2024年人教版高一数学讲义：三角函数的概念（解析版）

第23讲三角函数的概念

T模块导航—素养目标•

模块一思维导图串知识1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义;

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；

模块三核心考点举一反三3.会利用任意角的三角函数的定义求值；

模块四小试牛刀过关测4.掌握公式一并会应用.

模块一思维导图串知识

利用单位圆定义任意角的三角函数

任意角的三角函数的定义

用角的终边上点的坐标表示三角函数

三角函数的定义域和三角函数值的符号三角函数的定义域—

-----------------------------------------------------三角函数值在各象限的符号

三角函数的概念

终边相同的角的三角函数值公式一

特殊角的三角函数值

已知终边上一点

三角函数定义的应用已知三角函数值与终边上一点随纵坐标

终邮斤一线或点坐标含四

6模块二基础知识全梳理一

知识点1任意角的三角函数的定义

1、利用单位圆定义任意角的三角函数

设a是一个任意角，它的终边0P与单位圆交于点P（x,y）.

三角函数定义记作符号表示

正弦函数点尸的纵坐标sin。y=sina

余弦函数点P的横坐标cosax=cosa

点尸的纵坐标

正切函数tana—=tana(xw0)

与横坐标的比值X

我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为:

正弦函数y=sinx,xG7?

余弦函数y=cosx,x£R

正切函数y=tanx,x手力+k兀｛keZ、

2、用角的终边上点的坐标表示三角函数

如图，设若。是一个任意角，它的终边上任意一点尸（不与原点重合）的坐标为（X/）,点尸到原点的

是巨离为尸位二J%?+J?),贝!|sina=2,cosa=—,tancr=—.

“rrx

【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点尸的位置无关.

知识点2三角函数的定义域和函数值的符号

1、三角函数的定义域

三角函数定义域

sinaa\a

cosaa\a

711

tana<aa半k7i+—,keZ\

I2J

【说明】单位圆上兀y的取值范围是[-1,1],根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余

弦函数的值域.

2、三角函数值在各象限的符号

根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的

值在各个象限的符号，如下图.

九y八y

++++

-OX

++0

sinctcosatana

由于原点到角的终边上任意一点的距离r是正值，根据三角函数的定义，值

（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

（3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负.

【三角函数值的符号记忆】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为

正，第四象限中只有余弦值为正.

知识点3终边相同的角的三角函数值

1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一:

sin（a+2左左）=sina

cos（a+2k兀）=cosa

tan（a+2%］）=tana其中左eZ

注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0〜2兀（或0。〜360。）范围内角的三

角函数值.

（2公式一统一概括为八左2兀+a）=/（a）aez）,或人上36（F+a）=Aa）伏GZ）.其特征是：等号两边是同名函

数，且符号相同，即同名同号.

2、特殊角的三角函数值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

717171713万5万37r

071

6432346

sinaV2V3V3V22

010-1

2~2"T~2~2

cosaV31V3

10-10

~T~T2-2FF

tan。V3

01V3-V3-10

T/一百X

知识点4三角函数定义的应用

1、已知角a的终边上一点尸的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2、已知角a的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角戊有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未

知数，从而求解问题；

3、已知角a的终边所在的直线方程（y=kx,左片0）,求角a的三角函数值

方法：先设出终边上的一点P（a,而）（aw0）,求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注

意a的符号，对a分类讨论）

»模块三核心考点举一反三

考点一由终边上的点求三角函数值考点四由符号确定角所在的象限

考点二由三角函数值求终边上点的参数考点四圆上的动点与旋转点

考点三判断三角函数值的符号考点五诱导公式一的应用

考点一：由终边上的点求三角函数值

例1.（23-24高一下•河南洛阳・期末）已知角&的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，点

尸（-6,-8）为角a终边上一点，贝ijcosa=（）

433

A.B.C.D.

55

【答案】D

3

【解析】因为点尸（-6,-8）为角。终边上,故cosa=故选：D.

5

【变式1-1］（23-24高一下•辽宁•月考）若角a的终边经过点（L2）,则—s23cos>（）

6cosa—2sinacosa

【答案】D

【解析】因为角。的终边经过点（1,-2）,

-2

所以smc=

^12+(-2)2

匚匚2sina+3cos%='.故选：D

所以----3-----：-----厂

6cosa-2sindzcosa

【变式1-2］（23-24高一下•上海奉贤•期中）已知钝角a的终边上的一点（4人,-3左），则sina=.

3

【答案】-/0.6

【解析】因为钝角a的终边上的一点尸（4后,-3左），所以上＜0,

则Q尸|=—5^^sin«=—=-

-5k5

3

故答案为：—

【变式1-3］（23-24高一下•河北张家口•月考）已知角a的终边落在直线y=-；x上，求sina,costz,tana

的值.

【答案】答案见解析

【解析】因为角a的终边落在直线＞=x上，而直线即过第二象限也过第四象限，

当角a的终边在第二象限时，在直线上取一点（-2,1）,

1yj~5-22/511

■==----ccq"=-==-------tan"==——

65'V55'-22

当角1的终边在第四象限时，在直线上取一点（2,-1）,

-1V522X/3-11

5'V55'22,

考点二：由三角函数值求终边上点的参数

|、,例2.（23-24高一上•广东揭阳・月考）在平面直角坐标系中，点/⑶刈在角a的终边上，若sina=下,

则加=（）

A.-6或1B.-1或6C.6D.1

【答案】C

【解析】因点M（3,刈在角a的终边上，则sina=/.=挛,故机＞0,解得，〃=6.故选：C.

一/21nS

3

【变式2-1］（23-24高一下•河南南阳・期中）已知角6的终边经过点P。”,-1）,且cose=-^，则加=（）

【答案】B

nm33

【解析】由题知—'解得八一“故选：B.

2

【变式2-2]（23-24高一下•江西抚州•期中）已知角0的终边经过点（-3,机），若tane="贝ijsina=

入2V13口2而八3VT3n3V13

13131313

【答案】A

【解析】因为角。的终边经过点（-3,冽），且tana=葭

m2

所以tana=-----=—,解得m=-2,

33

【变式2-3]⑵-24高一上•广东肇庆•期末）已知角a的终边经过点尸（5,。，且sina=-耳，则tana二

12

【答案】-y

【解析】由角。的终边经过点尸（5,7）,可得」=卯=，25+产,

12t121?

Hsina――――,可得~/==一?T，所以才=-12,所以tana=--—.

13V25+?2135

12

故答案为：

考点三：判断三角函数值的符号

例3.（23-24高一下•云南保山•期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（)

A.sin一B.cos一C.tan2D.cos2

22

【答案】ACD

兀

【解析】sin兰3=-1,cos3三it=0,故A正确，B错误;

22

jr

因为一<2<兀，是第二象限角，所以tan2<0,cos2<0,故C、D正确.故选：ACD.

2

【变式3-1］（23-24高一下•辽宁大连•月考）已知尸（cos2,tanl）,则点尸所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】In殁wS??,故tanl>0；

71

1QQ°

2=2x——®114.6°,故cos2<0.

71

故点P在第二象限.故选：B

【变式3-2］（23-24高一下•江西南昌・月考）已知角42是三角形28c的两个内角，则点P（cos4cos8）（）

A.不可能在第一象限B.不可能在第二象限

C.不可能在第三象限D.不可能在第四象限

【答案】C

【解析】对于A,当角48是锐角时，cos/>0,cos8>0,点尸在第一象限，错误；

对于B,当角A是钝角，角B是锐角时，cos/<0,cosB>0，点尸在第二象限，错误；

对于C,因三角形最多有一个钝角，故cos/与cosB不可能同时小于0,

即点尸不可能在第三象限，正确；

对于D,当角A是锐角，角B是钝角时，cos/>0,cos2<0,点尸在第四象限，错误.故选：C

.aa…a

sin—2cos—3tan—

【变式3-3］（23-24高一下•贵州遵义・月考）（多选）若角a的终边在第三象限，则］~।—4--------看

sm—cos—tan—

的值可能为（）

A.0B.2C.4D.-4

【答案】BC

jrjr（7TT

【解析】由角a的终边在第二象限，得—兀+2祈<a<----1-2^71,kGZ,则----\-kit<—<------卜eZ,

2224

因此1是第二象限角或第四象限角，

2

.aaa

sm—2cos—3tan—

当今是第二象限角时，匚高+r一一^=1-（-3）=2,

sin—2cos—3tan—

当?是第四象限角时，rA+I————4=-1+2-卜3)=4.故选：BC

考点四：由符号确定角所在的象限

例4（23-24高一上•宁夏吴忠・期末）若cos6tan6<0,则。是第象限角.

【答案】三或四

【解析】由于cos8tane<0,所以cosatan。一•正一负，

当夕是第一象限角时，cos&tan。均为正数，不符合，

当。是第二象限角时，cos&tan。均为负数，不符合，

当。是第三，或者第四象限角时，cos。，tang一正一负，符合，

故答案为：三或四

【变式4-1］（23-24高一下•北京•期中）若6满足sin"0,tan0>0,贝历的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由sine<0可知e的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上，

由tane>0,可知e的终边在第一象限或在第三象限，

则e的终边在第三象限，故选：C.

【变式4-2］（22-23高一下•山西大同•月考）已知sinacosa<0,且costz>0,则角a的终边位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为sinecosa<0,旦cosa>0,所以sina<0,即角a的终边位于第四象限.故选:D.

【变式4-3］（23-24高一下•上海・月考）若6终边不在坐标轴上，且cose|cosM+sinMsine|=-l,贝!|。在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为cos0|cos+sin。=一1=一卜in?。+cos?。),

所以卜in=-sin夕一cos6=|cos0\,

所以cos。W0,sin6V0,。终边不在坐标轴上

所以。在第三象限.故选：C.

考点五:圆上的动点与旋转点

5.（23-24高一上•安徽六安・期末）如图所示，在平面直角坐标系工。中，动点P、。从点4（1,0）出

IT1IjT

发在单位圆上运动，点尸按逆时针方向每秒钟转而弧度，点。按顺时针方向每秒钟转出弧度，则尸、。两

()

C.1叵D.

/

兀11兀

【解析】相遇时间为，=4x2兀+------1-------=8秒,

1212

故尸转过的角度为导8=弓

其对应的坐标为卜os2g兀,s.in2g兀）,即视.故选:

C

337

rr

【变式5-1］（23-24高一上•湖北荆州•期末）单位圆上一点P从（0,1）出发，逆时针方向运动自弧长到达。点,

0

则。点的坐标为（

)、

(1心一］V3j_

A.B.C.D.

12句口'NT'2

\77

【答案】A

【解析】点尸从（0,1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2弧长到达。点，

6

所以N0Ox=g+m=¥，所以°（cos¥，sin¥］，

263133）

其中cos仝=-Lsin型,即0点的坐标为.故选：A.

3232{22J

【变式5-2］（23-24高一上•福建莆田•期末）如图所示，在平面直角坐标系xQy中，动点P、。从点么（1,0）

jr11冗

出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转刍弧度，点。按顺时针方向每秒钟转管弧度，则P、Q

1212

两点在第1804次相遇时，点P的坐标是.

【解析】相遇时间为:=1804x2无+1］+岩J=3608秒,

JT9JT

故尸转过的角度为二义3608=300兀+工，

123

故对应坐标为kos?,sin］。，即-；,孚.

故答案为：一［,W］

【变式5-3］（22-23高一下•山西忻州•开学考试）在直角坐标系xQy中，若点尸从点（3,0）出发，沿圆心在

11兀

原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点。，则点。的坐标为（）

~6~

空之、335

A.B.

【答案】c

【解析】根据题意可知，作出图示如下:

根据题意可得。尸=3,=作尊J_X轴且垂足为Q；

利用三角函数定义可得OQi=3xcosZPOQ=乎，。屐=3xsinZPOQ=|；

又。点在第四象限，所以点。的坐标为.故选：C

考点六：诱导公式一的应用

例6.（23-24高一下•江西吉安•月考）sin30（Tcos0。的值为（）

1]AT

A.0B.?C.--D.一号

【答案】D

自

【解析】sin300°cos0°=sin（300°-360°）=sin（-60°）=-sin60°=.M：D.

【变式6-1](23-24高一下•黑龙江绥化•月考)sin(-1050°)=()

A.|B.—C.--D.

2222

【答案】A

【解析】sin(-1050°)=—sinl050°=—sin(3x360°—30°)=sin30°=g.故选：A

【变式6-2]（22-23高一下•辽宁葫芦岛・期末）sm彳的值为（）

V2

A.B.C.D.旦

~T2

【答案】D

【解析】5吗屋"4T卜呜=?故选：D.

【变式6-3】（23-24高一下•河南南阳•月考）sin

D.

2

【答案】C

【解析】=sin]-l（kJ=sin5=程.故选：C

6模块四小试牛刀过关测--------------------------

一、单选题

1.（23-24高一下・河南•月考）若角a的终边经过点尸（T,也），贝!|sina=（）

AV3D.一逅

B.一见Vr/•-娓---

3333

【答案】c

.VV2V6

【解析】因为角a的终边经过点尸（-1,亚），所以sma=一一"+诋故选：C

r

2.（23-24高一下•贵州仁怀•月考）cos（-300。）的值（）

BC

A.4--T-fD-

【答案】D

【解析】cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos60°=1,故选：D

3.（23-24高一下•河南南阳•期末）已知角a的终边经过点（4,加）（机/0）,且sina=£,则爪=（）

A.3B.±3C.5D.±5

【答案】B

【解析】因为已知角。的终边经过点（4,加乂加#0）,且siwz=£,

.mm

所以sine=2=三，解得加=±3,故选：B.

+m25

4.（23-24高一下•广西桂林•月考）若角夕的终边经过点/（T2sina）,且ae（O,7i）,则a=（）

【答案】D

.2sina

【解析】由三角函数定义可得sme=工..，

2W

因为ae（0,7i）,sina>0,所以1=力，,？，解得sina=L,

Vl+4sina2

2兀

易知，点工在第二象限，所以故选：D

5.（23-24高一下•北京・月考）已知角&终边上有一点尸（2sin3,-2cos3）,则a为（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

TT

【解析】依题意，一<3<兀，则sin3>0,cos3<0,gp2sin3>0,-2cos3>0,

2

所以点P在第一象限，即。为第一象限角.故选：A

6.（23-24高一上•浙江杭州•月考）点尸从（0,-1）出发，沿着单位圆的边界顺时针运动与弧长到达点。，贝1J

点。的坐标为（）

（拒I〕n⑻,1⑻（拒一

（22）（2I22）[22）

【答案】D

【解析】由题意，以x轴的非负半轴为始边，斗

以。所在的射线。。为终边的最小正角为费，

由任意角的三角函数的定义可得，）―X

。的坐标为（cos”,sin"），即故选：D.I

、多选题

7.（23-24高一下•江西吉安・月考）下列函数值中，符号为负的为（

A.sin—7iB.cosD.tan2

【答案】CD

【解析】...§兀=2兀+"|,，3兀是第一象限角，，5诒3兀>0,

•..一弓是第四象限角，二85[-弓）>0；

2冗27r2兀2冗2兀

•••子是第二象限角，siny>0,COSy<0,/.SinyCOSy<0:

71

•；一<2<71,；.2是第二象限角，.•.tan2<0.故选：CD.

2

8.（23-24高一上•福建泉州•月考）若角"的终边经过点尸（-31,由）（/>0）,则下列结论正确的是（）

A.。是第二象限角B.a是钝角

C.tana=-yD.点（cosc,sina）在第二象限

【答案】ACD

【解析】由点尸（-3f,4f）（f>0）在第二象限，可得a是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误;

4t4c

tana=----=—,C正确；

—3t3

由sina〉O,cosa<0,则点（cosa,sina）在第二象限，D正确.故选：ACD.

三、填空题

9.（23-24高一上•陕西咸阳・月考）已知角。的顶点在坐标原点，始边在％轴的正半轴上，终边与单位圆交

于第四象限的点尸，且