2024年中考数学试题分类汇编：特殊的平行四边形（45题）（解析版）

专题21特殊的平行四边形（45题）

一、单选题

1.（2024•重庆・中考真题）如图，在矩形ABC。中，分别以点A和C为圆心，AQ长为半径画弧，两弧有且

仅有一个公共点.若A£>=4,则图中阴影部分的面积为（）

B.16A/3-4TI

C.32-4兀D.1673-871

【答案】D

【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识.根据题意可得AC=2">=8,由勾股定理得出

AB=m用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论.

【详解】解：连接AC,

根据题意可得AC=2AD=8,

;矩形ABC。，AAD=BC=4,ZABC=90°,

在RtAABC中，AB=^AC2-BC2=473-

图中阴影部分的面积=4x46一2X%*=16百-8%.

360

故选：D.

2.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，。是坐标原点，菱形A30C的顶点5在x轴的负半轴上，顶点C的坐

标为（3,4）,则顶点A的坐标为（）

A.(-4,2)B.卜\Z^,4)C.(-2,4)D,4,-\/3j

【答案】C

【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形.结合菱形的性质求出

AC=OC=5是解题关键.由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5,从而可求出AD=2,

即得出顶点A的坐标为(-2,4).

【详解】解:如图,

•••点C的坐标为(3,4),

**-OC=V32+42=5-

•..四边形ABOC为菱形，

AC=OC=5,

AD=AC-CD=AC—%=5—3=2,

顶点A的坐标为(-2,4).

故选C.

3.(2024•湖北武汉•中考真题)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画ZM4N；②以点A为圆心，1个

单位长为半径画弧，分别交A",AN于点8,。；③分别以点B,O为圆心，1个单位长为半径画弧，两

弧交于点C；④连接BC,CD,BD.若NA=44。，则NC即的大小是()

【答案】C

【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的

性质，即可求解.

【详解】解：作图可得AB=AD=3C=DC

，四边形ABCD是菱形，

ADBC,ZABD=ZCBD

VZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBZ9=1（180°-ZMBC）=|（180°-44°）=68°,

故选：C.

4.（2024・四川成都・中考真题）如图，在矩形A3CD中，对角线AC与5。相交于点。，则下列结论一定正

确的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，

AAB=CD,AC=BD,AD//BC,则ZACB-ZMC,

选项A中AB=AD不一定正确，故不符合题意；

选项B中AC_Z.不一定正确，故不符合题意；

选项C中AC=3D一定正确，故符合题意；

选项D中/4cB=/4CD不一定正确，故不符合题意，

故选：C.

5.（2024.黑龙江绥化.中考真题）如图，四边形ABQ）是菱形，CD=5,BD=8,AE_L5c于点E,则AE

的长是（）

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得0C,进而得出AC=6,进而根据等面积

法，即可求解.

【详解】解：：四边形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

/.DO=-BD=4,AC1BD,BC=CD=5,

2

在RtACDO中，CO=NDC。-DO。=3,

：.AC=2.OC=6,

:菱形A5CD的面积为工ACx2。=BCxAE,

2

故选：A.

6.(2024.河北・中考真题)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征

值”.如图，矩形ABC。位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的

是()

A口[----------'B

x

A.点AB.点8C.点CD.点。

【答案】B

【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设4(。,。)，AB=m,AD^n,

可得。(a,b+〃)，B(a+m,b),C(a+m,b+n),再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案.

【详解】解：设A(a,6),AB=m,AD=n,

••,矢巨形ABC。，

AD=BC=n,AB=CD=m,

AD^b+ri),+,C(tz+m,Z?+n),

bbb+n.bb+n

・----<-<----,而-----<-----,

a+maaa+ma+m

・,・该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；

故选：B.

7.（2024.吉林・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以04OC

为边作矩形。1BC,若将矩形Q4BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C,则点？的坐标为（）

抄

B「

A.（T-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋转的性质可得。V=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,据此可得答案.

【详解】解：,••点A的坐标为（T,0）,点C的坐标为（0,2）,

AOA=4,OC=2,

•..四边形。1BC是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:将矩形。"C绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C',

OA'=OA=4,ArB'=AB=2,ZOA'B'=90°,

ABUy轴，

.••点4的坐标为（2,4）,

故选：C.

8.（2024•甘肃.中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,80相交于点。，ZABD=60°,AB=2,

【答案】C

【分析】根据矩形ABC。的性质，^OA=OB=OC=OD=^AC,结合NASD=60。，得到AO3是等边三

角形，结合AB=2,得到。4=OB=A8=gAC,解得即可.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【详解】根据矩形A5CD的性质，nOA=OB=OC=OD=^AC,

'：ZABD=60°,

11Ao3是等边三角形，

,/AB=2,

OA=OB=AB=—AC=2,

2

解得AC=4.

故选C.

9.（2024.四川眉山・中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在。C上，jCVADE^AE

折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，贝UcosNCE产的值为（）

A.立B.立C.-D,-

4344

【答案】A

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性

质是解题的关键.

根据折叠的性质，可求得AF=AD=8,EF=DE,从而求得所，CF,在RtAEFC中，由勾股定理，得

EF2=CE2+CF2,即可求得结果.

【详解】解：「四边形A3CZ）是矩形，

,-.AD=BC=8,DC=AB=6,

把VADE沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，

；.AF=AD=8,EF=DE,

BF=y/AF2-AB2=V82-62=2不，

:.CF=BC-BF=8-2币，

在RtZXEFC中,

CE=DC-DE=6-EF,

由勾股定理，^EF2=CE2+CF2,

.-.£F2=（6-EF）2+（8-2-/7

532-877

..EF=-----------,

3

,32-877_8A/7-14

33

8A/7-14

.,cosZCEF=^=^Z=^；

EF32-8V74

3

故选：A.

10.（2024・甘肃・中考真题）如图1,动点尸从菱形ABCD的点A出发，沿边ABf3C匀速运动，运动到点

C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为与x的函数图象如图2所示，当点尸运动到BC中点时，

PO的长为（）

【答案】C

【分析】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=A,当点尸运动到点8时，PO=30=2,根据菱形的性

质，得/AOB=NBOC=90。，继而得到AB=BC=4ON+OB—2行,当点尸运动到8c中点时，尸O的

长为解得即可.

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理,

直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4,

当点P运动到点B时，PO=BO=2,

根据菱形的性质，得ZAOB=NBOC=90。,

故ABUBCUJOA+OB?=26，

当点P运动到8C中点时，尸。的长为［BC=J^,

2

故选c.

n.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图1,矩形ABCD中，网）为其对角线，一动点尸从。出发，沿着DfBfC

的路径行进，过点P作尸Q，8,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与x的函数图象

如图2,则AQ的长为

图1

A,坦

B.D

334-T

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定8的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【详解】解：由图象得：CD=2,当BD+3尸=4时，PQ=CD=2,此时点P在边上,

设此时=则3/)=4—a,AD-BC—2+a,

在RtBCD中，BD--BC2CD1,

即：(”小(4+2)2=2"

2

解得：

Q

AD=a+2=—

3

故选：B.

12.（2024・广西・中考真题）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,X分别为各边中点，连接AG,BH,

CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（

A.1B.2C.5D.10

【答案】c

【分析】先证明四边形MNP。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出22=P。，AM=QM,证

明,ADG乌54”(SAS)得出ZZMG=ZABH,则可得出NQMN=ZAMB=90。，同理NAQ£>=90。，得出平行

四边形MNP。是矩形，证明ADQ^fiW(AAS),得出。2=4M,进而得出DQ=AM=PQ=QM,得出

矩形MNPQ是正方形，在Rt^A。。中，利用勾股定理求出QU=S,然后利用正方形的面积公式求解即可.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

,:E,F,G,H分别为各边中点，

/.CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

DG=CG=AE,

...四边形AECG是平行四边形,

：.AG//CE,

同理。尸BH,

.•.四边形跖VP。是平行四边形，

AG//CE,

.DQ=DG

PQ~CG~，

DQ=PQ,

同理AW=QM,

VDG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

：.ADG^BAH(SAS),

ZDAG=ZABH,

ZDAG+ZGAB=90°,

ZABH+ZGAB=90°,

：.ZQMN=ZAMB=90°,同理NAQ£)=90°,

平行四边形MNP。是矩形，

VZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

：.ADQ^BAM(AAS),

：.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

：.DQ=AM^PQ=QM,

矩形MNP。是正方形,

在RtZ\AOQ中，AD2=DQ2+AQ2,

：.=QM-+（2QM^,

：.QM2=5,

正方形"NPQ的面积为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知

识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

13.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与相交于点0.E

是3C边上一点，尸是3。上一点，连接£>£防.若与，DEC关于直线DE对称，则△3EF的周长

是（）

A.2>/2B.2+>/2C.4-20D.0

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是

解题的关键.根据正方形的性质可求出8。=20，根据轴对称的性质可得小=DC=2,

ZDFE=ZBCD=90°则BF=BD-DF=26-2，再求出政=3F=20-2，BE=y/2BF=4-2y/2，即

可求出答案.

【详解】解：正方形A3CD的边长为2,

/.BC=DC=2,ZBCD=90°,DO=-BD,NCBD=45°,

2

BD=^BC~+DC-=2V2，

J）EF与DEC关于直线DE对称，

DF=DC=2,ZDFE=ZBCD=90°,

:.BF=BD-DF=2&-2,/BFE=90°,

：.ZFBE=ZFEB=45°,

EF=BF=2垃-2,

3"=危尸=拒（20—2）=4-2夜，

ABEF的周长是BE+政+2尸=4-20+20-2+20-2=20，

故选：A.

14.（2024・上海・中考真题）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线8。的垂线，过5、。作对角线AC的垂

线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题

的关键.由矩形性质得到S.BC=SOA。，OC=O3=Q4=OD,进而由等面积法确定===

再由菱形的判定即可得到答案.

【详解】解：如图所示：

四边形ABCD为矩形,

=

SOBCS0AD,OC=OB=OA=OD,

过A、C作对角线BD的垂线，过8、。作对角线AC的垂线，

：・S丽=SCAD=-OCBF=-OBCH=-ODAE=-OADG

C»DCUAL）2222

CH=BF=AE=DG,

如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，

故选：A.

15.（2024・四川德阳•中考真题）宽与长的比是更二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感,

2

世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩

形.（AB<8C）,点尸是边AD上一点，则满足PBLPC的点尸的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一

元二次方程解的情况是解题的关键.设=BC=b,假设存在点P,且AP=x,则尸D=>-x,利用

勾股定理得到BP2=AB-+AP-=a2+x2,PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,BC2=BP'+PC2,可得到方程

x2-bx+a2=0,结合四=0=心二1,然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解.

BCb2

【详解】解：如图所示，四边形A3CD是黄金矩形，AB<BC,四=由二1,

BC2

^AB=a,BC=b,假设存在点P,S.AP=x,则尸D=6—x,

在RtA3尸中，BP2^AB2+AP2^a2+x2,

在RtPDC中，PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,

PBLPC,

BC2=BP2+PC2,HPb1=cr+X1+QJ-X)1+a2,

整理得*—Zw+a?=0，

A=Z>2-4ac=b2-4a2>=—=—~~-,a=—―-b,

BCb22

2(A/5-1)22r2

A=b2-4ac=b2-4a2=b2-4~。=(275-5)b2,

4

275-5<0,Z?2>0,

A=Z>2-4a2=(2A/5-5)Z>2<0,

方程无解，即点P不存在.

故选：D.

16.(2024.四川泸州・中考真题)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,尸分别是边AB,5c上的动

点，且满足AE=3/，"与DE交于点。，点M是。尸的中点，G是边A3上的点，AG=2G3,则OM+：FG

2

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，

先证明ADE空.A4F（SAS）得到=进而得到4X方=90。，则由直角三角形的性质可得

0M=g。/，如图所示，在A3延长线上截取=BG,连接五”，易证明FBGm.FBH（SAS）,则FH=FG,

可得当H、D、E三点共线时，。厂+班'有最小值，即此时OM+；PG有最小值，最小值即为£归的长的

一半，求出A"=8,在RtAD”中，由勾股定理得DH=办b+AH。=10，责任OM+g/G的最小值为

5.

【详解】解：：四边形A3CD是正方形，

AD=AB,/DAB=ZABC=90°,

又：AE=BF,

空BAF（SAS）,

/.ZADE=ZBAF,

NDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+ZDAO=ZDAB=90°,

•点M是DF的中点，

：.OM=-DF-

2

如图所示，在AB延长线上截取3=BG,连接FH,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

，一FBGm二FBH(SAS),

：,FH=FG,

：.OM+-FG=-DF+-HF=-(DF+HF},

2222、)

...当X、D、尸三点共线时，止+〃F有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一

半，

VAG^2GB,AB=6,

BH=BG=2,

：.AH=8,

在RtADH中，由勾股定理得DH=VAD2+AH2=10>

的最小值为5,

故选：B.

17.(2024.重庆•中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是3c上一点，点尸是8延长线上

一点，连接AE,AF,4〃平分NE4尸.交。于点若BE=DF=1,则DM的长度为()

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到

NABE=NADC=NADF=NC=90。,AB=AD=CD=BC=4,再证明"BE丝△ADP(SAS)得到

AE=AF,进一步证明△AEMgAAMIl(SAS)得到=设=贝|

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x,

在RtaCEM中，由勾股定理得(X+1)2=32+(4-X『，解方程即可得到答案.

【详解】解：：四边形A3CD是正方形，

ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又：BE=DF=1,

AABE^AADF(SAS),

/.AE=AF,

,：AM平分NE4/L

ZEAM=ZFAM,

X'-AM=AM,

：.AAEM/AAFM(SAS),

EM=FM,

设£>M=x,则£M=fM=£>b+£>A/=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtACEM中，由勾股定理得EM2=CE2+CM2,

：.(X+1)2=32+(4-X)\

解得％=?12，

r)M=y,

故选：D.

二、填空题

18.（2024.福建・中考真题）如图，正方形ABCO的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,

AD的中点，则四边形EFGH的面积为.

【答案】2

【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到m=OG=1,

进而得到S°GR，同理可得SMEMSEFBUSCGFU），最后利用四边形£FGH的面积=正方形ABCD的面积

T个小三角形面积求解，即可解题.

【详解】解：.•正方形ABCD的面积为4,

：.AB=BC=CD=AD=2,ID90?,

点、E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，

：.HD=DG=1,

sDGH=—^1x1=—,

同理可得S.E=S.EFB=SCGF=5，

四边形EFGH的面积为4_g_（_!_!=2.

2222

故答案为：2.

19.（2024・山东威海•中考真题）将一张矩形纸片（四边形ABC。）按如图所示的方式对折，使点C落在

上的点C处，折痕为MN,点。落在点。处，C力交AD于点£.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则

DN=.

【答案】|3

【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出

C'M=CM=5,然后证明3cM&AEC',得到8C'=AE=4,W=C'E=5,即可得到DE=4,UE=2,

然后在RtzM)aV中，利用NE2=+£)32解题即可.

【详解】解：在RtC⑸0中,CM=1cB2+BAf2="+3。=5，

由折叠可得CM=CM=5,NDCM=ZD,=ZD=ZC=90°,

又：ABCD是矩形，

ZA=ZB=90°,

ZBC'M+ZAC'E=ZAEC+ZAC'E=90°,

ZBC'M=ZAEC,

又；AC'=5Af=3,

.BC'M^AEC,

3C'=AE=4,MC'=C'E=5,

：.AB=CD=C'D'=1,BC=AD=BM+CM=3+5=8,

：.DE=AD-AE=8-4=4,O'E=C'。'—C'E=7—5=2,

设DN=DN=a,贝i]E/V=4—a,

在RtADW中，NE1=D'E2+D'N1,即(4-a)2=a2+22,

3

解得：«=

3

故答案为

20.（2024•河南・中考真题）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边A3在无轴上，点A的坐标为（-2,0）,

点E在边CO上.将一BCE沿8E折叠，点C落在点尸处.若点尸的坐标为（0,6），则点E的坐标为.

【答案】（3,10）

【分析】设正方形ABCD的边长为a,CO与y轴相交于G,先判断四边形AOGD是矩形，得出OG=AD=a,

DG^AO,NEG厂=90。，根据折叠的性质得出族=BC=a,CE=FE,在Rt^BOb中，利用勾股定理

构建关于。的方程，求出a的值，在Rt或才中，利用勾股定理构建关于CE的方程，求出CE的值，即可

求解.

【详解】解：设正方形A3CD的边长为a,CO与y轴相交于G,

则四边形AOGD是矩形,

AOG=AD=a,DG=AO,ZEGF=90°,

;折叠,

:.BF=BC=a,CE=FE,

:点A的坐标为(—2,0)，点F的坐标为(0,6),

AO=2,FO=69

BO=AB—AO=a—2,

在RtZXBO尸中，BO2+FO2=BF2,

：.(a-2)2+62=a2,

解得a=10,

FG=OG-OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在RtEG尸中，GE2+FG2=EF2,

：.（8-CE）2+42=CE2,

解得CE=5,

:.GE=3,

；.点£的坐标为（3,10）,

故答案为：（3,10）.

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利

用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键.

21.（2024・广西・中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。，则

重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm.

【答案】873

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作A",5c于M,

AN1CD于N,由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN,即可

得到四边形ABC。是菱形，再解可得=2限m,即可求解，得出四边形ABCD是菱

sm60

形是解题的关键.

【详解】解：过点A作AM_L8C于A/,ANLCD于N,则N/WD=90。，

•••两张纸条的对边平行，

AB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

又•••两张纸条的宽度相等，

：.AM=AN,

*.*SABCD=BC-AM=CD-AN,

:.BC=CD,

四边形ABC。是菱形,

在RtZXADN中，ZADN=60°,AN=3cm,

2

.••四边形ABCD的周长为2有x4=873cm,

故答案为：8g.

22.(2024・天津.中考真题)如图，正方形A3CD的边长为3vL对角线AC,应＞相交于点。，点E在C4的

延长线上，OE=5,连接。E.

(1)线段AE的长为;

(2)若尸为OE的中点，则线段AF的长为

【答案】2叵己回

22

【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键;

(1)运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作辅助线，构造中位线求解即可.

【详解】（1）四边形ABCD是正方形,

:.OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°

.,.在RtOOC中，。犷+必“。?,

DC=3立,

OD=OC=OA=OB=3,

OE=5

AE=OE-OA=5-3=2；

（2）延长DA到点G,使AG=AD,连接石G

由E点向AG作垂线，垂足为〃

:尸为DE的中点，A为GD的中点，

"为△DGE的中位线，

在Rt△及田中，ZEAH=NDAC=45°,

:.AH=EH

AH2+EH2=AE2,

:.AH=EH=垃

:.GH=AG-AH=36-垃=2垃

在RtZ\E"G中，.1或^=EH2+G〃2=2+8=10,

.­.EG=410

题为△QGE的中位线,

..AF——EG-------;

22

故答案为：2；叵.

2

23.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=6,AC是一条对角线，E

是AC上一点，过点E作EF1,AB,垂足为P，连接OE.若CE=AF,则DE的长为

DC

【答案】2币

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过。作于X,

先判断ABC,ACD都是等边三角形，得出ZE4F=60。，AC=AB=6,AH=CH=^AC=3,利用含30。

的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE,进而求出CE,HE,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：过。作于人

AAB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°,

「ABC,ACD都是等边三角形，

/./EAF=60°,AC-AB-6,AH=CH=—AC=3,

2

•/EF±AB,

：.ZAEF=30°,

/.AE=2AF,

又CE=AF,

：.AE=2CE,

：.CE=2,

：.HE=CH-CE=1,

在RtACDH中，DH2=CD2-CH2=27,

DE=y/DH2+HE2=2A/7，

故答案为：2币.

24.（2024・广东・中考真题）如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点，点厂是BC上的动点.若ABEF

的面积为4,则图中阴影部分的面积为.

c

【答案】10

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出=6,

BF2BF

SABF=8,根据和菱形的面积求出3=；,除=2,则可求出。歹的面积，然后利用

BC3CF

S阴影=S菱形ABC。—SADE—SBEF~SCDF求解即可.

【详解】解：连接AF、BD,

:菱形ABCD的面积为24,点E是A3的中点，△班产的面积为4,

=

SADE=3S9=5X5S菱形ABCD=6，ABF2s.BEF=^,

设菱形ABC。中BC边上的高为h,

c-BFhLBF

则SABF=2,即8,2,

S菱形ABCDBC-h24BC

.BF_2

••一，

BC3

.上2,

CF

c-BF-hRF

•'ABF=2=丝_=2

CF

S.CDF-CF-h

2

•,^/\CDF=4,

S阴影=S菱形488-SADE—SBEF-SCDF=10,

故答案为：10.

25.（2024.浙江•中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,3。相交于点。，—线段A8与A0

BD3

关于过点。的直线/对称，点8的对应点在线段OC上，A0交。于点E,贝IB'CE与四边形OB'ED的

面积比为________

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上

知识点.

设AC=10a,BD=6a,首先根据菱形的性质得到Q4=OC=工AC=5。，02=OD=工2。=3。，连接AD,

22

OE,直线/交8c于点R交AD于点G,得到点A,D,。三点共线，AD=AO-OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC-OB'=2a,产"=*=*=£，然后证明出A'ED空CEB'（AAS）,得到AE=CE,然后证

SOEB.OB3a3、/

明出ODE空OB'E（SSS）,得到S“E=SOB，E，进而求解即可.

【详解】•••四边形ABCD是菱形，黑=：

DD3

设AC=10々，BD=6a

：.OA=OC=-AC=5a,OB=OD=-BD=3a

22

如图所示，连接A£）,OE,直线/交3C于点凡交AD于点G,

•・,线段AB与AE关于过点。的直线/对称，点8的对应点9在线段OC上,

ZBOF=ZCOF=-ZBOBr=45°,AO=AO=5a,OBr=OB=3a

2

：.ZAOG=ZDOG=45°

・・・点A,D,。三点共线

：.AD=AO-OD=2a,B,C=OC-OB,=2a

.SCEB'_B'C_2a_2

一s。「而一高一§

ULD

A!D=B'C

•；CD//AB

NCDO=ZABO

由对称可得，ZA'B'O=ZABO

：.ZAB'O^ZCDO

：.ZA'DE=NCB'E

又：ZAED=ZCEB'

组CE?（AAS）

NE=CE

'：AB'=AB=CD

/.DE=B'E

又,：OD=OB',OE=OB'

.ODE沿，OB'E（SSS）

•••c°ODE=~q0OB'E

,SCEB，_SCEB'_2=2=1

S四边形o&E£）S0EB'+SODE3+363

故答案为：;.

26.（2024•黑龙江绥化・中考真题）在矩形ABC。中，AB=4cm,5C=8cm,点E在直线AD上，且。£=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.

【答案】型或述或26

55

【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设AC8。交于点。，点用在线段相（上，旦在相）的

延长线上，过点昂苞作AC,的垂线，垂足分别为耳耳，鸟，进而分别求得垂线段的长度，即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=8,

AD=BC=8,CD=AB=4,

**-AC=^AD2+CD2="2+8?=4A/5

o7/541

•*.sinZCA£>=—=^==—,cos/CW=3=£^,tan/CW=—二—

AC44554乖582

如图所示，设AC8。交于点。，点用在线段A。上，鱼在AD的延长线上，过点昂马作AC，8D的垂

线，垂足分别为耳9,玛

,/AO=DO

：.ZOAD=ZODA

当E在线段AD上时,

AEt=AD-DE=S-2=6

在RtAEE中，耳居=AE「sin/CAO=^x6=W

ZOAD^ZODA

在Rt中，丹玛=£>£；sin/E|Dg=2*（=芈；

当E在射线A£）上时，

21

在Rt。。当中，twZDCE2=-=-

：.ZCAD=ZDCE

：.ZDCE^ZDCA=90°

：.E2C1AC

・,・废==6+42=26,

在RtDE2F3中,E2F3=DE2xsinZE2DF3=DE2x^-=

综上所述，点E到对角线所在直线的距离为：当或述或2宕

55

故答案为：吟或处或2下.

55

三、解答题

27.（2024.陕西・中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点厂在边BC上，且BE=CF.求证：AF=DE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质.根据矩形的性质得到AB=CD,4=4=90。,

再推出利用SAS证明/丝△DCE,即可得到=

【详解】证明：：四边形A5CD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=9O°,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE,

：.ABF四&DCE（SAS）,

：.AF=DE.

28.（2024・吉林长春・中考真题）如图，在四边形A3CD中，ZA=ZB=9O°,。是边48的中点,

ZAOD^ZBOC.求证：四边形ABCD是矩形.

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题

关键.利用SAS可证明△49。丝ABOC,得出AO=3C,根据/4=々=90。得出4）〃2。，即可证明四

边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD是矩形.

【详解】证明：：。是边A3的中点，

OA=OB,

ZA=NB=90°

在△AOD和.3OC中，\OA=OB

ZAOD=ZBOC

：.△AOD^ABOC,

/.AD=BC,

ZA=ZB=90°,

AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

,/ZA=ZB=90°,

四边形ABC。是矩形.

29.(2024・青海•中考真题)综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状A

不相等、不垂直平行四边形

('

图1

如图1,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点.

求证：中点四边形EFG"是平行四边形.

证明：：E、F、G、”分别是43、BC、CD、D4的中点，

:.EF、G”分别是ABC和ACD的中位线，

：.EF=-AC,GH=-AC(①)

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

；•中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据①

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状火

不相等、不垂直平行四边形

AC=BD菱形

从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状1

£/

不相等、不垂直平行四边形/

Q1

8)D

L一

FJ

AC1BD②________

图3

(3)从作图、测量结果得出猜想H：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②.

(4)下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上，写出卮绫的证明过程.

【归纳总结】

(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③________④__________

结论：原四边形对角线③时，中点四边形是④

【答案】(1)①中位线定理

(2)证明见解析

(3)②矩形

(4)证明见解析

(5)补图见解析；③4。13。且47=3£＞；④正方形

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性

质等知识

(1)利用三角形中位线定理即可解决问题；

(2)根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

(3)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(4)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(5)根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

【详解】(1)①证明依据是：中位线定理；

(2)证明：；E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点,

/.EF、GH分别是，ABC和ACD的中位线，

AEF=-AC,GH=-AC

22

：・EF=GH.

同理可得：EH=FG.

'：AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

，中点四边形EFGH是菱形.

(3)②矩形;

故答案为：矩形

(4)证明：E、F、G、”分别是AB、BC、CD、D4的中点，

:.EF、G”分别是,ASC和ACD的中位线，

：.EF〃AC,GH//AC,

：.EF//GH.

同理可得：EH//FG.