2024年中考数学压轴题型（浙江专用）圆的综合压轴题（学生版）

压轴题04圆的综合压轴题

高分必抢

♦题型01圆中长度'角度的综合

圆的基本性质相关综合题解题秘籍：

圆中求长度，垂径+勾股；圆中求角度，同弧或等弧；

圆的综合问题，和那个图形结合，就多想所结合图形的性质与圆的性质；

1.（2023•温州）图1是4义4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为近，现将它剪拼成一个“房

子”造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEE作为题字区域（点4

E,D,8在圆上，点C,尸在A8上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若点A,N,M在同

一直线上，AB//PN,DE=^EF,则题字区域的面积为.

2.（2023•杭州）如图，在。。中，直径垂直弦CZ）于点E,连接AC,AD,BC,作CTJ_于点孔

交线段08于点G（不与点O,B重合），连接。R

（1）若BE=1,求GE的长.

（2）求证：BU=BG，BO.

（3）FO=FG,猜想NC4。的度数，并证明你的结论.

♦题型02圆与切线的综合

圆与切线综合题解题要点：

有切线必有直角，有直角三角形，求长度则多想勾股定理及与直角三角形有关的相似；

1.（2023•宁波）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆。与8C相

切于点D,连结AD,BE=3,BD=3a.尸是AB边上的动点，当尸为等腰三角形时，AP的长

为_______________.

2.（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置

刻画圆上点的位置.如图，A3是。。的直径，直线/是。。的切线，2为切点.P,。是圆上两点（不

与点A重合，且在直径A8的同侧），分别作射线AP,AQ交直线/于点C,点。.

（1）如图1,当AB=6,弧8尸长为IT时，求3c的长；

（2）如图2,当写'4加余时，求黑的值；

AB4CD

（3）如图3,当sin/BAQ。叵，BC=CD时，连接8尸，PQ,直接写出瞿的值.

AAA

♦题型03圆与最值问题

圆与最值问题必备知识：

一、构造辅助圆的常用方法：

①定义法:到定点的距离=定长

即:同一平面内4个点到某一定点的距离相等（3个点也可证共圆）

②定边对直角（原理:直径所对的圆周角=90°）

特例:有公共斜边的两个直角三角形，必满足四点共圆

③定边对定角（原理:同弧所对的圆周角相等）

④对角互补的四边形,4个顶点满足四点共圆

特例:矩形、正方形的4个顶点必四点共圆

⑤“蝴蝶形”相似的4个顶点必满足四点共圆

⑥瓜豆原理之圆生圆

二、圆与圆外定点的最值求法：

如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r

1.（2023•浙江）一副三角板ABC和。EE中，ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=12.将

它们叠合在一起，边BC与跖重合，8与AB相交于点G（如图1）,此时线段CG的长是.现

将ADEF绕点C（尸）按顺时针方向旋转（如图2）,边EF与相交于点H,连结。”，在旋转0°到

60°的过程中，线段。X扫过的面积是

2.（2023秋•清江浦区期中）如图，矩形ABC。的边AB=8,AO=6,/为的中点，尸是矩形内部一动

点，且满足NADP=/PA8,N为边CO上的一个动点，连接PMMN,则PN+MN的最小值为

3.（2023秋•广汉市校级月考）如图，ZviBC中，ZACB=9Qa,ZB=30°,AC=3,E是AC的中点，

M、N分别是边A8、8C上的动点，。也是8c边上的一个动点，以C。为直径作。0,连接即交。。

于F,连接FM,MN,则FM+MN的最小值为.

♦题型04圆的综合应用

1.（2023•宁波）如图1,锐角△ABC内接于O。，。为BC的中点，连结AD并延长交O。于点E,连结

BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F点G在上，连结8G,CG,若8C平分/E8G且N8CG

ZAFC.

AA

E

图1图2

(1)求NBGC的度数.

(2)①求证：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如图2,当点。恰好在8G上且。G=1时，求AC的长.

2.(2023•浙江)已知，是半径为1的。。的弦，。。的另一条弦CD满足C£>=AB,且CDLAB于点

»(其中点反在圆内，>AH>BH,CH>DH).

(1)在图1中用尺规作出弦与点反(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连结A。，猜想：当弦A8的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由;

若不变，求出的长度；

(3)如图2,延长A/7至点区使得HF=AH,连结CR/HCP的平分线CP交的延长线于点P,

点M为AP的中点，连结若求证：MHLCP.

2

3.(2023•丽水)如图，在。。中，AB是一条不过圆心。的弦，点C,D是篇的三等分点，直径CE交

A3于点E连结A。交CP于点G,连结AC,过点C的切线交BA的延长线于点X.

(1)求证：AD//HC；

(2)若5"=2,求tan/FAG的值；

GC

(3)连结8c交于点N,若。。的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若。尸=_|,求的长；

②若48=03，求△AA®的周长；

③若加l•42=88,求△B8C的面积.

压轴题预测

1.如图，点P在。。的直径AB上，作正方形PCDE和正方形尸FGH,其中点。，G在直径所在直线上,

点C,E,F,"都在。。上，若两个正方形的面积之和为16,OP=®,则。G的长是（）

r

A.672B.2774C.7D.4,R

2.如图，已知以BC为直径的O。，A为弧BC中点，尸为弧AC上任意一点，A。J_A尸交8尸于，连CD若

BC=6,则CD的最小值为

3.如图①是小明制作的一副弓箭，4。分别是弓臂前与弓弦BC的中点，弓弦BC=06w,沿AD方向

拉弓的过程中，假设弓臂前始终保持圆弧形，弓弦长度不变.如图②，当弓箭从自然状态的点。拉到

点。1时，有皿=0.3m,ZBiDiCi=120°.

图①

(1)图②中,弓臂两端9,G之间的距离是—m；

(2)如图③,将弓箭继续拉到点。2,使弓臂B2AC2为半圆，则。1。2的值为

4.如图1,在△A8C中，90°,BC=2AC=2,过BC上一点。作。E_LBC,交AB于点E,以点

。为圆心，的长为半径作半圆，交AC,AB于点F,G,交直线8C于点H,/(点/在H左侧).当

点。与点C重合时(如图2),GH=；当EF=GH时，CD=.

5.如图，在。。中，弦A8与弦。相交于点G,OA，C£)于点E,过点8的直线与的延长线交于点尸,

AC//BF.

(1)若/FGB=/FBG,求证：8尸是。。的切线；

(2)若tan/F=7,CD—24,求。。的半径；

4

22

(3)请问2-GB的值为定值吗?若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由.

V2DF-GF

F

6.如图(1),O。为锐角△CB£>的外接圆,过点。作DHLBC于点H,DC,08分别交直径A8于点E,

F,连结AC,ZCDH+2ZABC^90°.

(1)求证：CB=CD.

(2)当时，求证：AE=BF.

(3)如图(2),若AC=2,BC=2j7,

①求sinZCDH的值；

②求取的长.

i/

DD

图1图2

7.如图，在四边形A3C£)中，NB=NC=90°,tanZBA£>=—,A£>=5,CD=4a.DELAD交线段BC

3

于点E,以。E为直径的。。交AE于点尸，连结。F.

(1)用。的代数式分别表示DE,AB的长.

器的值•

(2)NCL不被。E分割成的两个角中，有一个等于求:

(3)连结0B,当。2〃。尸时，

①求证：ZOBC=ZBAE；

②求tanZDAE的值.

8.综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几