2024年中考数学专项复习：反比例函数背景下的全等、相似问题（解析版）

专题反比例函教

背景下的全等、相似问题

熊例题精讲

考点1反比例函数与全等三角形综合问题

【例1].如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，/ACB=90°,点C(-1,

0),点3在反比例函数y=K的图象上，且y轴平分/54C,则上的值是

解：如图，过点2作3。，尤轴于在。4上截取OE=OC,连接CE,

CO=1,

ACO=EO=\,

：.ZCEO=45°,CE=&,

:△BAC为等腰直角三角形，且NAC8=90°,

：.BC=AC,ZOCA+ZDCB=90°,ZC4B=45°,

'：ZOCA+ZOAC=90°,

：.ZOAC=ZBCD,

在△OAC和△£>CB中

rZOAC=ZBDC

"ZAOC=ZCDB,

AC=BC

：.^OAC^/\DCBCAAS）,

：.AO=CD,OC=BD=\,

'：y轴平分NBAC,

：.ZCAO=22.5°,

VZCEO=ZCEA+ZOAC=45°,

：.ZECA=ZOAC=22.5°,

:.CE=AE=®

：.AO=1+42=CD,

:.D0=®

.•.点8坐标为（我，-1）,

•点3在反比例函数y=K的图象上，

X

:.k=-1X&=-五,

A变式训练

【变1T].如图，在平面直角坐标系中，RtZXABC的斜边在x轴上，点C在y轴上，

/BAC=30°,点A的坐标为（-3,0）,将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D

恰好落在反比例函数y=&（k卉0）的图象上，则左的值为（）

解：如图，过点。作轴于点E.

由对称可知CD=BC,

易证△£）（?£1丝△BC。（AAS）,

：.CE=CO,DE=OB,

"：ZBAC=3Q°,。4=3

。。=阵04=«,

ZOCB=30°,

.•.OB=2/1_OC=1,

3

：.DE=OB=\,CE=0C=M，0E=2«,

因=DE。0E=1X2如=26,

•..反比例函数图象在第二象限，

：.k=-2愿，

【变1-2].如图，点A是反比例函数y=匡图象上的一动点，连接A。并延长交图象的另一

x

支于点8.在点A的运动过程中，若存在点C(m,n),使得ACLBC,AC=BC,贝”九，

解：如图，连接OC,过点A作AELx轴于点E,过点C作CTLy轴于点尸,

•••由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于0点对称，

X

：.AO=BO.

XVAC1BC,AC=BC,

：.COLAB,CO=—AB=OA,

2

VZA0E+ZA0F=9Q°,ZAOF+ZCOF=90°,

ZAOE=ZCOF,

又•.♦/4£。=90°,ZCFO=90°,

：.AAOE^ACOF(AAS),

：.OE=OF,AE=CF,

•点C（加，〃），

CF=-m,cF=n,

：・0E=-m,AE=n,

.".A（-m,九），

•••点A是反比例函数y=2图象上,

考点2反比例函数与相似三角形综合问题

【例2].如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBQ的边08与x轴的正半轴重合，AD//

OB,轴，对角线0。交于点M.已知AD：0B=2：3,△AMD的面积为4.若

反比例函数y=K的图象恰好经过点则左的值为（）

9

：AD//OBf

/.AADM^/\BOM,

../△ADM（AD）2=生

^ABOMOB9

•SAADM=4,

•*•S丛BOM=9,

•；DB_LOB,MHLOB,

:,MH〃DB,

.OH=OM=OB=2

•屈DMAD

OH=^-OB,

5

Q97

SAMOH="XS^OBM=—,

55

.•.—k1,27，

25

.•.7,

5

故选：B.

A变式训练

【变2-1].如图，己知第一象限内的点A在反比例函数y=&上，第二象限的点3在反比

X

例函数y=K上，且。4_LOB,—,则上的值为（）

x0A4

444

解：作轴于点C,作BOLx轴于点D.

则N8r>O=/ACO=90°,

则/80。+/080=90°,

,：OA±OB,

：.ZBOD+ZAOC^90°,

:.NBOD=NAOC,

：./\OBD^/\AOC,

.SAOED(OB)2_(3、2_9

・•瓦嬴—谶"IF

又,；&AOC=」X4=2,

2

.Q

••SAOBD=—，

2

故选：B.

【变2-2].如图，Rtz\ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延

长线交y轴负半轴于E,双曲线y=&（x〉0）的图象经过点4若SABEC=8,则左等于

解：•.•8。为RtZXABC的斜边AC上的中线，

：.BD=DC,NDBC=NACB,

又NDBC=ZEBO,：.ZEBO=ZACB,

又/8OE=/C3A=90°,

:.△BOEsXCBA,

...BO=UE；gpBCXOE=BOXAB.

BCAB

XVSABEC=8,即BCXOE=2XS=16=BOXAB=\k\.

又由于反比例函数图象在第一象限，k>0.

所以人等于16.

故选：B.

【变2-3].如图，在等腰△A08中，AO=AB,顶点A为反比例函数>=区(x>0)图象上

X

一点，点B在x轴的正半轴上,过点B作BCVOB,交反比例函数y=X的图象上于点C,

解：如图，过点A作交无轴于R交0C于点E,

'JOA^AB,AFLOB,

OF=FB=LOB,

2

'：BC±OB,

：.AF//BC,

：.AADE^/\BDC,PL=EL=OL=A,

OCBCOB2

：.BC=2EF,

设OF=a,则OB=2a,

：.A(a,K),C(2a,工),

a2a

；.AF=^-,BC=-^~,

a2a

：.AF=2BC=4EF,AE=AF-EF=3EF,

'：AADEsABDC,

.DEAE3EF3

一记WEFT

...SnADE(AE)2=g,

^ABDCBC4

,..△BCD的面积为2,

._9

••S/^ADE———，

2

.DE_3

••------,

EC5

..OE=1

'OC2"

：.EC=OE,

.DE_3

••---9

OE5

.SAADE_3

••~―，

SAA0E5

SAAOE-l'~-，

2

..AF_4EF_4

'AE3EFy

.SAA0F_AF_4

••~—---，

SAA0E趣3

SAAOF=­SAAOE=—x=10,

332

因=10,

2

\'k>0,

：.k=20.

故选：B.

1.如图，AB_L无轴，8为垂足，双曲线y=K(x>0)与△AOB的两条边。4,A8分别相

x

交于C,。两点，OC=』CA,且△ABC的面积为3,则上等于()

2

解：连接BC,过点于M,

：OC=』CA,即叟=工，

2CA2

.SAOBCoc1

ABACCA2

又：AABC的面积为3,

.3

••SAOBC=—，

2

5L,：CM//AB,

.OC=OM=1

,,CAMB5，

•SAOMCQM1

^ABMCMB2

.".SAOMC=—SAOBC=—=—|A:|,

322

,:k>0,

k=1,

2.如图，在△ABC中，4B=AC,点A在反比例函数y=K（左>0,x>0）的图象上，点8,

X

C在X轴上，0c=1。3,延长AC交y轴于点。，连接2。，若△BC。的面积等于1,

则k的值为（）

9

：AB=ACf

：.CE=BE,

OC=4B,

5

OC=—BC=—X2CE=­CE,

442

,JAE//OD,

；.△COOs△CEA,

.•・包理=(CE)2=4,

2ACODOC

VABCZ)的面积等于1,OC=^OB,

5

S^COD=—S^BCD=—,

44

."•5AC£/1=4XA=i,

4

;OC=^CE,

2

5AAOC~—5AC£A=—,

22

."•SAAOE=—+1=—»

22

S/\AOE=—k(Z>0),

2

:.k=3,

故选：A.

3.如图所示，RtZVIOB中，NAO8=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=1(x>0)与

x

y=--(x<0)的图象上，贝！Itan/BA。的值为()

X

D.V10

解：作ACLLx轴于C,5O_Lx轴于。，如图,

;顶点A,8分别在反比例函数(x>0)与丁=一a(x<0)的图象上,

xx

•,.SAAOC=—X|1|=A,5ABOD=—X|-5|=—,

2222

VZAOB^90°,

AZBOD+ZAOC=90°,

VZAOC+ZOAC^90°，

：.ZOAC=ZBOD,

而NACO=N8。。,

△AOCs/\OB。,

1_

S

AAOC_(pA)2=2_=_1

^AOBDOB55

2

OB=病，

OA

在RtAlOB中，tan/a4O=®=«,

OA

故选：B.

4.如图，函数>=-1(x<0)的图象经过Rtz\AB。斜边02的中点。，与直角边AB相

交于C,连接AO.若4。=3,则△AB。的周长为()

C.6+2^10D.6+2A/11

解：如图，过点。作。ELA。于E,

.•点。是BO的中点，

\AD=BD=DO=3,

•.80=6,

：DELAO,ABLAO,

,.AB//DE,

.DO_DE_EQ_1

"BO"AB"AO"2'

,.AB=2DE,AO=2EO,

S^DEO=­DEXEO=—,

22

S^ABO=—ABXAO=2,

2

"：AB1+AO2=OB2=36,

：.(.AB+AO)2=36+8,

：.AB+AO=2y[Ti，

AABO的周长=AO+BO+A8=6+2Vn，

故选：D.

5.如图，长方形ABC。的顶点A、5均在y轴的正半轴上，点。在反比例函数y=K(x>

x

0)的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E,连接AE,已知SAABE=1,则k的值

•・・A5CO是矩形，

：.AD=BC,AD//BC//OE,

：.△ABDS/\0BE,

・AD=AB

，e0E0B，

即：AD・OB=AB/OE,

9

又S4ABE=1=—AB0Ef

2

工AD・OB=AB・OE=2=BC・OB,

即：3矩形08。尸=3。・。3=2=:|川，

:.k=2或2=-2（舍去），

故选：C.

6.如图，直线>=尤+2与反比例函数y=区的图象在第一象限交于点P,若0P=『6则

X

k的值为3.

：。尸=百5，

7m2+(m+2)2=，

解得见=1,m2=~3(不合题意舍去)，

・•・点尸(1,3),

・

••Q3-k，

1

解得k=3.

故答案为：3.

7.已知一次函数y=2x+4的图象分别交无轴、y轴于A、8两点，若这个一次函数的图象与

一个反比例函数的图象在第一象限交于点C,且AB=22C,则这个反比例函数的表达式

为丫=旦.

x

解：•.,一次函数y=2尤+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,

：.A(-2,0),B(0,4),

过C作CDLx轴于D,

：.OB//CD,

△ABOsS,

.OB.A0_AB_2

'*CD'ADAC亭

:・CD=6,A£>=3,

：.OD=lf

：.C(1,6),

设反比例函数的解析式为y=K,

x

:・k=6,

：.反比例函数的解析式为y=2.

故答案为：>=2.

8.在平面直角坐标系尤0y中，点A,B在反比例函数y=2(x>0)的图象上，且点A与

X

点3关于直线丁=%对称，。为AB的中点，若A3=4,则线段0c的长为，

t

点A与点6关于直线y=x对称,

：.B(2,力,

t

•・・A3=4,

(L2)2+(--t)2=42,

tt

即t-2=2点或t--=-2V2，

tt

解方程厂2=-2/5,得尸-如-2(由于点A在第一象限，所以舍去)或/=-&

t

+2,

经检验，t=-&+2,符合题意，

.*.A(-V2+2，&+2),B(&+2,-V2+2).

•；C为的中点，

：.C(2,2),

22=2

：.OC=yj2+2^-

故答案为2如.

9.如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=K(x>0)的图象与边MN、

X

0M分别交于点4夙点B不与点M重合).若A3L0M于点3,则％的值为_jV3_.

解：过点8作轴于点C,过点A作轴于点D如图,

「△0MN是边长为10的等边三角形，

：.OM=ON=MN=10,NM0N=NM=NMNO=60°

设0C=6,贝ijBC=Fb，0B=2b,

：.BM=OM-OB=10-2b,B(b,ab),

VZM=60°,ABLOM,

：.AM=2BM=20-4b,

：.AN^MN-AM^IO-(20-4b)=4b-10,

VZAND=60°,

.•.Z)N=/&=26-5,A£)=等AN=2«b-5我，

：.OD=ON-DN=15-2b,

：.A(15-2b,2ab-5如),

VA,B两点都在反比例函数y=K(x>0)的图象上，

X

:.k=(15-26)(2我b-5«)=b'Mb，

解得b=3或5,

当。=5时，05=20=10,此时5与M重合，不符题意，舍去,

:・b=3,

:・k=b・,

故答案为：973.

10.如图，在Rtz\ABC中，ZABC=90°,C(0,-3),C£)=3A。，点A在反比例函数y

=区图象上，且y轴平分/ACB,求左=_生巨

x7

解：过A作AELx轴，垂足为E,

VC(0,-3),

OC=3,

NAED=NCOD=90°,ZADE=ZCDO

△ADEs^CDO,

AE_DE_AD_1

CO=0D"CD"3'

AE=1；

又：y轴平分NAC2,CO±BD,

BO=OD,

ZABC=90°,

ZOCD=ZDAE=ZABE,

△ABEs^DCO,

AEBE

0D0C

设Z)E=〃，贝|20=0。=3小BE=ln,

17n

0E=4n=^^~

7

A(±ZL,i)

7

故答案为：生巨.

11.如图，矩形O48C的两边落在坐标轴上，反比例函数y=K的图象在第一象限的分支过

X

A3的中点。交。8于点E,连接EC,若△OEC的面积为12,则/=12后.

解：如图，过点。、E分别作x轴的垂线，垂足分别为尸、G,

贝！JS/^OBC=S矩形OADF=2S/^OEG-kf

又•：EG//BC,

:.AOEGSAOBC,

.♦・安世=(吗2=2,

^AOEG°E

QB=&，

OE

.BC=&,

"EG

s(OBCBC=正,

2AOECEG

k=&，

12

：.k=12y/2-

故答案为12M.

12.如图，在平面直角坐标系中，ZOAB=60°,ZAOB=90°,反比例函数小=见的图象

解：作BH_Lx轴，垂足为H,AM_Ly轴，垂足为

VZOAB=60°,ZAOB=90°,

:ABHOsAAMO,

，BH_0H=B04

"O^-AM"AOI-'

令OM=a,则BH=«a，

代入反比例函数”=-旦得：x=乂耳,

xa

.•.o”=返，得：AM=^-,

aa

•■•AM'OM=-'a=l>

a

又・・・AM・OM=m,

•・TYl^~1.

故答案为1.

13.如图，线段。4与函数y=K(x>0)的图象交于点8,且A8=2O8,点C也在函数y

X

=K(X>O)图象上，连结AC并延长AC交X轴正半轴于点。，且AC=3CD,连结5C,

解：如图，分别过点A,B,。作入轴的垂线，垂足分别为E,F.

J.BE//CF//AM,

：.OB：OA=BE：AM=OE：OM=1：3,

CD：AD=DF：DM=CF：AM=1：4,

设点B的坐标为（a,b）,

：・OE=a,BE=b,

：.AM=3BE=3b,OM=3OE=3a,

44

：.C4,—b),

34

.'.OF=-a,

3

：.FM=OM-OF=^-a,

3

：.DF=^FM=^-a,

39

0D=OM-DF-FM=LI.

9

•.•△BC。的面积为3,

△ABC的面积=3XZ\BCD的面积=9,

AABD的面积=12.

△BOO的面积=」X△ABD的面积=6.

2

.•._L・OZ>2E=_Lx工aX6=6.

229

解得k=ab=^[~>o.

故答案为：128

14.如图，在平面直角坐标系中，点42在函数>=区（％>0,尤>0）的图象上，过点A

作x轴的垂线，与函数y=-K（尤>0）的图象交于点C,连接BC交尤轴于点D若点

x

A的横坐标为1,BC=3BD,则点B的横坐标为2

解：作轴于E,

J.AC//BE,

:.丛CDFs工BDE,

.CF=DF=CD

"BEDE而，

,:BC=3BD,

•CF=DF=2

*"BEDET

:.CF=2BE,DF=2DE,

设8(—,b),

b

：.C(1,-26),

•.•函数y=-区(x>0)的图象交于点C,

X

A-k=lX(-2b)=-2b,

:,k=2b,

,.B的横坐标为上=生=2,

bb

15.如图，在△ABC中，边AB在无轴上，边AC交y轴于点E.反比例函数y=K(x>0)

X

的图象恰好经过点C,与边3C交于点D若AE=CE,CD=2BD,SMBC=6,贝(Jk=

12

解：如图，作于点DNLAB于点、N,

m

则OM=m,CM^—,

m

•：OE〃CM,AE=CE,

・AO_AE_i

,领一而

•\AO=mf

■:DN〃CM,CD=2BD,

.BN=DN=BD=1

••丽CMBC

：.DN=—,

3m

.,•£＞的纵坐标为K,

3m

•.•—k_—k,

3mx

••x~~3m,

即0N=3m,

:,MN=2m,

：.BN=m,

*.AB=5m,

•S/\ABC=^9

A5me—•工=6,

m2

T

故答案为：

5

16.如图，A为反比例函数y能（其中尤＞0）图象上的一点，在无轴正半轴上有一点2,

08=4.连接04,AB,且。4=AB=2过点B作2CL0B,交反比例函数y*（其

X

中无＞0）的图象于点C,连接OC交A8于点。，则包■的值为旦

BD.2一

解:过点A作轴，垂足为点“，A”交OC于点如图所示.

"：OA=AB,AHLOB,

:.OH=BH=LOB=2,

2

=22=

•'-AHV0A-0HV（2>/10）2-22=6>

二点A的坐标为（2,6）.

为反比例函数yJ二（其中x>0）图象上的一点，

X

.•・％=2X6=12.

•.•3C_Lx轴，05=4,点C在反比例函数>=至上，

x

：.BC=3.

\UAH//BC,OH=BH,

：.MH=^-BC=—,

22

2

,JAM//BC,

AADMsABDC,

•••A--D=AM—3,

DBBC2

故答案为s.

17.如图，已知菱形ABC。的对角线相交于坐标原点。四个顶点分别在双曲线>=国和y

X

=K1<0）上，旭■=[,平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,连接

xBD3

OF,则△OEF的面积为-Al_.

解：作„了轴于M,DN_Lx轴于N,

•..四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,

：.ZAOM+ZDON=ZODN+DON=90°,

ZAOM=ZODN,

VZAMO=ZOND=90°,

AAOMsAODN,

SAAOM（怨）2,

^AODNOD

点在双曲线y=&,=

'xBD3

S^AOM=—X4=2,-QA=2,

2OD3

―—=（2）2,

SA0DN3

・9

••S/\ODN=—,

2

:。点在双曲线y=K（k<0）上，

:.k=-9,

•••平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点£,F,

111Q

S^OEF=—X4+—XQ——，

222

故答案为ai.

2

18.如图，己知直线/：y=-x+4分另IJ与x轴、y轴交于点A,B,双曲线y生（左>0,x>0）

与直线/不相交，E为双曲线上一动点，过点石作EGLx轴于点G,所，y轴于点R

分别与直线/交于点C,D,且/COD=45°,贝Ik=8.

解：点A、8的坐标分别为(4,0)、(0,4),

即：OA=OB,.\ZOAB=45°=ZCOD,

ZODA=ZODA,：./\ODA^/\CDO,

:.OD2=CD*DA,

设点E(m,n),则点D(4-n,n),点C(m,4-m),

则OD2=(4-n)2+n2=2n2-Sn+16,

CD=M(.m+n-4),DA=®n,

BP2rr-8M+16=V2(m+«-4)X近n,

解得：mn=S=k,

故答案为8.

19.如图，平行四边形ABC。的顶点C在y轴正半轴上，C。平行于x轴，直线AC交x轴

于点£,BC±AC,连接BE,反比例函数y=K(x>0)的图象经过点。，已知S^BCE=

2,则左的值是4

解：(解法一)过点。作。尸，工轴于点R如图所示.

•/四边形ABCD是平行四边形，

J.BC//AD,BC=AD.

XVBC±AC,

：.DA±AC.

•・・。0平行于x轴，

・•・ZACD=ZCEO.

VCO.LOE,DALAC,

：.ZECO=ZD.

设点。的坐标为(m,—)(m>0),

m

则CD=m,OC=DF=&.

m

在RtZ^CAO中，CD=m,NCAO=90°,AD=m・cos/D.

在RtZiCOE中，OC=K,ZCOE=90°,CE=————=------

mcosZ-ECOmpcosz_D

S^BCE=—CE・BC=—-------------•m•cosZD=—k=2,

22m*cosZD2

解得：左=4；

(解法二)设点。的坐标为(相，n)(m>0,〃>0),贝IJCD=M,OC=n,

•・・CO〃x轴，

JZACD=ZOEC.

•・•四边形A8CO为平行四边形，BC.LAC,

：.DALAC,AD=BC,

：.ZDAC=ZCOE=90°,

:•△COEsXDAC,

・0C—CEgpnCE

ADCDBCm

mn=BC*CE.

'：S^BCE=—BC-CE=2,

2

••mn=2SABCE=4.

..•点Z)在反比例函数y=K(x>0)的图象上,

X

••k~~irm~~4.

故答案为：4.

20.如图，A为反比例函数y=K（其中x>0）图象上的一点，在无轴正半轴上有一点8,

08=4.连接。4,AB,且OA=AB.过点B作BCA.OB,交反比例函数y=K（其中尤

>0）的图象于点C,连接OC交于点。，则胆的值为工

DB-2-

解：过点A作A〃_Lx轴，垂足为H,AH交OC于点如图,

"：OA=AB,AH.LOB,

：.OH=BH=^-OB=^X4=2,

22

A(2,K),C(4,K),

24

"：AH//BC,

28

：.AM=AH-MH=---=—

288

'JAM//BC,

：.△ADMsABDC,

21.如图，点A在反比例函数y二生第一象限内图象上，点8在反比例函数yjL第三象限

XX

内图象上，ACLy轴于点C,轴于点。，AC=BD=—，AB,CD交于点E，若BO

3

=CE,则k的值为代

解：过点A作APLx轴于点P,过点8作BQLx轴于点Q,

点A的横坐标为K,点B的横坐标为-K,

33

..•点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数y上第三象限内图象

XX

上，

.,.点A的纵坐标为6,点8的纵坐标为-3,

轴，8£>_Ly轴，

：.CD=AP+BQ=9,0D=3,AC//BD,

：.ZCAE=ZDBE,NACE=ZBDE,

.,.△ACE名ABDE(AAS),

：.CE=DE=—CD=—,

22

"：BO=CE,

：.B0=^-,

2

在RtABOD中，

由勾股定理可得BD2+OD1=OB2,

即(1)2+32=(1)2-

解得左=生叵或k=-曳&

(舍去),

22

故答案为：生区.

2

22.如图，菱形A8C。的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、8。交于原点。，AEL8C于

E点,交8。于M点，反比例函数(x>0)的图象经过线段。C的中点M若BD

=4,则ME的长为2.

一3一

解：在菱形ABC。中，AB=BC,BDLAC,OB=OD=l-^=2,ZABC=2ZOBC,

...点D(0,2),

设点C(m,0),

•.•点N为CO的中点，

，点N啰，1）,

V反比例函数丫乎（x>0）的图像经过点N,

3Xy

解得：m争■，即点C挈，0)，

.•.0年

O

•*-AC=^->tan/OBC帝斗,

oUDO

：.ZOBC=30°,

AZABC=60°,

•△A5C为等边三角形,

-BC=AC=^-'

o

*AE±BC,

，BEJBC=^",

4o

•••EM=BE-tanZOBC-1.

故答案为：2.

3

23.如图，平面坐标系中，48交矩形ONCM于E、F,若些=工（机＞1）,且双曲线＞=区

BFmx

_Si

也过E、两点，记SACEF=SI,SAOEF=S＞用含m的代数式表小.

s2

解：过点/作FGLy轴于点G,如图所示:

：CM_Ly轴，FG_Ly轴，

J.CM//FG,MC=FG,

:.△BMES^BGF,

.ME=ME=BE=1

"MCGFBFm)

设点C的坐标为(a,b),则E(旦，b),F(a,电),

mm

2

.\5i=Ax(fl-A).(Z>-A)=(m-1?心

2mm2m

S2=a'b-处-工•也-

21021n2m2m

.d1m-1

52m+1

24.如图，在平面直角坐标系中，点尸、Q在函数y=」2(尤＞0)的图象上，PA.QB分别

X

垂直入轴于点A、B,PC、Q。分别垂直y轴于点C、D.设点P的横坐标为相，点。的

纵坐标为九，△PC。的面积为Si,△Q45的面积为S2.

(1)当m=2,〃=3时，求Si、S2的值；

(2)当△尸CD与△Q48全等时，若加=3,直接写出〃的值.

：.P(2,6).

•・・E4_Lx轴，尸C_Ly轴，

：.PC=OA=2,PA=OC=6.

•当m=3时，％=工^=4,

3

：.Q(4,3).

轴，QDLy轴，

：.DQ=OB=4,QB=OA=3,

：.CD=OC-OD=3,AB=OB-OA=2,

.\Si=Acr)*CP=ix3X2=3,S2=—AB>2B=AX2X3=3.

2222

(2)Vm=3,

：.P(3,4),

：.PC=0A=3,

当△PC。丝△QA4时，

■:QB=PC=3,

.•・〃=3；

当△PC。名△ABQ时，

,.・PC=OA=3,

：.AB=PC=3,

OB=OA+AB=3+3=6.

•••点。在反比例函数y=12的图象上，

X

：.y=^l=2,

6

/.n=2.

综上所述，〃=2或3.

25.如图，一次函数y=依尤+6的图象与反比例函数y="的图象相交于4(1,2)、8(-2,

x

〃)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出满足hx+b>”的x的取值范围；

X

(3)若点尸在线段A3上，且S.OP：SABOP=1：4,求点尸的坐标.

：.k2=lX2=2,

反比例函数解析式为y=2,

X

■:B(-2,n)在反比例函数y=2的图象上,

：.B(-2,-1),

:直线y=hx+b经过A(1,2),8(-2,-1),

ki+b=2fV.=i

.•・，，解得.1,

-2k]+b=-l[b=l

一次函数的解析式为y=x+l；

k

(2)观察图象，如什。>上9的x的取值范围是-2VxV0或x>l；

x

(3)设尸(x,x+1),

,**S/^AOP：SABOP—1：4,

：.AP：PB=1：4,

即尸3=47%,

(尤+2)2+(尤+1+1)2=16[(x-1)2+(x+1-2)2],

解得尤1=2,%2=2(舍去)，

5

点坐标为(2,工).

55

26.如图，在矩形0ABe中，OA=3,OC=5,分别以。4、0c所在直线为了轴、y轴，建

立平面直角坐标系，。是边CB上的一个动点(不与C、8重合)，反比例函数>=区(k

x

>0)的图象经过点。且与边54交于点E,连接DE.

(1)连接OE,若△EOA的面积为2,则k=4；

(2)连接CA、OE与C4是否平行？请说明理由；

(3)是否存在点。，使得点8关于。£的对称点在OC上？若存在，求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：(1)连接0E,如图1,

：RtzXAOE的面积为2,

二,=2X2=4.

(2)连接AC,如图1,设£>(x,5),E(3,$乂)，则BD=3-x,BE=5-»

33

BD3-x_3_BC^3

BE"5后‘AB"5

5亍

.BDBC

BEAB

又

:.△BDEsgCA,

:.NBED=/BAC,

J.DE//AC.

(3)假设存在点。满足条件.设。(x,5),E(3,0x)，则C£>=x,

3

BD=3-x,BE=5-J,AE=J.

33

作EF_LOC,垂足为凡如图2,

易证CD^/XEFB',

.B，EF3-ByF

B，DCD3-xx

：.B'尸=J，

3

AOB'=B'F+OF=B'F+A£=-^-x+^-x=-^-x,

333

：.CB'=0C-OB'=5-辿x，

3

在RtZ\8'CQ中，CB'=5-^-x,CD=x,B'D=BD=3-x,

3

由勾股定理得，CB，2+CD2^B'D2,

222

(5--^-x)+x=(3-x),

3x

解这个方程得，XI=1.5(舍去)，X2=O.9