2024年中考数学复习：平面直角坐标系与函数复习讲义

第二章平面直角坐标系与函数复习讲义

直角坐标系的引入是数学实现数与形的结合进行“量化”的基础.中考中的选择、填空的压轴题对它的考查，往

往通过基于平面直角坐标系的图形变换规律、函数解析式的确定、函数图象信息、特定函数的最值问题体现，一

般由“阅读”与“问题”两部分构成.它往往在“阅读”部分提供一个信息，内容多为再现一种图形变换（或操作），或一个

函数图象或过程，或给出一种新颖的解题方法等.解题时需先深入理解其内容、过程、方法和思想，把握其本质或

生成规律，再解答试题中提出的问题.解答这类问题的关键是明确题意，找出新图形变换或图象中变量的变化规

律，再确定相关特征量来解决问题.

函数图象中的信息读取题

解题策略阅读函数图象信息

基于函数图象提供问题情境的一类试题是中考选择或填空题中常见的压轴题，此类问题往往需要结合实际情

境、挖掘、探求关键图像信息.解题关键是理解函数图象中的变化关系.

解决这类问题一般可以采用以下策略：

1.弄清横坐标、纵坐标所表示的含义，包括实际意义、单位等，此类题目横坐标大多数与时间有关；

2.研究关键点的意义，关键点包括始终点、转折点、与坐标轴的交点；

3.图象的变化趋势，是上升还是下降，是直线还是曲线；

4.若在一个坐标系中有多个函数图象，交点所表示的含义是什么；

5.对于较复杂的问题必要时要求出每段函数图象的关系式进行求解.

精选例题

例l.A,B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速

行驶.甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减

少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地，甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x

（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有千米.

解析

观察函数图象，横轴表示时间，单位是小时，纵轴表示的是甲、乙两车相距的路程y（千米），而不是甲、乙车

距离出发地或终点的距离；与x的交点说明两车相遇.整个过程甲车始终正常行驶；A点表示甲车开始出发，15点

乙车开始出发；

线段①上升，两车距离越来越大，说明甲车行驶而乙车尚未出发，行驶时间是40分钟，（注意时间单位），可

求出甲车的速度，进而可求出全程行驶时间；

线段②下降说明两者的距离越来越短，乙车的速度大于甲车的速度，根据（|,30）、（2,10）可求出甲乙车的速度

差，进而求出乙车的速度，C点表示乙车追上甲车；

线段③说明乙车超过甲车，两者距离越来越大，到达点D发生转折，说明D点乙车发生故障，开始修车；

线段④⑤只有甲车行驶，点E说明甲车到达乙车发生故障的地点并开始超过乙车行驶；到达F点后发生转

折，说明乙车修好开始行驶，此时说明D、F间的时间间隔为20分钟，之后两者之间的距离越来越近；

线段⑥比线段②下降慢，甲车速度没变，乙车速度降低，最后共同到达终点G.

解由题意可得，

甲车的速度为：30+要=45千米/时，甲车从A地至!]B地用的时间为：240+45=5；（小时），

乙车刚开始的速度为：[45x2-10]+（2—|）=60千米/时,

乙车发生故障之后的速度为：60-10=50千米/时.

设乙车发生故障时，乙车已经行驶了a小时，

60a+50x（5i-----a）=240,

\36060）

解得，a=1.

，乙车修好时，甲车行驶的时间为：弓+（+曰=3小时.

OUJOUD

；・乙车修好时，甲车距B地还有：45x（5»?）=90千米，故答案为90.

精选练习

1.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示

快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系小欣同学结合图像得出如下结论：

①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④快车先到达目的地.其中正确的

是（）

2.如图，在四边形ABCD中MD||BC,ND=90。,AB=4,BC=6,ABAD=30。,动点P沿路径A—B—C—D从点A

出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作P”14D,垂足为点H,设点P运动的时间为x（单位：

s）,A4P”的面积为y,贝LIy关于x的函数图像大致是（）

3.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己

遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.

用，S]、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）

ABCD

精选例题

例2.在一条笔直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公7km

路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程隹;氐乙

中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.下列结\

论：①甲车出发2h时，两车相遇;②乙车出发1.5h时两车相距170km;③乙车出发21时，两车[]之心

相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km.其中正确的是_(填写所有正确结论的序号).

▲《解析

结合题目观察函数图象，横轴表示时间，纵轴表示甲、乙两车各自与C地的距离.所以甲乙图象的第一个交点

不是表示甲乙车相遇，而是此时两车到乙地距离相等；

A.分析甲车：初始时240km说明AC距离240km,甲车行驶4小时，可求出甲车速度为60km/h,2小时后可

求得甲车到C地还有120km;

B.分析乙车:开始1小时保持200km不变.说明B点距离C地200km,乙车尚未出发,3.5小时到达C地，行驶了

2.5小时，可求出乙车的速度为80km/h；3.5小时后乙车在CA段行驶.

C.3.5小时后的交点表示甲乙车再次距离C地的距离相等，同时也表示两车相遇.

①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度

=路程一时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程一速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结

论②正确；③根据时间=路程+速度和可求出乙车出发2,八时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲

到C地时，乙车离开C地0.5h,根据路程=速度x时间,即可得出结论④正确.综上即可得出结论.

解①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交.

地位于A、B两地之间，，交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；

②甲车的速度为240+4=60(/nn/m,,乙车的速度为200-(3.5-1)=80(km/h).,/(240+200-60-170)^(60+80)=1.5

(h),.•.乙车出发1.5h时，两车相距170km,结论②正确；

circled.(240+200-60)+(60+80)=22)一.•.乙车出发21时，两车相遇,结论③正确；

@v80X(4-3.5)=40(km),...甲车至I」达C地时，两车相距40km,结论④正确.

故答案为②③④.

精选练习

4.甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则

下列结论错误的是().

A.甲车的平均速度为60km/hB.乙车的平均速度为100km/h

C.乙车比甲车先到B城D.乙车比甲车先出发1h

件

4。。

J分

第4题图第5题图

5.某快递公司每天上午9:：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来缴收快件，乙仓库用来派发快件,

该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间X(分)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时,

此刻的时间为()

A.9:15B.9:20C.9:25D.9:30

函数图象的性质题

中考中考查函数的系数与函数图象的关系的题型一般有两种考查方式：

1.单独考查函数系数对函数图象的影响；

2.考查含有相同字母系数的两个不同函数的图象是否正确.

而这两种考查方式都是建立在对函数解析式中字母系数对函数图象的影响的充分理解和掌握的基础上的，所

以解答的关键还是在于对函数知识的掌握程度，如二次函数的系数符号与其图象的密切关系.同时，要善于用数形

结合的思想来思考问题.

解题策略一含有相同字母系数的两个函数图象的判断

解答该类型题目时一般有两种策略：分类讨论和逐项排除法.

1.分类讨论：即把函数图象中的相同的字母系数分为大于0、小于。两种情况，在同一个平面直角坐标系中分

别画出两种情况下函数的大致图象，然后与选项逐一验证即可；

2.逐项排除法：即对四个选项逐一验证进行排除，其基本方法是，先假定某一选项中“较简单”的函数图象是正

确的，然后由此推断该函数的字母系数的符号（正还是负）,再利用该字母系数的范围验证另外一个函数的图象是否

符合，如果符合说明该选项的图象都正确，如果不符合则该选项的函数图象是错误的.

精选例题

例已知反比例函数y=受的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐

局解析

解析一：分类讨论

由反比例函数图象可知ab>0,故分a>0,b>0或者a<0,b<0两种情况.

由二次函数y=a/_2x可知抛物线的图象过原点，排除A选项；

如果a>0,b>0,则抛物线ax2-2x开口向上，对称轴在y轴的右侧，一次函数图象过一、二、三象限，排除

B、D,选项C正确；

如果a<0,b<0,则抛物线ax2-2比开口向下，对称轴在y轴的左侧，一次函数图象过二、三四象限，B、

C、D选项都错误；

所以只有a>0,b>0,选项C正确，故选C.

解析二：逐项排除

A项，抛物线图象不过原点，所以选项A错误；

B项面一次函数图象过一、二、四象限故a>0,b<0,ab<0,故选项B错误；

C项，假定一次函数图象正确，由一次函数图象过一、二、三象限,故a>0,b>0,此时抛物线y=ax2-2x

的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，故抛物线的图象正确，且满足ab>0,故C正确；

D项，假定一次函数图象正确，由一次函数图象过二、三、四象限，故a<0,b<0,满足ab>0,此时抛物线y

=a%2-2x的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，故抛物线的图象错误，虽然满足ab>0,但选项D依然错误.

精选练习

1.已知函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=（的图象为（）.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数.y=ax+。和反比例函数y=（在同一平面直角坐

解题策略二二次函数字母系数与函数图象的关系

二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的系数符号与抛物线y=ax2+bx+c（a丰0）的图象有着密切的关系才艮据

抛物线的形状可以判断a,b,c的符号，反之a,b,c的符号也可以确定抛物线y=a/+法+c（a*0）的大致形

状与位置.二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的系数对函数图象的影响一般有以下几个方面：

La的正负决定抛物线的开口方向，间的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开口越小；

2.6=0,,即二次函数中不包含一次项，则对称轴为y轴；

3.c为抛物线与y轴的交点的纵坐标，c>0,,交点在y轴的正半轴上，c<0,,交点在y轴的负半轴上；

4.a,b决定对称轴的位置，a,b同号，对称轴在y轴的左侧，a,b异号，对称轴在y轴的右侧，对于结合图

形判断ma+nb=0（m,n是常数，式子中不包含c）是否正确，则将原式化简成-*=-事然后与函数图象中对称轴

2a2n

进行比较，如果一致说明ma+nb=0正确，否则错误；

5.千万不要忘记抛物线的对称性和顶点坐标；

6.判断am2+bm+c>。（或<0）,可在函数图象上画出.x=znm（垂直于x轴）的直线,看该直线与抛物线的交点

在x轴的上方或下方即可；对于am+bn+c>0（或<0）类型的式子，则将题目中的已知坐标代入进行化简，然后用同一

个字母表示另外两个字母，最后进行判断；

7./—4ac的正负性是通过观察图象与x轴的交点来判断的；

8.判断ax2+bx+c=nr是否有根，可在坐标系中画出.y=m,,看其与抛物线有几个交点即可；

9.确定使得ax2+bx+c<0（>0）的x的范围，常常先从图象入手，观察其在对应方程两根之间还是两根之

外.

精选例题

例1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a*0）的图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间.对称轴是x=l.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+bNm（am+b）（m为实数）;⑤当-l<x<3时,y>0.其中正

确的是（）.

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

本题给出了部分函数图象、图象的对称轴及图象与X轴的一个交点坐标范围，所以利用数形结合的思想来解

答比较合适.由抛物线的开口方向可判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称

轴判定b与。的关系以及2a+b=0；a+bNm(am+b)可转化成am2+bm+c<a+b+c,即该函数在x=m处的函数值

不大于其在X=1处的函数值，也就是x=l时，该函数有最大值.由部分图象可观察出当x取何值时y>0.

解①对称轴在y轴右侧,，a、b异号,ab<0,故①正确；

②：对称轴x=-^=l,.-.2a+b=0;故②正确；

(3)2a+b=0,b=-2a,.,.当x=-l时,y=a-b+c<0,a--(-2a)+c=3a+c<0,故③错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；当m#l时，有am2+bm+c<a+b+c,所以a+bNm(am+b)(m为实

数).故④正确.

⑤如图，当-l<x<3时,y不只是大于0.故⑤错误.

故选A.

例2.二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:①4a+2b+c>0;

2

②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-l)=-l有两个根Xi和x2，且x2,%i<3则一5<小<冷<1；④若方程\ax+bx

+c|=1有四个根，则这四个根的和为4其中正确的结论有().[[

A.1个B.2个\I/

C.3个D.4个”\二2o/~J

解析

解析一：利用二次函数的性质，可知抛物线的对称轴为%=-白,将顶点坐标(2-9a)代入对称轴的关系式中，

2a

可得到含a的式子，并可表示出b,c,从而将二次函数转化为只含有一个字母系数的解析式，然后进行讨论即可.

解析二：(①4a+2b+c=ax22+2b+c,在图象上画出直线x=2,看其与抛物线的交点位置即可；

②5a-b+c不满足am2+bm+c类型，则通过对称轴和(-2,-9a)把b,c都用a表示出来,然后进行判断，当然

①也可以采用此种方法.

③化简可得ax2+4ax-5a=-1,与②相结合，然后作出y=-l,观察其与抛物线交点横坐标的范围即可；

④把y=+法+。在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，形成“W”型，然后作出y=l,观察其与抛物线交点

横坐标，再利用抛物线的对称性即可判断.

解：抛物线的顶点坐标(2-9a),

2

=—2,4。；：=-9a,b=4a,c=—5a,/.抛物线的解析式为y=ax+4ax-5a,

4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正确.

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②错误.

22

抛物线y=ax+4ax-5a交x轴于(-5,0),(1,0),抛物线y=ax+4ax-5a与交点横坐标即为xltx2,

尸laP+4x+d

(2,4a+2A+c)

J—t------x

匐产T

，若方程a（x+5）（%-1）=T有两个根.Xi和久2,且Xi<久2,如图.

则一5<久］<久2<1,

故③正确.

若方程\ax2+bx+c\-1有四个根,即ax2+4ax—5a+1=。或ax2+4ax—5a—1-0,则这四个根的和为

（-京）+（-~a）=一8,故④错误.

故选B.

精选练习

1.如图抛物线y=ax2+bx+c（a丰0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线%=1,,结合图象给出下列结论:

①ac<0;②4a-2b+c>0;③当.x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ad+版+c=。有两个不相

等的实数根.其中正确的结论有（）.

C.3个D.4个

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线％=1.下列结论：①abc<0;②3a+c>0;③（a+c）2-b

2<0;@a+b<m（am+b）（m为实数）.其中正确结论的个数为（）.

C.3个D.4个

3.二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，对称轴为直线.%=.下列结论不正确的是（）.

A.b2>4acB.abc>0C.a—c<0D,由"+Na—为任意实数）

动点问题中的函数图象题

动点问题中的函数图象题，是中考常考的选择题的压轴题型之一，此类题目的解题方法是理解动点的完整运

动过程，“动中觅静"在“静”中运用相关知识探求目标量与动点的函数解析式或每部分的特点.有的题目还需要找

出目标函数的图象，理解图象中的关键点或者转折点所表示的实际意义，还要理解图象的含义，合理运用分类讨

论解决问题.

解题策略一与面积有关的动点函数图象题

与面积有关的动点函数图象题，常规的解法有以下两种：

1.特殊值法：根据特殊位置时的函数值找到图象的特殊点，反之也可.确定图形的关键点，改关键点（包括转折

点），定点到不同运动路径的最近点（一般作点到线段的垂线，利用“垂线段最短”解答）.

2.观察法：根据题目描述，分析函数值在每段函数图象中的变化.

与面积有关的动点函数图象题，一般采用以下解题策略：

1.确定图形的关键点，改关键点（包括转折点），定点到不同运动路径的最近点（一般作点到线段的垂线，利用

“垂线段最短”解答）；

2.分类讨论，根据关键点把运动路径分为不同的部分，单独求出每一部分的函数解析式（注意取值范围）；

3.必要时采用割补法，把不规则图形分为几部分，分别求出各部分的面积后，再求和（差）得到结果；

4.结合每段路径的解析式判断选项中的图象是否正确.

此类面积问题一般都与时间有关，面积的函数解析式都是时间的函数，为了快速解决问题，可以采用排除法.

使用排除法时有以下小技巧：

1.首先明确面积的表达公式，面积一般是两条线段乘积的形式（梯形面积是线段和与另一条线段的乘积形式）.

2.然后确定该面积公式中的线段的长度是否随时间发生变化.

⑴如果两条线段的长度都发生变化，则其乘积会出现平方项，函数图象一般是曲线型（此时需要注意两者乘积

也可能为常数，此时函数图象应该为一条水平线段）,然后根据平方项系数的正负再确定是上凸还是下凹.

（2）如果只有一条线段的长度随时间发生变化，而另一条线段的长度不随时间改变，则图象一般是直线型（斜线

段）.

⑶如果两条线段的长度都不发生改变，乘积为常数，此时函数图象应该为一条水平线段.

3.要充分利用图形的特点，比如对称性等.如果图形对称，则函数图象也经常是对称的.

4.注意初始和终点时面积的变化情况，注意最大值和最小值出现的时间点.

当然，排除法不见得能解决所有这类问题，必要时可结合函数常规方法一同使用，这样能加快解答速度和准

确率.

精选例题

例1如图.正方形ABCD的边长为2cm,动点P,Q同时从点A出发，在正方形的边上,分别按A-D-C,ATBTC

的方向，都以lcm/s的速度运动,到达点C时运动终止.连接PQ,设运动时间为xs,△APQ的面积为.川出则下列图

象中能大致表示y与x的函数关系的是（）.

iJ,/cm2Aj/cm2Ay/cm2

tpn小,

2入，2个.2个，

°24x/s024Vs02%xls024x/s

&----------------'cA.

B.C.D.

解析

根据题意，当点P在AD上运动时，AP=AQ^x,此时SAPQ=\AQ-AP=|/；当点p在CD上运动时,（CP

=CQ=^-x,PD=x-2,此时SAPQ=S—SCPQ，—S^BQ，—Sap，。由此可得△APQ的面积y与x的关

系，进而可判断出y关于x的函数的图象的大致形状.

解①当(0<%<2时,

.正方形的边长为2cm,

11

Q2

•••y=SAPQ=-AQ-AP=-X-,

②当2WxW4时，

正方修

y~=S48co—SACFQ'—S^NiQ，-S&WD'

=2x2—|(4—久乃—|x2x(x—2)—|x2x(x-2)=-jx2+2x

；.y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合.

故选A.

例2.如图在正方形ABCD中,AB=3cm,,动点M自点A出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N

自点D出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达点B时运动同时停止.设△4MN的面积为y（单位：（c/

）,,运动时间为x（单位：秒）,则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）.

解析

分两部分计算y与x的函数解析式：①当点N在CD上时，易得SAMN的解析式为一个一次函数;②当点N在C

B上时，底边AM变化彳导出.SWMN的解析式为一个开口向下的二次函数.

解法一.••点N自点D出发沿折线.DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达点B时运动同时停止,

•••点N运动到点C的时间为t=3+2=1.5（秒）.

分两部分进行讨论：

①当0<x<1.5时,如答图1,此时N在DC上，

113

SMN=y=-AM-AD=-xx3^-x.

A答图1

②当l.5<x<3时,如答图2,此时N在BC上,

；.DC+CN=2x,

；.BN=6-2x,

SAMN—y—|i4M-BN-|■久(6—2x)=—x2+3%.

故选A-ME

姣图2

解法二当点N在DC上运动时，SAMN=V=\AM-AD,AM变动，AD不变，乘积改变，所以排除B,D选项;

当点N在CB上运动时,SAMN=y=AM-BN,AM,BN都变动，所以函数图象为曲线型排除C选项.故选A.

例3.如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A-B-C—D路径匀速运动到点口.设4PAD的面

积为y,点P的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为（）.

题目可分为三段考虑：AB段，BC段，CD段.

解分三种情况：

①当点P在AB边上时，

如答图1,设菱形的高为h,y=^AP-h,

；AP随x的增大而增大，h不变，函数图象为直线型,

，y随x的增大而增大，故选项C,D不正确.

②当点P在边BC上时，

如答图-.2.y=\AD-%,AD和h都不变.

在这个过程中，y不变，

答图2

此时函数图象应该为平行于x轴的一条线段，故选项A不正确.

③当点P在边CD上时，如答图3,y=\PD-h.

VPD随x的增大而减小，h不变，

，y随x的增大而减小.

・，点P从点A出发沿A-B-C-D路径匀速运动到点D,

点P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确.答图3

故选B.

精选练习

1.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置,AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现

将.△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中,正方形A

BCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时t的函数图像大致是(

2.如图，在△4BC中,NB=90。,AB=3cm,BC=6cm,,动点P从点A开始沿AB向点B以Icm/s的速度移动，动

点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发，点P到达点B时运动

停止，则△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系的图象大致是().

3如图，在RtAABC中,N4CB=90。,AC=BC=2VxCD14B于点D.点P从点A出发，沿A—DIC的路径

运动，运动到点C停止，过点P作PE±AC于点E,作PF1BC于点F.设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为

A.B.C.D.

解题策略二与线段长度有关的动点函数图象问题

此类型问题的解题策略与前面的类似.在应用排除法时，还需要注意以下几点：

1.如果求线段长度需要用到勾股定理时，其函数图象一般为曲线型；

2.要充分利用全等、相似等几何知识进行分析解答；

3.一定要分析图形的特点，尤其是注意对称性的应用.

精选例题

例)如图，等边△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发以每秒1cm的速度，沿A-B-C的方向运动，到达点C

时停止.设运动时间为x

此题需要分类讨论：①当0MxM3时，即点P在线段AB上时，将相关线段的长度代入该等式，即可求得y

与x的函数解析式，然后根据函数解析式确定该函数的图象.②当3<%<6时，即点P在线段BC上时，y与x的函

数解析式是.y=(6-%)2=(%-6)2(3<%<6),根据该函数解析式可以确定该函数的图象.

解法一如图，过点C作(CD_L4B很!=|cm,CD=1bcm,点P在AB上时,4P=xm,PD=|j-x|cm.

y=PC2=(|V3)2+(|-%)'=%2-3%+9(0<%<3),该函数的图象是开口向上的抛物线.

②当3〈久W6时，即点P在线段BC上时,PC=(6-%)cm(3<%<6);

则y=PC2=(6—x)2=(x—6)2(3<x<6).B

・,・该函数的图象是在：3<%<6上的抛物线.

A'C

故选c.

解法二由于△ABC是等边三角形，如图，点A,B关于CD对称，所以PC的长度在AB段上也关于CD对

称，且CD为PC最小值时的位置，所以其图象也应该出现对称，所以排除A,B选项.在BC上方法同解法一.

精选练习

1.如图,A48c为等边三角形，点P从A出发，沿ATB—C—A做匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间

x之间的函数关系图象大致是（）.

4

y

0

2.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点M的运动

y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）.

A.C.D.

3.如图,A,B是半径为1的OO上两点，且（0A10B,点P从点A出发,在。0上以每秒1个单位长度的速度匀速

运动，回到点A运动结束.设运动时间为x（单位：s）,弦BP的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的

是（）.

找规律题⑶-----函数

与函数图象相关的图形规律探究题常以选择题或填空题的形式压轴出现彳主往先给出一系列图形的运动变化过

程，该系列图形中往往有一个顶点在所给函数的图象上，通常求该系列图形中特定点的坐标、特定线段的长度或

特定图形的面积.解题时需先理解该图形的运动过程，把握其本质或生成规律，并借助图形与函数图象的公共点探

求、归纳出其规律（较常见的是图形成倍变化规律）.此类问题看似繁琐，但只要耐心地一步步计算，往往不难解决.

解题策略图形成倍变化规律

1.变换前：写出第一次变换前的目标量，如点的坐标、线段长、图形的周长或面积等；

2.变换中：借助系列图形与函数图象的公共点计算出第一次变换、第二次变换、第三次变换后的目标量，如变

换后的点的坐标、线段长、图形的周长或面积等；

3.归纳后：归纳出后一个目标量（点的坐标、线段、周长、面积等）与前一个目标量存在的倍数关系m；

4.写结果：根据上述步骤归纳出的规律写出第n次变换后求到的目标量（点的坐标、线段、周长、面积为n”a）.

精选例题

例1.如图，在平面直角坐标系中，直线h-.y=日久+1与直线l2-.y=百久交于点A］，过点Ai作x轴的垂线,

垂足为点B］，过点Bi作b的平行线交11于点A2；过点A2作x轴的垂线，垂

足为点B2；过点B2作I2的平行线交11于点A3；过点A3作x轴的垂线，垂

足为点B3…按此规律，则点A□的纵坐标为（）.

解析

先求出11,12这两条直线的交点心的坐标，从而可得点，%的坐标；再求直线的解析式，与直线11

的解析式联立成方程组，解得点儿的坐标，从而可得点&的坐标；同理，求出点人,扇的坐标，从而找出点A口

的纵坐标的规律.

y=x+

解把公y=去+1与l2-.y=信联立成方程组\~L解得"=］''点4的坐标为（争）点B］的坐

.y=A/3X.（y=5,‘'一

标为（争0）；直线的解析式为y=百［-亨），与谶立成方程组解得点儿的坐标为（#，），点史的坐标为

（W，0）;4B2的解析式为y=