2024年中考数学暑假复习讲义：十字模型

十字模型

知识聚焦

1.正方形中的十字模型

⑴如图1.在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上,AE与BF交于点G.

结论1：若AE_LBF,贝！jAE=BF.

结论2:若AE=BF,则AEXBF.

思路:证明△ABF丝ADAE,可得结论1,2.

(2)如图2.在正方形ABCD中.点E,F,G分别在CD,AD,BC上.

结论3:若AE_LGF,贝!]AE=GF.

图1图2

思路:如图3,考虑过点F作FH±BC于点H,证明△ADEgAFHG,可得结论3.

(3攻口图4,在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上.

结论4:若EF_LGH,则EF=GH.

思路:如图5,考虑过点E作EMXCD于点M,过点G作GNXBC于点N,证明△EMF0/\GNH,可得结论4.

2.矩形中的十字模型

⑴如图6,在矩形ABCD中，点E是AD上的点.

结论5:若CELBD,则*=*.

思路:证明△DCE^AADB,可得结论5.

⑵如图7,在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上,G,H分别在AB,CD上.

结论6:若EFLGH,则啜=当

思路：如图8,过点F,H分别作对边的垂线，构造EF,GH所在的两个三角形相似，可得结论6.

BFCB

图7困8

典例精讲

例1如图，在正方形ABCD中,AB=4,点E为BC的中点，点F在AD上，且DF=3AF,连结EF,点。是EF上一

点，过点O作HGLEF,交CD于点G,交AB于点H,求HG的长.

分析过点F作FM1BC于点M,过点G作GN_LAB于点N,证明△MFE会△NGH,可得HG=EF,在RtAMFE

中，用勾股定理求得EF的长，即可解答本题.

解答如图，过点F作FMXBC于点M,过点G作GNXAB于点N,

VHG±EF,FM±GN,

ZMFE=ZNGH.

:四边形ABCD是正方形,

AB=AD,即FM=GN.

在4MFE和4NGH中，

2FME=/.GNH,

MF=NG,

.4MFE=NGH,

：.AMFE^ANGH(ASA),

/.HG=EF.

：DF=3AF,

11

/.AF=-AD=-AB=1.

44

YE是BC的中点，

ii

BE=-BC=-AB=2,

22

EM=BE-BM=BE-AF=1.

又：FM=AB=4,

.•.在RtAMFE中，

EF=y/FM2+EM2=V42+l2=V17,

HG=EF=V17.

例2如图,在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连结BF.

已知AD=5,AB=3,求折痕CE的长.

分析证明△ABFs^BCE根据相似三角形对应边成比例即可求得CE的长.

解答：四边形ABCD是矩形，

；.BC=AD=5,CD=AB=3.

由折叠的性质，可得CF=BC=5,

.•.在RSCDF中,DF=y/CF2-CD2=V52-32=4,

.\AF=AD-DF=5-4=1,

BF=y/AF2+AB2=Vl3+32=V10.

由折叠的性质可得BFJ_CE,

ZABF+ZFBC=ZFBC+ZBCE=90°,

ZABF=ZBCE,

/.AABF^ABCE,

._BFnp.3_V10

"BC~CE*5-CE'

)5V10

.・.CE=-----.

3

例3如图,将正方形ABCD折叠，使得点A落在CD上的E点,折痕为MN.若CE=3折痕MN的长为旧,求

正方形ABCD的面积.

分析过点N作NFXAD于点F,连结AE,交MN于点H,证明△NFMgZsADE,可得AE=MN,在RtAADE中，用

勾股定理列方程求解即可.

解答如图，过点N作NFXAD于点F,连结AE,交MN于点H,

四边形ABNF是矩形，且AB=NF=AD.

,/ZD=ZAHM=90°,ZDAE=ZHAM,

/.ZAMN=ZAED.

又AD=NF,ZNFM=ZD=90°,

ANFM△ADE(AAS),

AE=MN=V17.

•••AD2+DE2=AE2,§PAD2+{AD-3)2=(V17),

解得AD=4或AD=—1(舍去)，

正方形ABCD的面积为4x4=16.

例4如图，在Rt△ABC中,/ABC=9(F,BA=BC=3,D是BC边上的中点，连结AD,过点B作BEXAD于点E,延

长BE交AC于点F,求BF的长.

分析过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两线相交于点M,延长BF交MC于点G,则四边形A

BCM为正方形，可证△GBC乌Z^DAB彳导CG=BD=|,在RtABCG中，用勾股定理求出BG的长，由△ABF^ACG

F,可求得BF的长

解答如图，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两线相交于点M,延长BF交MC于点G.

四边形ABCM为正方形，

ZABC=ZBCG=90°,

ZABE+ZGBC=90°.

VBE±AD,

・•・ZABE+ZBAD=90°,

AZGBC=ZDAB.

又TAB二BC,

・•・AGBC^ADAB(ASA),

ACG=BD.

点D为BC边上的中点,BC=3,

13

.・.CG=BD=-BC=

22

BG=VBC2+CG2=—.

2

VAB/7CG,

BFAB3c

—=——=—=2,

FGCG-

ABF=2FG,

BF=-BG=V5.

3

例5如图，在四边形ABCD中,NABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,点M,N分别D

在边BC.AB上，且AMLDN,求黑的值./VxC

分析过点D作DR〃AB交BC的延长线于点R,过点A作AS〃BC交RD的延长线/

于点S得到矩形ABRS,过点D作DE±AB于点E,连结ACJIEAACD^^ACB得/AD—口，

ANB

C=NABC=90。,设RC=乂,由4SADsaRDC,可得SD=2x,DR=10-2x,在RtADRC中，用

勾股定理求出x,再根据△DENsAABM,可得篝的值.

解答如图，过点D作DR〃AB交BC的延长线于点R,过点A作AS〃BC交RD的延长线于点S,则四边形

ABRS是平行四边形.

ZABC=90°,

・・・四边形ABRS是矩形，

AZR=ZS=90°,RS=AB=10,AS=BR.

过点D作DE±AB于点E,连结AC,

VAMXDN,

JZBAM+ZAND=90°.

ZEDN+ZEND=90°,

・•・ZBAM=ZEDN,

ADEN^AABM,

.DN_DE_BR

''AM-AB-AB"

,:AB=AD,CB=CD,AC=AC,

.,.△ACD^AACB(SSS),

・•・ZADC=ZABC=90°,

JZRDC+ZSDA=90°.

・・・ZSAD+ZSDA=90°,

・・・NSAD=NRDC,

AASAD^ARDC,

AD_SD

"DC-RC

设RC=x,

.10_SD

,•5一%，

・・・SD=2x,DR=10-2x.

在RtACRD中,(CD2=DR2+RC2,

2

即5=(10-即尸+必,解得X1=3,必=5(舍去),

・・・BR=5+x=8,

.DN_BR_8_4

''AM~AB~10~5

回办综合提升

1.如图,BD是矩形ABCD的一条对角线,EFd_BD交AD于点E,交BC于点F.若AB=3,BC=4,则EF的长是（）

A13

A.——B三CD.4

3-T

（第1题图）（第2题图）

2.如图.正方形ABCD点E,F分别在BC,CD上,AE=BF,下列结论错误的是

()

A.BE=CF

B.ZAEB+ZBFC=180°

C.ZDAE=ZBFC

D.AE±BF

3.如图矩形ABCD中,E是AB的中点，将矩形沿DE折叠.若点A的对应点P落在对角线AC上，则空的值为

（第3题图）（第4题图）

4.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点,折痕为FG者BG=2cm