2022北京清华附中初三10月月考数学(教师版)

第1页/共1页2022北京清华附中初三10月月考数学一、选择题1.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断3.下列关于抛物线的说法，正确的是（）A.开口向下 B.顶点坐标是C.有最小值1 D.对称轴是直线4.如图，将一个含30°角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则旋转角的度数是（）A.30° B.60° C.120° D.150°5.若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为8，最小距离为2，则的直径为（）A.6 B.10 C.6或10 D.无法确定6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CDBC，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝（）A.3 B. C. D.47.学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：报名项目个数0123人数514ab其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）A.中位数，众数 B.平均数，方差C.平均数，众数 D.众数，方差8.已知二次函数，点是该函数图像上一点，当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题9.一元二次方程的根是______．10.若二次函数的图象上有两点,则_____.（填“>”，“=”或“<”）11.函数与的图像如图所示，根据图像可知不等式的解集是______．12.如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，，则等于______．13.某企业决定招聘广告策划人员一人，某应聘者三项素质测试的成绩（单位：分）如下：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩888075如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘者的最终成绩为__分．14.如图，四边形中，，，则的度数为______．15.将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为_____．16.如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数x运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为______．三、解答题17解方程：．18.已知关于一元二次方程．（1）如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．19.如图，是线段上一点，在线段的同侧作正方形和正方形，连接，．求证：．20.一次函数的图像与轴交于点，且经过点．（1）当时，求一次函数解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．21.已知：如图，线段与经过点的直线．求作：在直线上求作点，使．作法：①分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧交于上方的点，连接，；②以点为圆心，以长为半径画圆交直线于点（不同于点），连接．则点即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵分别以点B，C为圆心，长为半烃画弧，两弧交于上方的点．∴∴为等边三角形．∴．在中，在优弧上任取点，连接，．∴．（_________________________）（填推理依据）∵点B，D，C，E在上．∴．（_________________________）（填推理依据）即．22.如图，矩形的对角线相交于点，，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的面积．23.如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建两条同样宽的道路，余下的部分作为草坪，若草坪面积551m2，求道路的宽度是多少m？24.如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．（1）求的长：（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？25.广场俢建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为米，距地面的高度为米．测量得到如表数值：米012344.4米2.53.33.32.5090小庆根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图像；（2）结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______米；（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）______米（结果保留小数点后一位）．26.已知抛物线过点和点．（1）抛物线的顶点坐标为______（用含的式子表示）；（2）若抛物线过点（其中），请用含的式子表示；（3）在（2）的基础上，若，直接出出和的取值范围．27.在中，，，点是延长线上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．（1）依题意，补全图形；（2）若，求的长．（3）延长交于，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．已知，；（1）在，，，中，线段的“关联点”是______；（2）若点在第二象限且点是线段的“关联点”，求线段长度的取值范围：（3）已知正方形边长为1，以为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点，在线段上（在的下方）．若正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】【分析】判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可得到结论．【详解】解：∵Δ=b2-4ac=＜0，∴方程总没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3.【答案】C【解析】分析】根据二次函数顶点式解析式进行一一分析即可．【详解】解：由抛物线解析式可得，a＞0，∴开口向上，A错误；对称轴x=1，D错误；顶点坐标为（1，1），B错误；开口向上有最小值，当x=1时有最小值，为1，C正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据点B，A，，在同一条直线上，可求得∠CA=180°∠BAC=180°30°=150°，利用旋转的性质可得旋转角∠BA=∠CA，即可求解．【详解】解：∵点B，A，，在同一条直线上，∴∠BAC+∠CA=180°，∴∠CA=180°-∠BAC=180°30°=150°，∴旋转角∠BA=∠CA=150°，故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质，邻补角，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：设⊙O的直径为d,当点P在圆外时，；当点P在⊙O内时，．故选C．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．6.【答案】B【解析】【分析】先证MN是△ABC的中位线，再证四边形NDCM为平行四边形，得出DN=CM，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】解：∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=BC，MNBC，∵CD=BC，∴CD=MN，又∵MNBC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数和众数、方差的定义进行判断即可；【详解】解：由题意可知报名2个项目和3个项目的一共有30-5-14=11(人)，14>11，∴无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，都少于报名1个项目的人数，故众数为1不变,共有30名学生则中位数为第15，16个数据的平均数，由于5+14=19>16，故中位数为，则无论报名2个项目和3个项目的学生各有多少人中位数不变，综上所述不会发生改变的是众数和中位数，故选：A【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，当时，，可知点在对称轴的左侧，可得，当时，代入得，结合，即可求解．【详解】解：∵，对称轴为，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，∵点是该函数图像上一点，当时，，又∵，∴点在的左侧，即，当时，代入得，解得，∴．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，判断出对称轴的位置是解题的关键．二、填空题9.【答案】【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．10.【答案】<【解析】【分析】直接把点A和点B的坐标代入二次函数解析式，求出a和b，然后比较大小即可．【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4；当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，所以a＜b．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11.【答案】【解析】【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图像可得：不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12.【答案】【解析】【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，然后再根据题意和图形旋转的性质，得出，最后根据角的关系，即可得出的度数．【详解】解：∵，又∵，∴，又∵绕点旋转到的位置，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，图形旋转的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质．13.【答案】83【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可；【详解】应聘者的最终成绩是：；故答案是83．【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟练运用加权平均数的运算公式．14.【答案】36°##36度【解析】【分析】根据题意可得三点在以为圆心为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图，∵，∴三点在以为圆心为半径的圆上，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．15.【答案】2【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x轴有一个交点得到△=0，由此求得a的值．【详解】抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣2+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，

∴△=4-4（-1+a）=0，

解得a=2故答案为2．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16.【答案】①.②.【解析】【分析】通过计算，比较MA+AC与NA+AC的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论．【详解】解：∵MA=2，NA=2，AC=4，∴MA+AC＜NA+AC∴若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运，故答案为：M；∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1），∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，∵，，则a=3c，b=2c．当按N-A-B-C运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×3c+2c=（8+12）c≈24.97c；当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4c=24c；当按N-B-C-A线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4×3c=32c，∵24c＜24.97c＜32c，∴当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”最小为．故答案为：240．【点睛】本题主要考查了方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键．三、解答题17.【答案】，．【解析】【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：，，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程配方法．18.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用判别式即可求解．（2）利用因式分解变形得，可得方程的解，再根据方程有一个根小于0即可求解．【小问1详解】解：依题意，得：，∵方程有两个相等的实数根，∴，∴．【小问2详解】解：解得，，∵方程有一个根小于0，∴，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点．19.【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得，证明即可得证．【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∴（SAS）．∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20.【答案】（1）y=x+，点A的坐标为(-4，0)（2）【解析】【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：∵m=2，∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，解得k=；∴一次函数表达式为y=x+，当y=0时，x+=0，解得x=-4∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，∴点A的坐标为(-4，0)．【小问2详解】解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点，∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，∴，，解得k≤−．∴k≤−．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）圆周角定理；圆内接四边形对角互补【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；（2）根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．【小问1详解】解；如图所示，【小问2详解】证明：∵分别以点B，C为圆心，长为半烃画弧，两弧交于上方的点．∴∴为等边三角形．∴．在中，在优弧上任取点，连接，．∴（圆周角定理）∵点B，D，C，E在上．∴．（圆内接四边形对角互补）即．故答案为：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．22.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，即可得证；（2）根据题意求得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，继而求得，连接，根据菱形的性质与矩形的性质可得，可得．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，连接，∵四边形是菱形，∴，又，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．23.【答案】道路的宽度为1m．【解析】【分析】假设出路宽x米，利用图形的平移法，将两条道路平移到路的两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．【详解】解：假设道路的宽度x米，即可列出方程：（20-x）（30-x）=551，整理得：，解得：（不合题意舍去），答：道路的宽度为1m．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．24.【答案】（1）米（2）经过5小时桥洞会刚刚被灌满【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而求得；（2）延长交于点，由（1）求得，进而求得，根据题意即可求解．【小问1详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，设，在中，，∴，∵直径是河底线，，∴，解得，∴，，∴米，【小问2详解】如图，延长交于点，由（1）可得，∴∵水位以0.4米小时的速度上升，∴（小时），即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．25.【答案】（1）见解析（2）2.5，1.5（3）降低，1.8【解析】【分析】(1)根据对应点描点、连线，即可画出图象即可；(2)由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，设y与x的关系式为，根据对应点求出y与x的关系式，可得顶点坐标，据此即可得到答案；(3)把x=3.5代入关系式得到y的值，可得出水口要降低的高度．【小问1详解】解：描点、连线，作图如下：【小问2详解】解：由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，设y与x的关系式为，把点、、代入解析式，得解得故y与x的关系式为，故顶点坐标为，故水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米；故答案为：2.5，1.5；【小问3详解】解：圆形喷水池半径为5米，水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，x的最大值为5-1.5=3.5(米)，当x=3.5时，，所以，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，估计出水口至少需要降低1.8米．故答案为：降低，1.8．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象及求出关系式是解题关键．26.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根据解析式化为顶点式即可求解；（2）根据抛物线的对称性，即可求得点，（3）根据对称性以及，可知在右侧，即可得，结合（2）的结论即可求解．【小问1详解】解：，∴顶点坐标为，故答案为：，【小问2详解】∵抛物线过点和点，对称轴为，抛物线过点（其中），∴，∴，【小问3详解】如图，∵抛物线过点，（其中），抛物线过点和点，对称轴为，又∵，∴点在的右侧，点左侧，∴，∵，∴，∵．【点睛】本题考查了二次函数综合，化为顶点式，二次函数图象的对称性，掌握二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】（1）答案见解析（2）2（3），理由见解析【解析】【分析】（1）按照题意进行画图即可；（2）根据已知条件得到，，然后得到≌，从而求出；（3）作关于所在直线的对称图形,并作点关于所在直线的对称点为点,连接,,由题意可证得、是等边三角形，利用等边三角形的性质以及等量代换可证得≌、≌，最后得到．【小问1详