2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE7-2．2.2反证法[目标]1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思索过程，会用反证法证明数学问题．[重点]反证法的逻辑思维过程与逻辑思维方法．[难点]利用反证法解决有关问题．学问点反证法[填一填]1．反证法是间接证明的一种基本方法．2．一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这种证明方法叫做反证法．3．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是与已知条件冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突等．[答一答]1．在证明命题“若p则q”的过程中，虽然否定了结论q，但在证明过程中，没有把“綈q”当作条件利用，也推出了冲突或证得了结论，这种证明是反证法吗？提示：不是，反证法是在假设原结论不成立的条件下推出冲突的，也就是说，之所以推出了冲突，就是因为我们假设了原结论不成立，故在用反证法时，必需把结论的否定作为条件运用，否则，就不是反证法．2．用反证法证明命题“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”时，假设的内容应是什么？提示：应假设eq\r(3,a)≤eq\r(3,b).类型一用反证法证明否定性命题【例1】已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．【思路分析】由题目可获得以下主要信息：①a、b、c三个正数成等比数列，但不成等差数列．②求证eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．不成的反面是“能成”．解答本题可选用反证法，关键是利用等差、等比中项．【证明】假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．1.结论中含有“不”、“不是”、“不行能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较详细，适于应用反证法.2.反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于确定”，其中：第一个否定是指“否定结论假设”；其次个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1，且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法1：假设存在x0<0(x0≠－1)，满意f(x0)＝0，则ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1.即eq\f(1,2)<x0<2，与假设x0<0冲突，故方程f(x0)＝0没有负数根．证法2：假设存在x0<0(x0≠－1)，满意f(x0)＝0.①若－1<x0<0，则eq\f(x0－2,x0＋1)<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1与f(x0)＝0冲突．②若x0<－1，则eq\f(x0－2,x0＋1)>0，ax0>0，∴f(x)>0与f(x0)＝0冲突．故方程f(x)＝0没有负数根．类型二用反证法证明唯一性命题【例2】已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．【思路分析】eq\x(\a\al(分析点A和平,面α的位置关系))—eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(→\x(\a\al(用反证法证明点在,平面α内命题成立))—,→\x(\a\al(用反证法证明点在,平面α外命题成立))—))→eq\x(命题成立)【证明】依据点A和平面α的位置关系，分两种状况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相冲突．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相冲突．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“有且只有一个”的问题，须要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出冲突，所以用反证法证其唯一性就较简洁明白.已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．证明：如图，∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相冲突．因此，过a、b、m有且只有一个平面．类型三用反证法证明“至多”、“至少”型命题【例3】用反证法证明：假如函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)【证明】假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清晰结论的否定是什么，以免出现错误.还应细致体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：eq\f(1＋x,y)<2与eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．证明：假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，则有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同时成立．∵x>0且y>0，∴1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，∴x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相冲突，∴eq\f(1＋x,y)<2与eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．反证法未用到结论的反设致误【例4】已知实数p满意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．【错解】假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)，而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)．∵－2<p<－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)<p2<4，∴Δ<0，即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【正解】假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得p≥2或p≤－2①，而由已知实数p满意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)②.数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．设{an}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．证明：假设{an＋1}是等比数列，则对随意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aeq\o\al(2,1)q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知冲突．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．1．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件运用(C)①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．实数a、b、c不全为0的条件为(D)A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为03．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(C)A．确定是异面直线 B．确定是相交直线C．不行能是平行直线 D．不行能是相交直线解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面冲突，故c与b不行能是平行直线．4．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分：假设∠BAP＝∠CAP和∠BAP>∠CAP两类．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.5．已知：非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不行能成等差数列．证明：假设eq\f(1,a)，eq\f(1,b