白山五模高三数学试卷

白山五模高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则该函数的对称中心为：

A.$(-1,1)$

B.$(0,2)$

C.$(1,-1)$

D.$(3,2)$

2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+5n$，则该数列的公差为：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若复数$z=a+bi(a,b\inR)$满足$\overline{z}+z=2i$，则实数$a$的值为：

A.0

B.1

C.$-1$

D.$\sqrt{2}$

4.设向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf{b}=(4,-3,2)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

5.在直角坐标系中，点$P(1,2)$关于直线$x+y=0$的对称点为：

A.$(-2,-1)$

B.$(-1,-2)$

C.$(2,-1)$

D.$(1,-2)$

6.若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中正确的是：

A.$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}-\sqrt{b}$

B.$\sqrt{a+b}>\sqrt{a}+\sqrt{b}$

C.$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

D.$\sqrt{a+b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$

7.若$A$是$m\timesn$矩阵，$B$是$n\timesp$矩阵，$C$是$p\timesm$矩阵，则$ABC$的秩为：

A.$m$

B.$n$

C.$p$

D.$m+n$

8.设$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，若$f(x)$的图像与$x$轴有两个交点，则$\Delta=b^2-4ac$的值：

A.$\geq0$

B.$>0$

C.$<0$

D.无确定值

9.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，$\angleC=75^\circ$，则$\sinC$的值为：

A.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.设$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，则$f'(2)$的值为：

A.$\frac{3}{2}$

B.$\frac{5}{2}$

C.$\frac{7}{2}$

D.$\frac{9}{2}$

二、判断题

1.在平面直角坐标系中，若点$A(1,1)$和点$B(-1,1)$关于原点对称，则点$A$和点$B$的中点坐标为$(0,0)$。（）

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点在$x$轴上，则$a>0$且$\Delta=b^2-4ac=0$。（）

3.在平面直角坐标系中，若点$P(x,y)$到直线$ax+by+c=0$的距离$d$，则当$a^2+b^2=1$时，$d$取得最小值。（）

4.在等差数列中，若第一项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

5.若两个非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的夹角为$0^\circ$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=1$处的导数为0，则$f(x)$在$x=1$处取得极值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项为1，2，3，则该数列的公差为______。

3.复数$z=3-4i$的模长为______。

4.若矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^T$的行列式为______。

5.在$\triangleABC$中，若$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，$\angleC=90^\circ$，则$\sinA:\sinB:\sinC=______:\______:\______。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内的单调性，并给出证明过程。

2.给出等差数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，请推导出该数列的前$n$项和$S_n$的表达式。

3.若向量$\mathbf{a}=(2,3)$和向量$\mathbf{b}=(4,6)$，请计算向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf{b}$的点积，并说明其几何意义。

4.请简述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的判别条件，并举例说明。

5.在直角坐标系中，若点$P(1,2)$到直线$x+y=3$的距离为$d$，请写出计算$d$的公式，并说明如何使用该公式计算$d$。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的导数，并求出其极值点。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前10项和为110，第7项为13，求该数列的首项和公差。

3.计算复数$z=(2+3i)^5$的值。

4.解一元二次方程$3x^2-5x-2=0$，并给出其解的判别。

5.在直角坐标系中，已知点$A(1,3)$和点$B(4,1)$，求线段$AB$的中点坐标。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一批产品，每件产品的生产成本为20元，市场售价为30元。为了提高销量，工厂决定在每件产品上打折销售，折扣率为$x$。已知在折扣后，销量增加了10%，且工厂希望利润至少比原来增加5%。

案例分析：

（1）根据题意，写出利润$P$关于折扣率$x$的函数关系式。

（2）求出使工厂利润至少增加5%的最低折扣率$x$。

（3）分析在最低折扣率下，工厂的利润情况。

2.案例背景：一个长方形地块的长为10米，宽为5米。为了围成一个圆形的花坛，长方形地块的一角被挖去一个等腰直角三角形，如图所示。已知挖去三角形的面积占原长方形地块面积的$\frac{1}{4}$。

案例分析：

（1）根据题意，写出等腰直角三角形两直角边长$x$与圆的半径$r$的关系式。

（2）求出圆的半径$r$。

（3）计算挖去三角形的面积，并验证其占原长方形地块面积的$\frac{1}{4}$。

七、应用题

1.应用题：某班有学生50人，要组织一个篮球比赛，每场比赛需要2个队，每个队3人。如果每个学生都至少参加一场比赛，且每场比赛的队员都不重复，请问至少需要安排多少场比赛？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，现要将其切割成若干个相等体积的小长方体。如果每个小长方体的长、宽、高分别为0.5米、1米和2米，请问至少需要切割成多少个小长方体？

3.应用题：一家商店在促销活动中，每买满100元赠送10元的购物券。某顾客在购买商品时，共花费了500元，并获得了50元的购物券。如果该顾客再次使用这些购物券购买商品，且每次购物满100元，请问最多可以使用这些购物券购买多少金额的商品？

4.应用题：一个工厂生产两种产品，产品A的利润为每件10元，产品B的利润为每件15元。如果每天至少生产产品A，且产品A的产量是产品B的两倍，请问为了使得每天的总利润至少为200元，产品A和产品B的最小产量各是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.C

3.C

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.A

10.D

二、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.0

2.1

3.5

4.-2

5.1:2:2

四、简答题

1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内（$x\neq0$）单调递减。证明：设$x_1<x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}<0$，因为$x_1x_2>0$且$x_2-x_1>0$。

2.等差数列的前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_n=a_1+(n-1)d$得到$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$。

3.向量$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2*4+3*6=8+18=26$，几何意义为向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf{b}$在坐标轴上的投影长度之积。

4.判别条件$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，则方程有两个相等的实数根；若$\Delta<0$，则方程无实数根。

5.$d=\frac{|1*1+2*1-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|1+2-3|}{\sqrt{2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0$。

五、计算题

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得到$x=1$，极值点为$x=1$。

2.首项$a_1=1$，公差$d=1$。

3.$z=(2+3i)^5=32+80i$。

4.$3x^2-5x-2=0$，解得$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{6}=\frac{5\pm7}{6}$，解为$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$。

5.中点坐标为$\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+1}{2}\right)=(\frac{5}{2},2)$。

六、案例分析题

1.（1）利润$P=(30-20)x(1+10\%)=10x(1.1)$。

（2）$10x(1.1)\geq500(1+5\%)$，解得$x\geq45$。

（3）最低折扣率为45%，此时利润为495元。

2.（1）$r=\frac{x}{\sqrt{2}}$。

（2）$r=2$。

（3）挖去三角形面积为$\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\times2^2=2$，原长方形面积为50，验证$\frac{2}{50}=\frac{1}{25}=\frac{1}{4}$。

七、应用题

1.至少需要安排25场比赛。

2.至少需要切割成4个小长方体。

3.最多可以使用这些购物券购买250元商品。

4.产品A和产品B的最小产量分别为4件和2件。

知识点总结：

1.函数的单调性和极值。

2.等差数列和等比数列的性质。

3.向量的运算和几何意义。

4.一元二次方程的解和判别。

5.三角形和直角坐标系中的几何问题。

6.案例分析和应用题的解决方法。

知识点详解及示例：

1.函数的单调性和极值：通过导数的符