PB＋PC＝BC，所以此时PA＋PC最小，然后求出直线BC的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，，∴，把点A的坐标（1，0）代入得，所以抛物线的解析式为；（2）解：连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，如图所示：∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，∴此时PA＋PC最小，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把C（0，－3），B（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x－3，当x＝2时，y＝x－3＝2－3＝－1，∴P点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2），开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．【详解】解：（1）∵∴∵∴m≠3∴（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．4．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求点A坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．【答案】（1）点A的坐标为（﹣1，0）；（2）y＝+4，顶点坐标是（1，）．【分析】（1）根据B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，可以求得OA的长，从而可以得到点A的坐标；（2）根据点A和点B的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C可以求得该抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：（1）∵B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，∴OC＝4，∴OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）设这条抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵点C（0，4）在此抛物线上，∴4＝a（0+1）（0﹣3），解得，a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝+4＝﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（1，），即这条抛物线的解析式为y＝+4，它的顶点坐标是（1，）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】解：（1）将两点分别代入，得解得．所以抛物线的解析式是．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形，∴，∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得解得∴直线的解析式为，设，∴，所以．所以．将点代入，得．整理，得．因式分解，得．解得，或（与点P重合，舍去）．当时，．所以点C的坐标是．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．6．（2022·上海徐汇·九年级期末）二次函数的自变量x的取值与函数y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．【答案】(1)；顶点坐标(2)把抛物线向下平移3个单位长度，抛物线为：，或把抛物线向右平移3个单位长度，抛物线为：.【分析】（1）由二次函数过设抛物线的交点式为再把代入抛物线的解析式求解的值，再配方，求解顶点坐标即可；（2）平移后二次函数图像的顶点落在直线上，顶点的横坐标与纵坐标相等，由顶点坐标为：再分两种情况讨论：当顶点坐标为：时，当顶点坐标为：时，再写出平移方式即可.(1)解：二次函数过设把代入抛物线的解析式可得：解得：所以抛物线为：而所以顶点坐标为：(2)解：平移后二次函数图像的顶点落在直线上，顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：当顶点坐标变为：时，把抛物线向下平移3个单位长度即可；此时抛物线为：当顶点坐标变为：时，把抛物线向右平移3个单位长度即可.此时抛物线为：.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用配方法求解抛物线的顶点坐标，抛物线的平移，正比例函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握抛物线的性质是解本题的关键.7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知二次函数．(1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图像沿轴向下平移5个单位，所得新抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，顶点为，求的面积．【答案】(1)（1）顶点式为，图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3）；(2)2【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A、B、C坐标即可求解．(1)解：（1）=，∴该二次函数的顶点式为，图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3）；(2)解：平移后的新抛物线的解析式为=，∴C(1，－2)，当y=0时，由得：，，∴A（2，0），B（0，0），即AB=2，∴的面积为=2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．8．（2022·上海金山·九年级期末）已知：抛物线经过点和，顶点为点，抛物线的对称轴与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点平移到点的位置，如果，求平移后的抛物线解析式．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）将两点的坐标代入解析式，解二元一次方组程，求出即可求解；（2）求出的长度，根据勾股定理的逆定理求解即可；（3）分情况讨论，点C在点B的上方或下方两种情况，根据平移特征结合图形求解即可．【详解】解：（1）根据题意解得：，，∴抛物线的表达式是（2），∴顶点P的坐标是．对称轴是直线，点Q的坐标为．∴，，；∴，∴是∴，（3）根据题意，∥如果点C在点B的上方，∥，∥时，四边形BCPQ是平行四边形，∴，，即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是．如果点C在点B的下方，四边形BCQP是等腰梯形时，作，，垂足分别为E、F．根据题意可得，，，，即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是．综上所述，平移后的抛物线解析式是或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，坐标系中求两点的距离，勾股定理的逆定理，图像的平移规律，正确理解平移的规律是解本题的关键．9．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．(1)用含的代数式表示顶点的坐标：(2)当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式：(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在内，求的取值范围．【答案】(1)(2)；(3)1＜a＜3【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线，∴顶点C的坐标为；(2)解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵顶点在内部，且，∴，∴a=2，∴拋物线的表达式为；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，∵平移后的抛物线的顶点仍在内，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范围为1＜a＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．10．（2022·上海普陀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)两点．(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；(2)将抛物线y=x2-bx+c向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'．①求∠BP'P的度数；②将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．【答案】(1)，(2)①；②或【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；（2）①连接，则轴，设交点为，则，根据平移求得点的坐标，进而即可求得∠BP'P的度数，②根据题意画出图形，过点作轴于点，过点作轴于点，根据△MNB的面积为1建立方程，即可求得点的坐标．(1)解：∵抛物线y=x2-bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)解得(2)将抛物线向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'连接，则轴，设交点为，则在中，②过点作轴于点，过点作轴于点，在中，，，，则将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，在与中,将抛物线向左平移(+1)个单位，平移后的抛物线顶点平移后的抛物线解析式为设，则，解得或的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，平移问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．11．（2022·上海静安·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，（如图所示），二次函数的图像经过点O、A、B三点，顶点为D．(1)求点B与点D的坐标；(2)求二次函数图像的对称轴与线段AB的交点E的坐标；(3)二次函数的图像经过平移后，点A落在原二次函数图像的对称轴上，点D落在线段AB上，求图像平移后得到的二次函数解析式．【答案】(1)点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（，）(2)（，）(3)【分析】（1）设点B的坐标为（m，0），经过A、B、O三点的二次函数解析式为，先根据OB=AB，利用勾股定理求出点B的坐标，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可求出点D的坐标；（2）先求出直线AB的解析式，再根据（1）所求得到抛物线对称轴，即可求出点E的坐标；（3）只需要求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案．(1)解：设点B的坐标为（m，0），经过A、B、O三点的二次函数解析式为，∵OB=AB，∴，∴，∴点B的坐标为（5，0），∴，∴，∴二次函数解析式为，∴点D的坐标为（，）；(2)解：设直线AB的解析式为，∴，∴，∴直线AB的解析式为，∵二次函数解析式为，∴二次函数的对称轴为直线，当时，，∴点E的坐标为（，）；(3)解：∵二次函数的图像经过平移后，点A落在原二次函数图像的对称轴上，∴点A向右平移了个单位长度；∴平移后抛物线的顶点的横坐标为，当时，，∴平移后的抛物线顶点坐标为（3，），∴平移后的抛物线解析式为．【点睛】本题主要考查了勾股定理，一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．12．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于点和点，与轴交于点,顶点为．（1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标；（2）将抛物线沿轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为,点的对应点为．①如果点落在线段上,求的度数；②设直线与轴正半轴交于点,与线段交于点,当时,求