2023届江苏省苏州市高三上学期数学高考模拟卷答案 附答案

试卷第=page11页，共=sectionpages66页试卷第=page66页，共=sectionpages66页高考模拟试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题(共0分)1．设全集，或，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则等于（

）．A． B．0 C． D．3．米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（

）A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm4．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（）A． B．C． D．5．的展开式中的系数是（

）A．84 B．120 C．122 D．2106．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．下列不等式正确的是（其中为自然对数的底数，，）（

）A． B． C． D．8．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题(共0分)9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（

）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种11．已知点，，，抛物线．过点的直线与交于，两点，直线分别与交于另一点，则下列说法中正确的是（

）A．B．直线的斜率为C．若的面积为（为坐标原点），则与的夹角为D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为212．若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（

）A．当点P在底面内运动时，三棱锥的体积为定值B．当时，线段长度的最大值为4C．当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为D．直线DM被正方体的外接球所截得的线段的长度为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题(共0分)13．重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.14．用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是___________.15．在四面体中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_______16．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是________．四、解答题(共0分)17．已知正项数列的前项和，且.(1)证明：数列为等差数列；(2)记，证明.18．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．19．随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．年龄频数30751056030持支持态度2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度不持支持态度总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．i1234567第天24812222638使用人数参考数据：，．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：，，．20．已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(1)证明：平面平面；(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.21．已知，，点满足，记点的轨迹为，(1)求轨迹的方程；(2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．22．已知函数，，已知是函数的极值点．(1)求曲线在处的切线方程，并判断函数的零点个数；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；(3)设函数．证明：．答案第=page2121页，共=sectionpages2222页答案第=page2222页，共=sectionpages2222页参考答案：1．D【分析】化简集合，再根据补集和并集的定义计算即可.【详解】函数，的函数值的集合为，所以，又或，所以，，故选：D.2．D【分析】利用计算出，即可得到答案【详解】因为，所以，，所以，故选：D3．C【分析】设该米斗的高为hcm，结合台体体积公式可求.【详解】设该米斗的高为hcm，由台体的体积公式可得，解得.故选：C.4．A【分析】利用排除法：先判断出直线的斜率，排除C，D.再由直线与圆相切得到A正确，B错误．【详解】∵圆的方程可化为：，∴圆心，半径，又直线的方程可化为：.由4个选项的圆心都在第三象限，∴，∴，∴排除选项C，D.又圆心到直线的距离，∴直线与圆相切，故选项A正确，选项B错误．故选：A．5．D【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果.【详解】∵的通项为，∴的通项为，∴的展开式中的系数为，同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，故展开式中的系数为：（也可以根据性质：，因为，故）故选：D.6．B【分析】利用换元法将在上的值域为转化为在上的值域为，然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】，令，则，，因为，，的值域为，所以，解得.故选：B.7．C【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.【详解】对于A，由，考虑函数，，因为，所以在上为增函数，所以，，即，故A错误；对于B，由，考虑函数，，因为，所以在上为增函数，所以，所以在上恒成立，因为，所以，即成立，所以，故B错误；对于C，由，考虑函数，，因为，所以在上为减函数，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，显然，所以，故D错误．故选：C8．B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，又，则，由余弦定理知：，所以，而，因为的内切圆的半径，故，所以，则，由，即，所以，整理得且，所以，，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B9．AC【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A：利用公比的定义直接判断；对于B：由及前n项和的定义即可判断；对于C：前项积为的定义即可判断；对于D：先求出，由即可判断.【详解】由可得：和异号，即或.而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.对于A：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A正确；对于B：因为，所以，所以.故B错误；对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项.故C正确；对于D：因为，所以，即.故D错误.故选：AC10．AB【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到3号球的事件为，，B正确；对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到1号球的事件为，，第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，，，，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.故选：AB11．ACD【分析】A选项：，直线的方程为，由直线过点得即可解决；B选项：设，得直线的方程为直线过点得，同理即可解决；C选项：得，设，，又得即可；D选项：过作垂直抛物线的准线于点，由抛物线定义得直线与抛物线相切时，最大，设直线.得即可.【详解】A选项：易知，，所以直线的方程为，（利用两点式求解直线的方程）因为直线过点，所以，A正确．B选项：设，，所以直线的方程为，因为直线过点，所以，同理可得，所以，故B错误．C选项：，（利用B选项中）设，则，因为，所以，所以与的夹角为，故C正确．D选项：易知为抛物线的焦点，过作垂直抛物线的准线于点，如图由抛物线的定义知，，即，当取最大值时，取最小值，（正弦函数的单调性的应用）即直线与抛物线相切．设直线的方程为，由得，所以，解得，此时，即，所以，又点在轴上方，故，所以，故D正确．故选：ACD【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断方法：把直线方程和抛物线方程联立，当得到的是一元二次方程时，根据来判断直线与抛物线的位置关系，①若，则直线与抛物线相交；②若，则直线与抛物线相切；③若，则直线与抛物线相离．当得到的是一元一次方程时，直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）12．ACD【分析】对A找到高不变，底面为定值，则体积不变，求出相关高与底面积即可，对B找到点轨迹是矩形（除点）与重合时最大,即可计算，对C找到点的三次轨迹，第三次轨迹为四分之一圆，计算即可，对D建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式即可计算.【详解】对A选项，根据正方体上下底面平行得到平面的距离始终为2，因为为的中点，故，故，故，故A正确；对于B，分别取中点,,连接,,首先与平行且相等,与平行且相等,因此与平行且相等,则是平行四边形，在同一平面内,正方形,易得，所以(为,的交点),所以,又平面平面,所以平面,所以平面,而,则平面所以点轨迹是矩形（除点）与重合时最大,为,故B错误，对于C，直线与平面所成角为,若点在平面和平面内，最大,不成立;在平面内,点的轨迹是,在平面内,点的轨迹是,在平面时,作平面,如图,作平面，，点的轨迹是以为圆心,以2为半径的四分之一点的轨迹长度为,点的轨迹总长度为,故C正确;对于D选项，首先作出如图所示图像，shouxian外接球半径，直线与球面的一个交点为，另一交点设为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，首先求出圆心到直线的距离，因为棱长为2，且为中点，故,,,故,,，故圆心到直线的距离，故线段,故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：空间中点到直线的距离公式：设某空间直线的方向向量为过点;空间上的一点令，即表示由点指向点的向量.观察而与要求的距离构成以即为斜边的直角三角形.故.13．【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.故答案为：14．2【分析】恒成立，即，利用分段函数单调性，求函数最小值.【详解】，当时，；当时，；当时，.由，，∴，图像如图所示，可得在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即，的最大值是2.故答案为：215．【分析】根据已知可得平面，则可将四面体内接于圆柱体使得圆柱的外接球与四面体外接球相同，即可根据圆柱求得该几何体的外接球的体积.【详解】解：如图四面体中，，，又平面所以平面，则将四面体内接于圆柱中，如下图：使得点位于圆柱上底面圆上，内接于圆柱下底面，始终保持平面，取线段中点为，连接则圆柱外接球即四面体的外接球，则点球心，半径因为，，所以所以圆柱底面圆半径，由正弦定理得，则又，所以则外接球的体积.故答案为：.16．【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围.【详解】当，时，，，在处的切线方程为，即，；当，，，同理可求得：在处的切线方程为：，，两条切线互相垂直，，，，令，设，，则在上单调递增，，即．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用导数的几何意义求得，将表示为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得结果.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，求出，，得到是首项为1，公差为1的等差数列；（2）在第一问的基础上，求出，再进行放缩，裂项相消求和，证明出不等式.【详解】（1）证明：∵，∴当时，，∴，∴.当时，，∴，即，故是首项为1，公差为1的等差数列；（2）证明：由（1）知正项数列满足，所以；，∴.即.18．(1)见解析；(2).【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.【详解】（1）证明：由题知，所以，所以,所以因为为锐角，即，所以，所以，所以.（2）由（1）知：，所以，因为，所以，因为由正弦定理得：，所以,所以，因为，所以，所以因为是锐角三角形，且，所以，所以，所以，当时，取最大值为，所以最大值为：.19．(1)表格见解析，有(2)分布列见解析，(3)．【分析】（1）由频数分布表直接填写即可；结合公式可判断相关性；（2）由频数分布表可判断支持态度的人数符合，结合二项分布的概率公式可求X的分布列以及数学期望；（3）先求出，再由求出，再由求出，进而求出线性回归方程.【详解】（1）完成列联表如下：年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度60180240不持支持态度303060总计90210300故本次实验中的观测值，故有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；（2）依题意，，故，，，，；故X的分布列为：X01234P故；（3）依题意，，，由得，，所以．故y关于x的线性回归方程是．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三棱锥的平面展开图确定各棱长，由勾股定理和等边三角形性质先证明线面垂直，再由面面垂直判定定理证明平面平面；（2）确定在棱上的位置，建立合理的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可.【详解】（1）如下图所示：设的中点为，连接，，由题意得，，；在中，，的中点为，.又在中，，，，，；又平面，平面；平面，又平面，平面平面（2）由（1）可知，，，平面，即为直线与平面所成的角，且，所以，当最短时，即为的中点时，最大；由图可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，；设平面的法向量为，则，令，得，即；易知，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则所以，二面角的余弦值为.21．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.（2）根据直线与双曲线的位置关系得到，计算，根据的范围得到的取值范围；假设存在点满足条件，通过得到，计算得到答案.【详解】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．，，，故，轨迹方程为．（2）直线的方程为，，得，设，，，，由条件得，解得，即．①，由条件，故，故，因为，因此．②设存在点满足条件，由，得对任意恒成立，所以，解得，因此存在定点满足条件．【点睛】本题考查了双曲线的轨迹问题，根据直线和双曲线的位置求参数，定点问