易错点08 统计与概率（七大易错分析+举一反三+易错题通关）

易错08统计与概率易错点一：忽略排序直接数易错陷阱众数：一组数据中出现次数最多的那个数据中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错．举一反三例1．2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．下表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（

）捐款金额/元123510人数589158A．5，3 B．15，3 C．15，5 D．5，5例2．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（

）学生（序号）1号2号3号4号5号6号7号8号9号仰卧起坐个数525650504858525054A．众数是58，中位数是48 B．众数是58，中位数是52C．众数是50，中位数是48 D．众数是50，中位数是52练习1．一组由小到大排列的数据为，0，4，x，6，16，其中位数为5，则众数是（

）A．5 B．6 C． D．5.5练习2．下表是我市某校九（1）班参加学校“纪念主题演讲活动”的得分情况，表中“得分”数据的中位数是（

）．评委评委评委评委评委评委评委评委得分A． B． C． D．练习3．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码鞋的销售量如表所示在鞋的尺码组成的数据中，中位数和众数分别是（

）尺码/销售量/双A．和 B．和 C．和 D．和练习4．某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是(

)A．最高成绩是环 B．这组成绩的中位数是环C．这组成绩的众数是环 D．这组成绩的方差是易错题通关1．某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：，，，，，这组数据的众数和中位数分别为（

）A．， B．， C．5.0， D．，2．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，243．已知数据：，下列说法正确的是（）A．平均数3 B．众数是 C．极差为8 D．中位数是14．若一组数据2，3，x，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为（

）A．2 B．3 C．5.5 D．75．如图为荣成市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（

）A．， B．， C．， D．，6．年月日至日，某市每日最高气温如图所示，则最高气温的中位数是℃．月日至日最高气温统计图7．学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为．数据4，7，的众数为．易错点二：混淆平均数和加权平均数易错陷阱平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆．举一反三例3．如表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练的数学成绩，现要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应推选（

）甲乙丙丁平均数95969695方差2.52.42.32.5A．甲 B．乙 C．丙 D．丁例4．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（

）．A． B．8或 C．8 D．7或练习1．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的标准差为()A．4 B．3 C．2 D．1练习2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是．练习3．小明连续5天的体温数据如下（单位：）：，，，，，这组数据的极差是.练习4．若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为．易错题通关1．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为分．2．某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是分．3．中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是分．4．在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为，为使前4场的平均得分为，第四场他应得分．5．已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是．6．张老师把七年级2班第三组五名同学的成绩简记为，，0，，，又知道记为0的实际成绩表示90分．(1)成绩最高是多少分？成绩最低是多少分？(2)这5名同学的平均成绩为多少分？7．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委对“演讲答辩”情况进行了评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表：表1演讲答辩得分表（单位：分）ABCDE甲9092949588乙8986879491表2民主测评票数统计表（单位：张）“好”票数“较好”票数“一般”票数甲4073乙4244规则：①演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分”的方法确定；②民主测评得分=“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；③演讲答辩得分和民主测评得分按确定权重，计算综合得分，请你计算一下甲、乙的综合得分，选出班长．易错点三：混淆极差、方差的定义易错陷阱极差：最大值与最小值的差方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样举一反三例5．一组数据，，，，的平均值是，则的值为（

）A． B． C． D．例6．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数62410练习1．为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是分．练习2．在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是．练习3．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为环．练习4．已知一组数据的平均数是5，则数据的平均数是．易错题通关1．体育课上，九（1）班两个组各10人参加跳绳测试，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组跳绳测试成绩的（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差2．已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（

）A．2、 B．3、 C．、2 D．、33．如图是根据某打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．则这组数据的方差是．

4．数据2，，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为．5．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是．6．若3，a，4，6，5的平均数是4，则这组数据的标准差是.7．有一组数据如下：5，6，7，，9，它们的平均数是7，那么这组数据的标准差是（

）A．10 B． C．2 D．易错点四：含参求“三数”忽略分类讨论易错陷阱易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。举一反三例7．一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则x的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12例8．已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值为．练习1．已知一组数据有唯一众数，那么这组数据的中位数是．练习2．若四个互不相等的正整数中，最大的数是，中位数是4，则这四个数的和是．练习3．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是．练习4．一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是．易错题通关1．一组数据有5个自然数：4，5，5，x，y，这组数据的中位数为4，唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中，的最大值是．2．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4，则数据x是．3．五个正整数的中位数是，唯一的众数是，且这五个正整数的平均数为，则这五个正整数中小于的是____________4．一组数据的中位数和平均数相等，则的值是．5．一组数据：“3，6，3，5，a，3”的平均数和中位数相同，则a的值是．6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为调查学生对杭州亚运会的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行“我所了解的杭州亚运会”问卷调查，规定每人必须且只能在“非常了解”“一般了解”“有点了解”“很不了解”四个选项中选择一项，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据上面提供的信息，解答下列问题：(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“非常了解”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°，并补全条形统计图；(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中知道第19届杭州亚运会的人数（知道包括“有点了解”“一般了解”和“非常了解”）；(3)学校在选择“非常了解”的学生中任选6名进行“亚运知识我知道”小测试，其中5名学生的分数（单位：分）分别为76，84，92，80，80，这6名学生的分数的中位数为81，求第6名学生的分数．7．小丽在一次打靶训练中连续打靶次．第次射中环，第次射中环，第次射中环，第次射中环．如果这组数据，，，的中位数与平均数相等，请你求出符合条件的值．易错点五：混淆各种统计图提取信息的方法易错陷阱频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量，扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%．易错提醒：可以结合题目中给出的扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数举一反三例9．某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（

）A．这次调查的样本容量是200B．全校1200名学生中，估计选篮球课大约有400人C．扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是D．被调查的学生中，选绘画课人数占比为例10．德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了名学生，并补全条形统计图（两处）；(2)在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为；(3)德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？练习1．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果绘制了如图不完整的统计图，请根据统计图完成下列问题．(1)参加本次调查有________名学生；请你补全条形图；(2)在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为________度；(3)根据调查数据分析，全校大概会有名学生参加了合唱社团．练习2．2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，黔南州某中学九（1）班团支部在文体艺术节期间组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：北斗卫星；B：5G时代：C：东风快递；D：智轨快运四个主题中任选一个自己喜欢的主题．比赛结束后，该班团支部对同学们所选主题进行统计，绘制成如下两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．(1)九（1）班共有______名学生；补全折线统计图．(2)李刚和王丽从A，B，C，D四个主题中各任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．练习3．为了普及科学知识，传播科学思想，弘扬科学精神，某校举行了青少年科普知识竞赛．随机抽取名学生的竞赛成绩，把成绩分成四个等级(；；；)，并绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：，；(2)补全频数分布直方图，所抽取学生的成绩的中位数落在等级；(3)若成绩达到和等级将获得“科普达人”称号，请你估计该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数．练习4．为庆祝第39个教师节，贵阳市各学校在9月份都组织开展了丰富多彩的教师节庆祝活动．其中甲、乙两校师生共人进行了汇报演出，小亮将甲、乙两校参加各项演出的人数绘制成如下不完整的统计图表，根据提供的信息解答下列问题：甲校参加汇报演出的师生人数统计表百分比人数话剧演讲其它(1)________，________；(2)乙校的扇形统计图中“话剧”对应的扇形的圆心角的度数是________；(3)请说明甲、乙两校参加“话剧”的师生人数哪校的比较多．易错题通关1．人口老龄化是全世界的热点问题，下图表示了中国自1982年—2020年老年人口规模以及老龄化率的变化，结合图表数据下列说法错误的是（

）A．自1982年至2020年以来，中国老龄人口规模在不断增长B．2000年至2010年年均老龄人口增加数量高于2010年至2020年C．按照现在的增长趋势，2030年我国老龄化率可能达到18%以上D．随着老龄化率不断升高，政府需要加强建立健全社会养老保障体系2．某专卖店在盘点某时段销售情况时，对该时段内某种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图，日销售量这组数据的众数是_______件；(2)若该种商品的进价为每件120元，售价为每件200元，请你据此估计接下来一周的销售利润（不计其他费用）；(3)店长在检查数据时发现，此商品在该时段内的日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为_______件．3．某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设课后服务项目，为了解学生的需求，学校随机抽取了100名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图．老师根据以上信息给学生布置了以下分层作业：A层作业：（1）请补全条形统计图；（2）若要将收集的数据绘制成扇形统计图，请计算“篮球”所在扇形的圆心角度数．B层作业：（1）请计算想参加“素描”活动的学生占总体的百分比？（2）若该校有1500名学生，试估计该校有多少名学生想参加“素描”活动？．4．目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)此次抽样调查中，共调查了多少名家长？(2)扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整；(3)在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．5．“公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的学生人数为______，图1中的值为______．(2)求统计的这组学生的捐款数据的平均数．(3)根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有名学生，估计该校共筹得善款多少元？6．某中学每个学期要求学生加强一项体育项目训练，为了解学生参加项目的情况，调查了本校所有的学生，调查结果绘制成了下面的表格和扇形统计图．项目名称掷实心球跳绳50米短跑立定跳远仰卧起坐健美操人数45090m360n180请根据提供的信息回答下列问题：(1)表格中的_______，_______．(2)在扇形统计图中，“立定跳远”对应的圆心角的度数是_______．(3)参加50米短跑的学生人数比参加立定跳远的学生人数少百分之几？7．党的二十大报告指出：我们要加快发展方式绿色转型，实施全面节约战略，发展绿色低碳产业，倡导绿色消费，推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式．近年来，为了响应党的号召，新能源汽车越来越受人们关注，小明同学调查收集了我国2022年上半年新能源汽车的销售量，绘制了如下表格和统计图：季度月份销量/万辆第一季度1月432月343月48第二季度4月305月6月50根据以上信息，回答下列问题：(1)若要反映2022年上半年每个月新能源汽车的销售量占销售总量的百分比，请从下面的选项中选择一个合适的选项______（填A，B或C）．A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图(2)若6月份的销售量占上半年销售总量的，求上半年的销售总量；(3)在（2）问的条件下，求表格中的值，并将条形统计图补充完整．易错点六：区分不了放回与不放回问题易错陷阱易错提醒：放回问题的共同特征就是每一次都有同样多的选择；不放回问题的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择以正确判断是是“放回”还是“不放回”．举一反三例11．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（）A．11 B．14 C．17 D．20例12．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（

）A．19种 B．18种 C．17种 D．16种练习1．在一个不透明的袋子中装有白球和红球共20个，这些球除颜色外其他都相同，每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色后再放回袋中．通过多次重复试验发现，摸出红球的频率稳定在0.7附近，则估计袋子中的红球有个．练习2．（1）下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？我班体育委员跑步成绩为秒．（____________事件）个等腰三角形一定相似．（____________事件）（2）在一个盒子中放有三个分别写有数字、、的小球，大小和质地完全相同．小明从口袋里随机取出一个小球，记为数字，将球放回后小明再从个小球中随机取出一个小球，记为数字，求的值为的倍数的概率（要求列举法或画树状图说明）练习3．现有两副完全相同的手套（分左、右手）．(1)从中任取一只，取到左手手套的概率是______；(2)从中任取两只，请用画“树状图”或列表格的方法，求这两只手套恰好配成一副的概率．练习4．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“世”、“界”、“杯”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．(1)若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“杯”的概率；(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的概率．易错题通关1．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外其它完全相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，通过大量重复摸球实验后，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则口袋中白球的个数约为（

）A．25 B．20 C．30 D．352．在一个不透明的袋子中装有若干支红色中性笔芯，为了估计袋中红色笔芯的数量，某同学又往袋子中放入了10支黑色中性笔芯（黑、红两种笔芯除颜色外其余都相同），然后将袋中笔芯搅拌均匀，再从袋子中任意摸出一支笔芯，记下颜色后又放回袋子中……如此重复操作后发现，摸到黑色笔芯的概率为，则袋子中红色笔芯有支．3．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于，(1)请估计摸到白球的概率将会接近___________；(2)计算盒子里白球有多少个？(3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？4．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数摸到黑球的次数摸到黑球的频率(1)填空：______；当很大时，摸到黑球的频率将会趋近______（精确到0.1）；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．5．在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．(1)若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(2)若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．6．一个不透明的笔袋里装有若干支黑色、红色和蓝色这三种颜色的中性笔（除笔芯颜色外，其余都相同），其中黑色中性笔有2支，红色中性笔有1支，从中任意摸出的一支笔是黑色中性笔的概率为．(1)求笔袋中蓝色中性笔有多少支？(2)第一次任意摸出一支笔（不放回），第二次再摸出一支笔，请用树状图或列表法求出两次摸到的都是黑色中性笔的概率．7．有四张材质相同的扑克牌，其中有2张红桃和2张黑桃，洗匀后背朝上放在桌面上．(1)先从中抽出1张后放回，洗匀后再抽出1张．①求第一次抽到黑桃，第二次抽到红桃的概率；②求两次抽出的扑克牌中有1张黑桃和1张红桃的概率．(2)先从中抽出1张牌不放回，再抽出1张牌，则两次抽出的牌中有1张黑桃和1张红桃的概率是多少？易错点七：混淆频率与概率的定义易错陷阱易错提醒：求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率举一反三例13．在一个不透明的布袋中装有若干支红色、黑色和蓝色的中性笔芯，这些笔芯除颜色外，其余都完全相同，某同学就利用这一袋笔芯来做实验，他从这袋笔芯中随机摸出一支笔芯，记下颜色后放回袋中，摇匀后再随机摸出一支，记下颜色后又放回袋中……如此进行大量的摸笔芯实验后，这名同学发现摸出红笔芯的频率稳定于，摸出黑色笔芯的频率稳定于，对此实验，有以下结论：①若进行大量的摸笔芯实验，摸出蓝色笔芯的频率稳定于；②若从这袋笔芯中任意摸出一支笔芯，这支笔芯是黑色笔芯的概率最大；③若再进行摸笔芯实验100次，必有20次摸出的是红色笔芯．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③例14．某同学抛掷一颗骰子做实验，并记录下每次投掷后骰子朝上的面上的点数，当这名同学抛掷骰子的次数不断增多时，记录的点数为的频率在理论上最接近的数是．练习1．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀，重复上述过程，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是．练习2．某数学小组做摸球实验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的白球和红球共5个将球搅拌均匀后从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色再放回袋中，重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为．(1)用频率估计概率，估计袋子中红球的个数为；(2)从袋子中随机提出一个球，记录颜色后再放回袋中搅拌均匀，再随机摸出一个球，记录颜色．利用（1）中结果，用西树状图或列表的方法，求两次摸出的球恰好都是红球的概率．练习3．随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．(1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______．(2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？练习4．某校九年级学生人数占全校总人数的，现从全校学生中任意选出一名学生参加某活动，如果选中九年级男生的概率为0.21，那么该校九年级女生人数占全年级人数的比例是多少？易错题通关1．王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（）A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验2．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有个．3．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在和．由此推测口袋中黄球的个数是个．4．在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表：摸卡的次数摸到有奖卡的次数摸到有奖卡的频率(1)若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为______（精确到）；(2)请估算出箱子里无奖卡的数量；(3)两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为的三个座位上选一个坐下，请求出坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题）5．某同学进行社会调查，随机抽查了某小区的40户家庭的年收入（万元）情况，并绘制了如图不完整的频数表和频数分布直方图．组别收入x（万元）户数组中值（万元）141224163620412245m286432(1)年收入的中位数落在第组，补全频数分布直方图；(2)如果每一组的平均年收入均以组中值计算，这40户家庭的年平均收入为多少万元？(3)如果该小区有1200户住户，请你估计该小区有多少户家庭的年收入低于18万元？6．在“书香校园”创建活动中，我区某校为扎实推进工作，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：等级一般较好良好优秀阅读量/本3456频数4频率请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：(1)表中_______，_______，_______(2)求所抽查学生阅读量的众数和平均数；(3)样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．7．某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：自选项目立定跳远三级蛙跳跳绳实心球铅球人数/人91384频率(1)______，______；(2)该校有九年级学生450人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？(3)在调查中选报“铅球”的4名学生，其中有3名男生，1名女生，为了了解学生的训练效果，从这4名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法或树状图法求所抽取的两名学生中恰好有1名男生和1名女生的概率．

易错08统计与概率（解析版）易错点一：忽略排序直接数易错陷阱众数：一组数据中出现次数最多的那个数据中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错．举一反三例1．2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．下表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（

）捐款金额/元123510人数589158A．5，3 B．15，3 C．15，5 D．5，5【答案】D【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，中位数是一组数据中处在最中间或处在最中间的两个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此求解即可．【详解】解：∵捐款为5元的人数最多，∴众数为5元，捐款人数为人，按照捐款钱数从低到高排列，处在第23名的捐款钱数为5元，∴中位线为5元，故选：D．例2．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（

）学生（序号）1号2号3号4号5号6号7号8号9号仰卧起坐个数525650504858525054A．众数是58，中位数是48 B．众数是58，中位数是52C．众数是50，中位数是48 D．众数是50，中位数是52【答案】D【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】解：这组数据中50出现的次数最多，故众数为50，先把这些数从小到大排列，第5个女生的成绩为中位数，则中位数是52；故选：D．练习1．一组由小到大排列的数据为，0，4，x，6，16，其中位数为5，则众数是（

）A．5 B．6 C． D．5.5【答案】B【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出x值，再根据众数的概念求解．【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与x和的平均数，即，解得：，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6．故选：B．练习2．下表是我市某校九（1）班参加学校“纪念主题演讲活动”的得分情况，表中“得分”数据的中位数是（

）．评委评委评委评委评委评委评委评委得分A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了中位数的定义，解题的关键是掌握中位数的定义．将“得分”从小到大的排列，即可求解．【详解】解：将“得分”从小到大的排列：，，，，，，，排在中间的数是，中位数是，故选：C．练习3．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码鞋的销售量如表所示在鞋的尺码组成的数据中，中位数和众数分别是（

）尺码/销售量/双A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】根据众数与中位数的意义进行填空即可．本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．【详解】解：把双鞋的尺码从小到大排列，排在中位数为最中间两个数为，，所以中位数为．观察数据可知出现次数最多，即众数为；故选：A．练习4．某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是(

)A．最高成绩是环 B．这组成绩的中位数是环C．这组成绩的众数是环 D．这组成绩的方差是【答案】B【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和方差，解题的关键是根据各自的计算方法结合表格中的数据分别计算即可．【详解】解：由题意可知，甲队员的成绩为，，，，，，，，，从小到大排列为：，，，，，，，，，，最高成绩是环，故正确，选项A不合题意；这组成绩的中位数为9环，故错误，选项B合题意；这组成绩的众数是9环，故正确，选项C不合题意；这组成绩的平均数为，这组成绩的方差是，故错误，选项D不符合题意．故选：B易错题通关1．某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：，，，，，这组数据的众数和中位数分别为（

）A．， B．， C．5.0， D．，【答案】D【分析】本题考查了众数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．【详解】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，排在中间的数是，故中位数是；这组数据中出现的次数最多，故众数为．故选：D．2．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24【答案】C【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．故选C．3．已知数据：，下列说法正确的是（）A．平均数3 B．众数是 C．极差为8 D．中位数是1【答案】C【分析】本题考查求一组数据的平均数、众数、极差、中位数等知识，根据相关知识逐项判断即可求解．【详解】解：A、这组数据的平均数是，故本选项不符合题意；B、1出现了2次，出现的次数最多，所以众数是1，故本选项不符合题意；C、极差是：，故本选项符合题意；D、把这些数从小到大排列为，中位数是，故本选项不符合题意．故选：C．4．若一组数据2，3，x，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为（

）A．2 B．3 C．5.5 D．7【答案】C【分析】本题考查的是众数，中位数的含义，先根据众数的含义求解，再排序求解中位数即可.【详解】解：数据2，3，x，5，6，7的众数为7，，把这组数据从小到大排列为：2、3、5、6、7、7，则中位数为；故选：C．5．如图为荣成市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本题考查求中位数及众数，根据最中间的数叫中位数，出现次数最多的角众数直接求解即可得到答案；【详解】解：由图像可得，出现次数最多，故众数为，数据排序为：，，，，，，，∴中位数为：，故答案为：B．6．年月日至日，某市每日最高气温如图所示，则最高气温的中位数是℃．月日至日最高气温统计图【答案】【分析】本题考查确定一组数据的中位数的能力．解题的关键是先把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．据此解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，，最中间的数是，∴中位数是．故答案为：．7．学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为．数据4，7，的众数为．【答案】7【分析】此题考查了众数，根据数据中出现次数最多的数据是众数即可得到答案．【详解】解：数据4，7，中出现最多的是7，∴数据4，7，的众数为7，故答案为：7．易错点二：混淆平均数和加权平均数易错陷阱平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆．举一反三例3．如表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练的数学成绩，现要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应推选（

）甲乙丙丁平均数95969695方差2.52.42.32.5A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】此题考查了算术平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的同学参加．【详解】解：∵乙和丙的平均数大于甲和丁的平均数，∴从乙和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差小于乙的方差，∴选择丙参加比赛．故选：C例4．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（

）．A． B．8或 C．8 D．7或【答案】D【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．【详解】解：当x为最大值时，，解得；当x为最小值时，，解得，故选D．【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．练习1．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的标准差为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】直接利用平均数的求法，得出一元一次方程，解出即可得出的值，进而求出这组数据的方差，从而求出标准差．【详解】解：∵一组数据6，7，，9，5的平均数是，∴，解得：，∴这组数据的平均数为6，∴这组数据的方差为，∴这组数据的标准差为．故选：C．【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，正确得出的值是解本题的关键．练习2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是．【答案】丙【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题．【详解】，，，，，成绩最稳定的是丙．故答案为：丙．练习3．小明连续5天的体温数据如下（单位：）：，，，，，这组数据的极差是.【答案】【分析】本题考查了极差的定义，极差是最大数据和最小数据的差，据此解答．【详解】解：这组数据的极差是：（）．故答案为：．练习4．若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为．【答案】7或【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解．【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，若x是最大值，则，∴，若x是最小值，则，∴，则x的值为7或，故答案为：7或．【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．易错题通关1．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为分．【答案】9【分析】本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得解．【详解】解：由题意可得，（分），答：他期末操行得分为9分．故答案为：9．2．某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是分．【答案】93【分析】本题考查了加权平均数的计算方法，掌握权的分配是解题的关键．根据加权平均数的计算公式列式计算即可．【详解】解：根据题意，八一班的最终成绩是：（分）．故答案为：93．3．中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是分．【答案】【分析】本题考查加权平均数的求法，根据题中条件，利用加权平均数的求解公式代值求解即可得到答案，熟记加权平均数公式是解决问题的关键．【详解】解：中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，小红同学本学期的体育成绩是分，故答案为：．4．在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为，为使前4场的平均得分为，第四场他应得分．【答案】【分析】此题考查了利用平均数求未知数值，用平均数乘以数据个数减去已知数据即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，，即第四场他应得，故答案为：5．已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是．【答案】3【分析】本题考查了算术平均数；根据数据a、b、c的平均数为5求出，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴数据、、的平均数为：，故答案为：．6．张老师把七年级2班第三组五名同学的成绩简记为，，0，，，又知道记为0的实际成绩表示90分．(1)成绩最高是多少分？成绩最低是多少分？(2)这5名同学的平均成绩为多少分？【答案】(1)成绩最高是100分．成绩最低是82分(2)五位同学平均成绩是【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的混合运算的实际应用，理解题意是关键；（1）由超过最多的分数加上基准分可得最高分，由不足最多的加上基准分可得最低分数；（2）设这5名同学的平均成绩为x分，利用总分不变列方程求解即可．【详解】（1）解：成绩最高：，成绩最低：；答：成绩最高是100分．成绩最低是82分；（2）设这5名同学的平均成绩为x分，由题意，得．解得．答：五位同学平均成绩是．7．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委对“演讲答辩”情况进行了评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表：表1演讲答辩得分表（单位：分）ABCDE甲9092949588乙8986879491表2民主测评票数统计表（单位：张）“好”票数“较好”票数“一般”票数甲4073乙4244规则：①演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分”的方法确定；②民主测评得分=“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；③演讲答辩得分和民主测评得分按确定权重，计算综合得分，请你计算一下甲、乙的综合得分，选出班长．【答案】见解析【分析】本题考查了平均数和加权平均数的概念及应用，首先分别求出甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分，然后根据平均数的概念分别计算出甲、乙两位选手的民主测评分，最后根据不同权重计算加权成绩．【详解】解：甲演讲答辩的平均分为：；乙演讲答辩的平均分为：；甲民主测评分为：；乙民主测评分为：；∴甲综合得分：，乙综合得分：，∵，∴应选择甲当班长．易错点三：混淆极差、方差的定义易错陷阱极差：最大值与最小值的差方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样举一反三例5．一组数据，，，，的平均值是，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了算术平均数，可直接根据平均数的定义列方程求解．【详解】解：∵一组数据，，，，的平均值是，∴，解得，故选：D．例6．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数62410【答案】9.1【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，进行求解即可．【详解】解：（小时），即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．故答案为：9.1．练习1．为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是分．【答案】87.4【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】解：她的最后得分是（分，故答案为：87.4．练习2．在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是．【答案】5【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，先求出原数据的平均数，添加一个数使得新数据的平均数不变，则添加的数即为原数据的平均数，据此可得答案．【详解】解：∵数据4，5，6，5的平均数为，∴添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的数为5，故答案为：5．练习3．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为环．【答案】【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前箭的平均成绩为环，可得，再计算箭的平均成绩，化简为含有的算式，即可求出结果．【详解】解：前箭的平均成绩为环，，，这箭的平均成绩为，故答案为：．练习4．已知一组数据的平均数是5，则数据的平均数是．【答案】7.5【解析】略易错题通关1．体育课上，九（1）班两个组各10人参加跳绳测试，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组跳绳测试成绩的（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】D【分析】本题考查了方差的意义，根据方差越小，数据波动越小，越稳定，解答即可．【详解】根据方差越小，数据波动越小，越稳定，故选D．2．已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（

）A．2、 B．3、 C．、2 D．、3【答案】A【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方差及标准差公式求出方差．【详解】解：这组数据的平均数，方差，标准差，故选：A．3．如图是根据某打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．则这组数据的方差是．

【答案】8【分析】本题主要考查了折线统计图，求方差，先根据统计图的数据求出这组数据的平均数，进而求出这组数据的方差即可得到答案．【详解】解；这组数据的平均数为，∴这组数据的方差为，故答案为：8．4．数据2，，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为．【答案】13【分析】考查了平均数和极差公式，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，由平均数公式求出，再根据极差的公式：极差最大值最小值求解即可．【详解】解:根据题意得：解得：极差：，故答案为13．5．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是．【答案】4【分析】先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差．【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为，则原来的方差，现在的方差.所以方差不变，标准差为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．6．若3，a，4，6，5的平均数是4，则这组数据的标准差是.【答案】【分析】先根据求平均数的方法，求出的值，再根据标准差的公式，求出标准差即可．【详解】∵3，，4，6，5的平均数是4∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了算术平均数，标准差的计算，熟知相应公式，并进行准确计算是解题的关键．7．有一组数据如下：5，6，7，，9，它们的平均数是7，那么这组数据的标准差是（

）A．10 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据平均数求出，再根据方差公式求出方差，再根据标准差的定义即可得出答案．【详解】∵这组数据的平均数是7∴，∴，∴，∴故选：D．【点睛】本题考查了标准差的计算，掌握标准差的计算方法是解本题的关键．易错点四：含参求“三数”忽略分类讨论易错陷阱易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。举一反三例7．一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则x的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，根据中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置．【详解】解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为10，8，x，6，处于中间位置的数是8，x，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，平均数为，∵数据10，8，x，6，的中位数与平均数相等，∴，解得，大小位置与8对调，不影响结果，符合题意；（2）将这组数据从大到小的顺序排列后10，8，6，x，中位数是，此时平均数是，解得，符合排列顺序；（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，10，8，6，中位数是，平均数，解得，符合排列顺序．∴x的值为4、8或12，不可能是6．故选：B．例8．已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值为．【答案】4【分析】根据这组数据有唯一的众数可得或，再分别求出当和时这组数据的中位数即可得到答案．【详解】解：∵数据4，4，6，6，8，a有唯一的众数，∴或，当时，这组数据从小到大排列为4，4，4，6，6，8，则这组数据的中位数为，符合题意；当时，这组数据从小到大排列为4，4，6，6，6，8，则这组数据的中位数为，不符合题意；∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了求中位数和求众数，正确根据有唯一的众数确定出或是解题的关键．练习1．已知一组数据有唯一众数，那么这组数据的中位数是．【答案】或0/0或【分析】根据众数的定义，结合有唯一众数分类讨论x的取值，排序即可得到答案；【详解】解：∵数据有唯一众数，∴x等于或1，当时，中位数为，当时，中位数为0，故答案为：或0；【点睛】本题考查众数的定义及中位数的定义，解题的关键是分类讨论．练习2．若四个互不相等的正整数中，最大的数是，中位数是4，则这四个数的和是．【答案】或/18或17【分析】本题考查中位数，掌握一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是这组数据的中位数是解题的关键．【详解】解：∵中位数为，∴第二、三个数的和为，∵这四个数是不相等的正整数，∴第二、三个数为或，∴这四个数为；或，∴这四个数的和为或，故答案为：或．练习3．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是．【答案】或4或9【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，根据题意，平均数与中位数相同建立等价的式子，灵活运用分类讨论思想，解出即可作答．【详解】解：平均数：当，则一组数据从小到大排序得x，2，3，5，6，此时中位数为因为平均数与中位数相同则解得，满足条件；当，则一组数据从小到大排序得2，x，3，5，6，此时中位数为因为平均数与中位数相同则解得，不满足条件，故舍去；当，则一组数据从小到大排序得2，3，x，5，6，此时中位数为因为平均数与中位数相同则解得，满足条件；当，则一组数据从小到大排序得2，3，5，x，6，此时中位数为因为平均数与中位数相同则解得，不满足条件，故舍去；当，则一组数据从小到大排序得2，3，5，6，x，此时中位数为因为平均数与中位数相同则解得，满足条件；综上：实数x的值可以是或4或9故答案为：或4或9练习4．一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是．【答案】5或9/9或5【分析】根据平均数与中位数的定义就可以解决．中位数可能是7或6．【详解】解：当时，中位数与平均数相等，则得到：，解得；当时：，解得：；当时：，解得，舍去．所以x的值为5或9．故答案为：5或9．【点睛】本题考查中位数，算术平均数．掌握中位数和算术平均数的定义是解题的关键．易错题通关1．一组数据有5个自然数：4，5，5，x，y，这组数据的中位数为4，唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中，的最大值是．【答案】5【分析】本题主要考查中位数、众数的定义以及利用中位数、众数求未知数的值，根据中位数、众数的定义结合唯一的众数是5，可知，根据中位数为4可知，，又知x、y是自然数，据此得出x、y的所有可能的取值，并求出可能的最大值即可．【详解】解：由于唯一的众数是5，中位数为4，所以x，y不相等且，，所以x、y的取值可能是0，1，2，3，于是得的最大值为．故答案为：5．2．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4，则数据x是．【答案】1或2/2或1【分析】首先根据唯一的众数是4得到，然后根据从小到大排列求解即可．【详解】∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4，∵唯一的众数是4，∴∵是从小到大排列，∴或2．故答案为：1或2．【点睛】本题考查了众数，解题关键掌握众数的概念．3．五个正整数的中位数是，唯一的众数是，且这五个正整数的平均数为，则这五个正整数中小于的是____________【答案】1，4或2，3【分析】设小于5的正整数为，根据五个正整数的平均数为得：，求得后即可求得本题答案．【详解】解：设小于5的正整数为，根据题意得：解得：，小于5的两数可以是1，4或2，3，故答案为：1，4或2，3．【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是根据题意得到小于5的两数的和，难度不大．4．一组数据的中位数和平均数相等，则的值是．【答案】或或【分析】本题考查了中位数、算术平均数，根据中位数、算术平均数的意义列方程即可求解，掌握中位数、算术平均数的计算方法是解题的关键．【详解】解：∵这组数据的个数为，∴这组数据的中位数可能为，，，当中位数为时，，解得；当中位数为时，，解得；当中位数为时，，解得；故答案为：或或．5．一组数据：“3，6，3，5，a，3”的平均数和中位数相同，则a的值是．【答案】【分析】根据一组数据“3，6，3，5，a，3”的平均数和中位数相同和分类讨论的方法，可以求得a的值．【详解】解：∵一组数据：“3，6，3，5，a，3”的平均数和中位数相同，∴当时，，解得；当时，，解得（不合题意，舍去）；当时，，解得（不合题意，舍去）；故答案为：．【点睛】本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为调查学生对杭州亚运会的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行“我所了解的杭州亚运会”问卷调查，规定每人必须且只能在“非常了解”“一般了解”“有点了解”“很不了解”四个选项中选择一项，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据上面提供的信息，解答下列问题：(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“非常了解”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°，并补全条形统计图；(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中知道第19届杭州亚运会的人数（知道包括“有点了解”“一般了解”和“非常了解”）；(3)学校在选择“非常了解”的学生中任选6名进行“亚运知识我知道”小测试，其中5名学生的分数（单位：分）分别为76，84，92，80，80，这6名学生的分数的中位数为81，求第6名学生的分数．【答案】(1)160；157.5；见解析(2)1050名(3)82分【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，中位数．（1）根据选项“有点了解”的人数与百分比，即可求出总人数；根据“非常了解”的人数与总人数求出所占百分比，再乘以即可得到圆心角的度数；根据总人数与其他三个选项的人数，求出“很不了解”的人数，即可补全条形统计图．（2）全校学生人数乘以样本中知道第19届杭州亚运会的比例，即可解答．（3）将已知5名学生的分数从小到大排列为76，80，80，84，92，设第6名学生的分数为x，分3种情况讨论：①，②，③，根据中位数的定义即可求解．【详解】（1）该校一共抽样调查学生（名），“非常了解”项目所对应的扇形圆心角，“很不了解”项目的学生（名），补全条形统计图为：故答案为：160；157.5（2）（名）．答：该校学生中知道第19届杭州亚运会的人数约为1050．（3）将已知5名学生的分数从小到大排列为76，80，80，84，92，设第6名学生的分数为x，则81应为从小到大第3名和第4名的平均数．若，则第3名和第4名都为80，中位数也为80，不符合题意；若，则第3名和第4名分别为80和84，此时中位数为，也不符合题意．所以，此时中位数为，解得，符合题意，故第6名学生的分数为82分．7．小丽在一次打靶训练中连续打靶次．第次射中环，第次射中环，第次射中环，第次射中环．如果这组数据，，，的中位数与平均数相等，请你求出符合条件的值．【答案】或或【分析】根据中位数及平均数的计算公式即可求解．【详解】解：这组数据，，，的平均数是：环，当最小时，这组数据，，，的中位数为环，解得，当时，这组数据，，，的中位数为环，解得，当时，这组数据，，，的中位数为环，解得，【点睛】本题考查了中位数及平均数，熟练掌握和运用平均数公式以及分类讨论是解决本题的关键．易错点五：混淆各种统计图提取信息的方法易错陷阱频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量，扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%．易错提醒：可以结合题目中给出的扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数举一反三例9．某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（

）A．这次调查的样本容量是200B．全校1200名学生中，估计选篮球课大约有400人C．扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是D．被调查的学生中，选绘画课人数占比为【答案】B【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵，∴这次调查的样本容量为200，故A选项不符合题意；（人），即估计选篮球课大约有300人，故选项B说法错误，符合题意；扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是，故C选项不符合题意；被调查的学生中，选绘画课人数占比为，故D选项不符合题意；故选：B．例10．德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了名学生，并补全条形统计图（两处）；(2)在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为；(3)德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？【答案】(1)，见解析(2)(3)估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．（1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；（2）根据C组人数的占比乘以计算求解即可；（3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答．【详解】（1）解：本次共调查了学生：（名），E组人数为：（名），故A组人数为：（名），补全条形统计图如下：故答案为：；（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为，故答案为：；（3）（人），答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人．练习1．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果绘制了如图不完整的统计图，请根据统计图完成下列问题．(1)参加本次调查有________名学生；请你补全条形图；(2)在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为________度；(3)根据调查数据分析，全校大概会有名学生参加了合唱社团．【答案】(1)500，图见解析(2)54(3)1200名【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）先根据演讲的人数和百分比求出调查的人数，再分别求出舞蹈，航模，机器人的人数，最后补全统计图即可；（2）用360度乘以机器人所占的比例求解即可；（3）用3000