高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第19讲 2.2.1直线的倾斜角与斜率

④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=vu,即tanα=vu.知识点四.直线的法向量一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.题型1直线的倾斜角【方法总结】1.求直线倾斜角的方法及关注点（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.2.对直线倾斜角的理解（1）由倾斜角定义可知倾斜角也是直线I向上的方向与x轴正方向所成的角（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度.（3）平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.（4）当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k=tanα.【例题1】（多选）（2022秋·高二课时练习）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AB【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当0∘<α根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90∘若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.【变式1-1】1.（2022秋·高二课时练习）已知点A2,1，BA．30° B．45° C．60°【答案】B【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：k=tanα所以α=故选：B.【变式1-1】2.（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为p=sinπA．π6 B．π3 C．2π3【答案】A【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【详解】由题意可得：直线l的斜率k=cosπ3sin故选：A【变式1-1】3.（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+3y−3=0的夹角为A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【答案】C【分析】设直线的倾斜角为φ，根据tanφ=−3【详解】x+3y设直线的倾斜角为φ，φ∈0,π，则tanφ夹角为60°，故θ=90°或θ故选：C.【变式1-1】4.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1的倾斜角α1=15∘，直线l1与l2的交点为A，直线l

【答案】135【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线l2【详解】设直线l2的倾斜角为α2，因为l1和l所以，∠BAC=120故答案为：135【变式1-1】5.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线M'N'【答案】105°或165°【分析】根据倾斜角与斜率的概念求解.【详解】直线M'N'当将直线MN绕原点顺时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为60°＋45°＝105°；当将直线MN绕原点逆时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为180°－(60°－45°)＝165°，故答案为：105°或165°.【变式1-1】6.(多选)（2022秋·高二课时练习）若直线 l 与 x 轴交于点 A ，其倾斜角为 α ，直线A．α+45° B．α+135° C．α−45°【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当α≥45°时，直线l1的倾斜角为当0°≤α<45°时，直线l1故选：BC.【变式1-1】7.（2023·全国·模拟预测）已知点P2cos10∘,2sin10【答案】160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tanθ方法二：根据三角函数定义可知P,Q在圆x2【分析】方法一：设直线PQ的倾斜角为θ0则tanθ=2sin130∘∴直线PQ的倾斜角为160∘方法二：由三角函数的定义可知：点P,Q在圆设M为直线PQ与x轴的交点，则∠POM=10∴∠POQ=120∘，又∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160故答案为：160∘题型2直线的斜率【例题2】（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ<180°；②若直线倾斜角为α，则它斜率A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若θ是直线的倾斜角，则0°≤θ对于②：直线倾斜角为α且α≠90°，它的斜率k=tanα对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90°时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.【变式2-1】1.（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过A1，0C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为45°B：过点A、B的直线的斜率为k=即tanα=−32<0C：当直线的倾斜角为90°D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.故选：D.【变式2-1】2.（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A2,3(2)C−2,3(3)P−3,1【答案】(1)存在，1(2)存在，−1(3)不存在【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率kAB（2）由题意得，存在，直线CD的斜率kCD（3）∵xP∴直线PQ的斜率不存在．【变式2-1】3.（多选）（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为0,0,1,0,A．2 B．32 C．34 【答案】ABD【分析】假设AB所在的直线过点0,0，分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析运算.【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点0,0，设直线AB的倾斜角为α∈0,π①若CD所在的直线过点1,0，如图，可得BC=sin因为BC=CD，即sinα②若CD所在的直线过点2,0，如图，可得BC=2sin因为BC=CD，即2sinα③若CD所在的直线过点4,0，如图，可得BC=4sin因为BC=CD，即4sinα综上所述：k的可能值为2,3故选：ABD.【点睛】关键点睛：假设AB所在的直线过点0,0，分类讨论CD所在的直线所过的点，数形结合处理问题.【变式2-1】4.（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则tanθ【答案】2【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.【详解】由O0,0，P1,5，则直线OP的方程为y=5x，设其倾斜角为由tanα=5，则tanθ+π故答案为：23【变式2-1】5.（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】−212/【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α，则tanα由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α+45°，α因为tanα+45°=所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为−2，12故答案为：−2，12【变式2-1】6.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）在平面直角坐标系xOy中，将点A3,1绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为__________，若直线OB的倾斜角为【答案】−1,3【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.【详解】设点A3,1为角θ终边上一点，如图所示，由三角函数的定义可知：sinθ=1则θ=k·360°+30°,k∈Z将点A3,1绕原点O逆时针旋转90°到点得直线OB的倾斜角为120°，且点B在120°角的终边上，由三角函数定义可得点B的坐标为2cos120°,2sin120°，即B−1,3，且α=120°故答案为：−1，3【变式2-1】7.（多选）（2023·全国·高三专题练习）点Mx1,y1在函数yA．-1 B．−2 C．−3 D．0【答案】BC【分析】根据目标式的几何意义为y=ex在x∈0,1部分图象上的动点M【详解】由y1+1x1−1表示M又Mx1,y1如上图，B(1,e)，则k故选：BC题型3斜率与倾斜角的变化【方法总结】直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kk=tanα>0k=0k=tanα<0不存在倾斜角α锐角0°钝角90°图示在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k=tanα的单调性，如图所示：（1）当α取值在[0,π2)内，由0增大到π2(α≠π2（2）当α取值在(π2,π)内，由π2(α≠π2)增大到π（α≠π增大到π（a≠π）时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想.【例题3】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线l1,lA．k1<k2<k3 B．

【答案】C【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.【详解】设直线l1,l2,l3所以k3又y=tanx在x∈所以k2故选：C【变式3-1】1.（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线l1,lA．k1<kC．k3<k【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线l1,l由题图知，直线l1的倾斜角α1为钝角，又直线l2,l3的倾斜角∴0<k∴k故选：D.【变式3-1】2.（1995·全国·高考真题）图中的直线l1,lA．k1<kC．k1<k【答案】C【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，k1故选：C【变式3-1】3.（2022秋·高二校考课时练习）下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（

）A．k>0 B．k>0C．k<0 D．k<0【答案】C【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.【详解】对于A:倾斜角α为钝角,且k=tanα,则k<0对于B:倾斜角定义:x轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角,倾斜角错误,故B错误;对于C:倾斜角α为钝角,且k=tanα,则k<0对于D:倾斜角定义:x轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角,倾斜角错误,故D错误;故选:C.【变式3-1】4.．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）设直线l的斜率为k，且−33≤A．0,π4∪C．π4,5π【答案】D【分析】由斜率的定义及正切函数的图像和性质即可求得.【详解】设直线l的倾斜角为θ，则θ当斜率−3直线l的倾斜角的取值范围为0,π故选：D【变式3-1】5.（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线l的斜率为k，且−3≤kA．0,π4∪C．π4,5π【答案】A【分析】设直线l的倾斜角为α,0≤α<π，则有k=tanα，0≤α<π【详解】设直线l的倾斜角为α,0≤则有k=tanα，作出y=tanα(由此可得α∈[0,故选：A.题型4已知斜率求参数问题【例题4】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）若过A(4,y),B(2,−3)【答案】−1【分析】先由倾斜角可得直线AB的斜率，再由两点连线的斜率公式即可求解.【详解】因为过A(4,y),则直线AB的斜率k=y−(−3)故答案为：−1【变式4-1】1.（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的A(m2+2,m2−3),【答案】−2【分析】由题意得m2−3−2m【详解】由题意知kAB所以m2−3−2m化简得m2+3m+2=0当m=−1时，A当m=−2时，A所以m=−2故答案为：−2【变式4-1】2.（2022秋·高二课时练习）已知直线l经过三点A5,−3【答案】-2-1【分析】根据两点斜率公式求出直线l的斜率，并根据kAB【详解】由题意得k=由kAB=kAC可得故答案为：-2，-1【变式4-1】3.（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知点A，B在曲线y=x2+2x图像上，且A，B【答案】−1,−11,3【分析】根据A，B在曲线上，设出点A，B的坐标，由A，B两点连线的斜率得出A，B的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.【详解】由题意，在y=x2+2x设Ax1,A，B两点连线的斜率为2，∴kAB解得：x2∴当x1=−1时，A−1,−1故答案为：A−1,−1，B【变式4-1】4.（2023·全国·高三专题练习）若直线x+ay−1=0的倾斜角为45°【答案】−1【分析】根据倾斜角与斜率的知识求得正确答案.【详解】直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，则−1故答案为：−1【变式4-1】5.（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）若直线x+my+3=0与直线x+2y【答案】−3或1【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.【详解】设直线x+my+3=0的倾斜角为α、直线x由于x+2y+1=0的斜率为−所以β∈由于直线x+my+3=0与直线x所以直线x+my+3=0的倾斜角不是π所以−1m=tan或−1m=tan所以实数m的值为−3或13故答案为：−3或1题型5过两点求斜率取值范围【例题5】（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点A3,4，Q6,3aA．a<43 B．a≤43【答案】C【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线AQ的斜率k=又因为直线AQ的倾斜角为锐角，所以a−43故选：C【变式5-1】1.（多选）（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点A5,m和B2,8的直线的倾斜角θA．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根据斜率公式求解.【详解】由题可得kAB所以m∈(8+结合选项可得实数m的可能取值有11,12,13，故选:ABC.【变式5-1】2.（2023·江苏·高二假期作业）若经过点P(1−a,1)和Q【答案】(−∞，1【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率3−12a−1+所以a的取值范围是(−∞，13故答案为：(−∞，13【变式5-1】3.（2015春·河北保定·高一统考期中）直线l经过点A(2,y),B(3,−A．[−2B．(−∞,0]∪[2C．(−∞,−2D．[0,2【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为倾斜角θ所以k又因为k所以y故选：C.【变式5-1】4.（2022·高二单元测试）已知两点A(−1,2),(1)直线AB的斜率k；(2)已知实数m∈−33−1,【答案】(1)答案见解析(2)α【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围(1)当m=−1时，直线AB当m≠−1时，直线AB的斜率k(2)当m=−1时，α当m≠−1时，k因为m∈−3所以−33≤所以1m+1≤−3或1m所以α∈综上，直线AB的倾斜角α【变式5-1】5.（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数fx=mx−2A．53,74 B．−74【答案】A【分析】将问题转化为函数y=2x【详解】fx>0得mx>2x−1，所以满足如图，当直线y=mx的斜率m满足k所以，kOA=5故选：A题型6过线段求斜率取值范围【方法总结】利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意.【例题6】（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点P0,1作直线l，若直线l与连接A2,3，B−1,2【答案】k≤−1或【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】如图，直线l与线段AB总有公共点，即直线l以直线PA为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线PB即可，直线l的斜率为k，直线PA,PB的斜率分别为kPA,k而kPA=3−12−0=1,所以直线l的斜率的取值范围是k≤−1或k故答案为：k≤−1或【变式6-1】1.（2022秋·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知A3,3，B−4,2，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB（包括端点）上移动时，求直线CD的斜率的取值范围.【答案】(1)kAB=(2)−∞,−1【分析】（1）利用斜率的坐标公式可求两条直线的斜率.（2）求出线段AB的两个端点与点C构成直线的斜率，根据图形的变化可求直线CD的斜率的变化范围.【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB直线AC的斜率kAC（2）如图所示，当点D在AB上运动时，kBC=−1，kAC=53，直线CD的斜率由负无穷增大到kBC【变式6-1】2.（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点A−1,1,B1,1,C2,3+1，DA．0,33 C．33,3【答案】D【分析】作出图象，求出AB,【详解】如图所示，kAB因为D为△ABC的边AC所以直线BD斜率k的变化范围是−∞,0∪故选：D.【变式6-1】3.（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点A0,−8，B2,−2，C4,m，若线段AB，AC，【答案】4【分析】由线段AB，AC，BC不能构成三角形知A,B,C三点共线，由【详解】因为线段AB，AC，BC不能构成三角形，所以A,显然直线AB的斜率存在，故kAB=kAC，即故答案为：4【变式6-1】4.（2023·全国·高二专题练习）若实数x、y满足y=−x+3，−1≤【答案】5【分析】作图，根据代数式y+3【详解】如图，A1,2，B−1,4，则kAC=−3−2因为y+3x+2=y−−3由图象可知，kAC所以有53故答案为：53【变式6-1】5.（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线y=ex−1【答案】1【分析】设A(x1,ex1−1)，B(x2,【详解】设A(x1,ex1−1)，B∵点O，A，B共线，∴kOA即ex可得：ex1−又∵k∴k故答案为：1．题型7三点共线问题【方法总结】三点共线问题1.已知三点A，B，C，若直线AB，AC'的斜率相同，则三点共线.2.三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可断定A，B，C三点共线.3.利用向量AB和向量AC共线也能断定A，B