2024年中考数学二轮复习练习：特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

A级夯实基础A.20cmB.20v2cm

1.2023•邢台三中摸底如图，在四边形ABCD中，给

C.20vz3cmD.20V6cm

出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩

形，则添加的数据是（）

A.CD=4B.CD=2

C.0D=2D.0D=4

5.易错2023•张家口二模菱形ABCD的面积是2

VT，边AB=2.下列关于其对角线BD的描述正确

的是（）

2.2023•深圳如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,A.BDVT

BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线

B.BD=2

段EF（EF在CD左侧），若四边形ECDF为菱形时，

C.2WBDW2A/^

则a的值为（）

D.BD=2或BD=2\行

A.1B.2C.3D.4

3.重点2023•石家庄四区联考二如图，在平行四边6.2023•衡水二模如图，点P是正方形ABCD的边

形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,E,F分别是BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM并

OB,0D的中点，依次连接点A,E,C,F,A,当四边延长交BA的延长线于点Q,交AD于点G,取PQ的

形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有中点N,连接AN.若AQ=PC,有下面两个结论:①DM=DG,

（）②AN_LBD,则这两个结论中正确的是（）

A.①对B.②对

C.①②都对D.①②都不对

7.难点人八下P68,T13拓展如图，在四边形ABCD

中，ZA=ZB=90°,AD=8cm,BC=6cm,点P从点D

（第3题图）

出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同

A.4条B.5条

时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点

C.6条D.7条

到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动

4.2023,唐山路北区模拟小明用四根长度相同的木

时间为t（单位：s）,下列结论正确的是（）

条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成

A.当t=3s时，四边形ABMP为矩形

为图1所示，并测得NABC=60°,接着活动学具成为

B.当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形

图2所示，并测得/ABC=90°,若图2对角线

C.当CD=PM时，t=3s

BD=40cm,则图1对角线BD的长为（）

D.当CD=PM时，t=3s或5s（1）求证：四边形AECF是菱形;

(2)若NABC=60°,AABE的面积等于4^^,求

平行线AB与DC间的距离.

8.2023•福建如图，在菱形ABCD中，AB=10,BEC

（第11题图）

ZB=60°,贝IAC的长为.

B级能力提高

12.2023•廊坊广阳区二模一个四边形顺次添加下列

条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相

等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一

（第8题图）（第9题图）个角是直角；顺次添加的条件：①a-c-d,②b-d-

9.2023•邯郸育华中学四模如图，在矩形ABCD中，c,③afb—c,则正确的是（）

AB=12,AD=6,点E,F均在边CD上，且DF=CE,EF

=6,则tan/AED的值为.

10.2023•北京如图，在荀ABCD中，点E,F分别

在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（第12题图）（第13题图）

（2）若AE=BE,AB=2,tanZACB=y,求BC的长.

13.2023•廊坊模拟问题：如图，正方形ABCD中,

边长AB等于10,点P为对角线AC上一点（不与A,

C重合）.当4BCP为等腰三角形时，求AP的值.嘉

嘉：当点P为AC中点时，4BCP为等腰三角形，AP=

（第10题图）；淇淇：当CP=BC=10时,Z\BCP是等腰三角

形，AP=IOVTTO.则（）

A.嘉嘉的结论正确

B.淇淇的结论正确

C.嘉嘉、淇淇的结论合起来正确

11.2023•云南如图，平行四边形ABCD中，AE,CF

D.嘉嘉、淇淇的结论合起来也不正确，还有一种情

分另U是ZBAD,ZBCD的平分线，且E,F分别在

况

边BC,AD上，AE=AF.

14.2023•保定一模如图，在平行四边形ABCD中,

AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是对角线BD上的动点，并与射线AD交于点H,且/APH=30°,点A的对应

且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四点为A',设AH=t.

种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数(1)如图1,当点A，落在CD上时，求/A，HD的

个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；大小及t的值；

④存在无数个正方形MENF.(2)如图2,若折叠后重合部分为四边形，AzH,A/

其中正确的个数是()P分别与边CD相交于点E,F,试用含有t的式子

A.1B.2C.3D.4表示A，E的长，并直接写出t的取值范围；

(3)随着t的变化，折叠后重合部分的面

积能否在某个t值段保持不变，若能，直

接写出这个值段的长；若不能，请说明

理由.

(第14题图)

15.2023•陕西点E是菱形ABCD的对称中心，Z

B=56°,连接AE,则/BAE的度数为.

16.易错2023•河南矩形ABCD中，M为对角线BD

图1图2

的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以点D,

(第18题图)

M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为

C级核心素养探究

19.推理能力2023•廊坊广阳区二模探索与发现：

17.重点2023•邢台三中摸底已知，如图，在4ABC

小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，

中，ZABC=90°,BD是4ABC的中线，F是BD的中

进行如下操作：如图，在边长为6的正方形ABCD的

点，连接CF并延长到点E,使FE=CF,连接BE,AE.

AB边上取定点E,使AE=2,在AD边上设置动点P,

(1)求证：△CDF0ZiEBF；

连接PE,以PE为边在AB的上方作正方形PEFG,

(2)求证：四边形AEBD是菱形；

连接AF,BF.

(3)若BC=8,BE=5,求BG的长.

(1)小张同学通过观察发现图中NAPE=/FEB,请给

出证明；

(2)探索过程中发现，在点P的运动过程中，△AFB

的面积是个定值，请证明并求出这个定值；

(3)进一步探索后发现，随着点P的运动，4AFB的

18.2023•张家口桥西区三模如图，矩形纸片ABCD

周长会随着点P位置的变化而变化，但存在一个最小

中，AB=6,BC=3,点P在边AB上(点P不与点A,

值，请你求出4AFB周长的最小值.

B重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,

/.BD=20B=20cm.

5.D提示：如图，当BD为较长边时，连接AC,

交BD于点0,过点A作APLBC于点P,V四边形

ABCD是菱形,AAC±BD,AO=C0,BO=D0,

AB=BC=2,•/菱形的面积为2\，亨，

（第19题图）

ABC•AP=2A/3-,

•••AP-VT，•,•BP-VAB2-AF=b

.\PC=1,；.BP=PC,

特殊的平行四边形又VAP±BC,；.AB=AC=2=BC,

A级夯实基础.二△ABC是等边三角形，.,.ZBAC=60°=ZABC,

1.D2,B/.ZAB0=30",.\A0=l,B0=VT,

3.B提示：:四边形ABCD是平行四

.•.BD=2Vy＞当BD为较短边时，同理可得BD=2.

边形，对角线AC,BD交于点0,/.0B=0D,

VE,F分别是OB,0D的中点，

.•.0E=BE=^~0B,0F=DF=y0D,

.-.0E=0F=DF=BE,:四边形AECF是矩形，

.•.0A=0C=^-AC,0E=0F=；-EF,AC=EF,

6.B提示：如图，延长AN交BD于点H,在AB上

.•.0A=0C=0E=0F=DF=BE,取点K,使AK=AQ,连接PK,四边形ABCD是正

•••与线段BE相等的线段有5条.方形，；.AB=BC,ZCBA=90°,ZDBA=45°,VAQ=PC,

4.D提示：：AB=BC=CD=DA,AK=AQ,.\PC=AK,.\AB-AK=BC-PC,即BK=PB,

四边形ABCD是菱形，当NABC=90°时，四边形AABPK是等腰直角三角形，；.NBKP=45°,

ABCD是正方形，题图2中，ZA=90°,VN是PQ中点，AQ=AK,/.AN是△QPK的中位线，

.•.AB2+AD2=BD2,/.AB=AD=BD=20cm,；.AN〃PK,ZNAK=ZPKB=45°,

ZAHB=180°-ZNAK-ZDBA=180°-45°-45°=90°,

在题图1中，连接AC,交BD于点0,

AANIBD,故②正确；VZDGM=ZAGQ=90°-ZQ,

VZABC=60°,四边形ABCD是菱形，

ZDMG=90°-ZHNM=90°-ZANQ,而NQ与/ANQ不一

.\AC±BD,0B=0D,0A=0C,

定相等，ZDGM与/DMG不一定相等，

ZAB0=30°,.,.0A=yAB=10V2-cm,

ADM与DG不一定相等，故①错误.

0B=V/3-0A=10VK-cm,

10.解：（1）证明：：四边形ABCD是平行四边形,

/.AD=BC,AD/7BC,VBE=DF,/.AD-DF=BC-BE,

即AF=EC,四边形AECF是平行四边形，

：AC=EF,.•.平行四边形AECF是矩形；

7.D提示：根据题意，可得DP=tcm,

（2）V四边形AECF是矩形，；./AEC=NAEB=90°,

BM=tcm,'/AD=8cm,BC=6cm,

VAE=BE,AB=2,.,.△ABE是等腰直角三角形，

/.AP=(8-t)cm,CM=(6-t)cm,

...AE=BE=V2AB=VT，VtanZACB=41-=^-,

VZA+ZB=180",；.AD〃BC,2EC2

当四边形ABMP为矩形时，AP=BM,即8-t=t,.\EC=2AE=2VT，

解得t=4,故A选项不符合题意；/.BC=BE+EC=\/2-+2V2-,

当四边形CDPM为平行四边形时，即BC的长为3VT.

DP=CM,即t=6-t,解得t=3,11.解：（1）证明：：四边形ABCD是平行四边形,

故B选项不符合题意；ZBAD=ZBCD,AD〃BC,

当CD=PM时，分两种情况：VAE,CF分别是/BAD,ZBCD的平分线,

①四边形是平行四边形，

CDPMZBAE=ZDAE=yZBAD,

此时CM=PD,即6-t=t,解得t=3,

ZBCF=ZDCF='-ZBCD,/.ZDAE=ZBCF,

②四边形CDPM是等腰梯形，

：AD〃BC,ZDAE=ZAEB,

如图，过点M作MGXAD于点G,过点C作CHXAD

/.ZBCF=ZAEB,；.AE〃FC,

于点H,则NMGP=/CHD=90°,VPM=CD,GM=HC,

/.四边形AECF是平行四边形，

.'.RtAMGP^RtACHD(HL),.\GP=HD,

/.四边形是菱形；

t—(6—t)VAE=AF,AECF

AG=AP+GP=8~t+,

2（2）如图，连接AC,

又：BM=t,/.8-t+=t,,/四边形ABCD是平行四边形，

解得t=5,综上，当CD=PM时，t=3s或5s,；.AD〃BC,.*.ZDAE=ZAEB,

故C选项不符合题意，D选项符合题意.VAE平分/BAD,ZBAE=ZDAE,

ZBAE=ZAEB,/.AB=EB,

VZABC=60",AABE是等边三角形，

ZBAE=ZAEB=ZABE=60°,

,/AABE的面积等于4V3",

2

9.彳提不：:四边形ABCD是矩形，

AABMVT.；.AB=4,

・・・DC=AB=12,VDF=CE,EF=6,

即AB=AE=EB=4,由（1）知四边形AECF是菱形，

.•.DF=CE=3,；.DE=9,：.tanZP£D=-=7T=^--

,

DE93.•.AE=CE=4,..ZEAC=ZECA,

•/ZAEB是AAEC的一个外角，:点E,F是BD上的动点，存在无数个平行四

AZAEB=ZEAC+ZECA=60°,AZEAC=ZECA=30°,边形MENF,故①正确；只要MN=EF,0M=0N,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,即AC±AB,则四边形MENF就是矩形，

由勾股定理得^=y/BC--AB-=,/点E,F是BD上的动点，存在无数个矩形

MENF,故②正确；只要MN±EF,0M=0N,

V（4+4）2-42=4T,即平行线AB与DC间的距

则四边形MENF就是菱形，：点E,F是BD上的动

离是4VT.点，，存在无数个菱形MENF,故③正确；

只有MN=EF,MN±EF,0M=0N,

四边形MENF才是正方形，

故符合要求的正方形只有一个，故

④错误.

B级能力提高

12.A提示：①添加两组对边分别相等得出是平行

四边形，再添加一组邻边相等得出是菱形，最后添加

一个角是直角得出是正方形，说法正确；②添加一组

15.62°

对边平行且相等得出是平行四边形，再添加一个角是

16.2或1+\/~2提示：以点D,M,N为顶点的

直角得出是矩形，最后添加一组邻边相等得出是正方

三角形是直角三角形时，分两种情况：

形，说法正确；③添加两组对边分别相等得出平行四

①如图1,当NMND=90°时，贝！|MNXAD,

边形，添加一组对边平行且相等还是平行四边形，添

四边形ABCD是矩形，

加一组邻边相等得出是菱形，说法错误.

AZA=90°,；.MN〃AB,

13.C提示：(1)当点P为AC中点时，4BCP为

VM为对角线BD的中点，

等腰三角形，并且/BPC=90°,BP=CP=AP=3AC=：X

AMN为4ABD的中位线，

VTX10=5VT；.\AN=DN,VAN=AB=1,.,.AD=2AN=2；

(2)当CP=BC=10时，ABCP是等腰三角形，

AP=AC-CP=A/2-X10-10=10^/2--10；

(3)当BC=BP=10时，点P与点A重合，与题意矛

盾，故这种情况不成立.

14.C提示：如图，连接AC,MN,AC与BD相交于如图2,当/NMD=90°时，贝!]MN±BD,VM为对角线

点0,令MN过点0,则有0M=0N,1."四边形ABCD是BD的中点，；.BM=DM,；.MN垂直平分BD,连接BN,

平行四边形，/.0A=0C,0B=0D,；.BN=DN,VZA=90°,AB=AN=1,

VBE=DF,.\0E=0F,四边形MENF是平行四边形，.\BN=V2-AB=VF-

・・・AD=AN+DN=1+VT，(2)如题图2中，当2ct<3时，重叠部分是四边

形.VAH=A,H=t,.\DH=3-t,EH=2DH=6-2t,

综上所述，AD的长为2或1+y/T.

.♦.A'E=A'H-EH=t-(6-2t)=3t-6；

(3)能，2'/y-3.提示：如图1,当点H与点

D重合时，此时t=3,

VZAZ=90°,ZAPH=ZHPG=30°,BA/7DC,

/.ZGDP=ZAPH=ZHPG=30°,ADG=PG.：ZADP=

17.解：(1)证明：是BD的中点,

/A'HP=60°,.../A'DG=30°,又VA,H=3,

，FD=FB,在4CDF和ZiEBF中，

HG=2.SADCP=yXDGXBC=yX

FD=FB,

2VTX3=3"y.

ADFC=ABFE,

FC=FE,

.,.△CDF^AEBF(SAS)；

⑵证明：VACDF^AEBF,.*.CD=EB,ZFCD=ZFEB,

.'.CD/ZEB,VZABC=90°,BD是Z\ABC的中线，

；.AD=CD,；.AD〃EB,AD=EB,四边形AEBD是平行

四边形，：BD=：AC=AD,...四边形AEBD是菱形；如图2,当点P与点B重合时，

ZAPH=ZA/PH=30°,.,.ZCBG=30°,

(3)VAD=BE=5,.,.AC=2AD=10,

又VBC=3,.*.CG=A/3-,BG=2V^",

VZABC=90°,BC=8,

22VCD/7BC,AZGEP=ZEPA=30°,

•••AB'AO—BC2=V10-8=6，

.,.ZGEP=ZGPE=30°,

BE/7AC,ABGEsAAGC,

,"

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