高中数学讲义（人教B版2019选择性必修一）第21讲223两条直线的位置关系

2.2.3两条直线的位置关系TOC\o"13"\h\u题型1平行垂直关系的判定 ①当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．◆类型1由斜率求直线方程【例题41】平行于直线y=−12A．2xy3=0 B．2x+y5=0 C．x2y=0 D．x+2y4=0【答案】D【解析】由题意可知，所求直线的斜率k=−12，故所求直线方程为y1=−12(x2)【变式41】1.（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3，若直线l：A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3【答案】B【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.【详解】由△ABC的顶点A−3,0，B3,0△ABC重心为−3+3+33,又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点−3+32,0+3所以可得△ABC的欧拉线方程y−1x因为ax+a2所以a1解得a=−1故选：B【变式41】2.（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知点A(1,3),(1)BC边上的中线所在直线的方程；(2)BC边上的高所在直线方程；(3)BC边的垂直平分线的方程.【答案】(1)x(2)4(3)8【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可；（2）BC边上的高和BC垂直，利用两直线垂直的斜率关系即可；（3）利用垂直平分线经过BC的中点，且和BC垂直求解即可.【详解】（1）B∴BC的中点坐标为(1,1所以BC边上的中线所在直线的方程：x（2）BC的斜率：kBC所以BC边上的高所在直线方程的斜率：kBC边上的高所在直线方程：y即：4x（3）由前两问知：BC的中点坐标为(1,12)BC边的垂直平分线的斜率：k=−4BC边的垂直平分线的方程:y即：8◆类型2由一般式求直线方程【例题42】（2023秋·高二课时练习）经过点(1,2)，且平行于直线2xA．2x−3y+4=0 B．2x−3【答案】A【分析】先设出平行于直线2x−3y【详解】平行于直线2x−3y又所求直线过点1,2，则2×1−3×2+ℎ=0，解之得则所求直线为2x故选：A【变式42】1.（2023·江苏·高二假期作业）求经过直线l1：3x+2y−1=0和l2：【答案】3【分析】解方程组3x+2y−1=05x+2【详解】解方程组3x+2y−1=05设直线l的方程为3x则−3−10+C=0，解得所以直线l的方程为3x【变式42】2.（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）过点−1,3且平行于直线2xA．2x−3y+11=0 B．3x+2【答案】A【分析】先设出平行于直线2x−3y【详解】平行于直线2x−3又所求直线过点−1,3则2×(−1)−3×3+ℎ=0，解之得则所求直线为2故选：A【变式42】3.（2022·江苏·高二专题练习）直线l:x+3y【答案】5π6【解析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，点斜式即可求出.【详解】由l:x+所以k=tan由0≤α<π过2,0点且与直线l平行的直线斜率为−3所以y=−即x+故答案为：5π6题型5由垂直关系求直线方程【方法总结】当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．◆类型1由斜率求直线方程【例题51】已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y＝eq\f(1,2)x，则l的方程是________．【答案】y＝－2x＋1【解析】所求直线的斜率k＝－2，故所求直线方程为y＝－2x＋1.【变式51】1.（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知A1,1【答案】2【分析】先求出直线AB的斜率与AB的中点坐标，由点斜式方程求解即可.【详解】因为A1,1,B所以AB的垂直平分线的斜率为−2，AB的中点坐标为3,2，故线段AB的垂直平分线的方程为：y−2=−2(x−3)故答案为：2x【变式51】2.（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，(1)求直线AC的方程；(2)求顶点C的坐标.【答案】(1)2(2)(4,3).【分析】（1）方法一：由题意求出kBH=12，则kAC=−2，再利用点斜率可求出直线AC的方程；方法二：由题意设直线AC的方程为2x（2）联立直线AC与直线CM的方程可求出顶点C的坐标.【详解】（1）方法一：由AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0所以kAC又A(5，1)，所以AC边所在直线方程为y−1=−2(x方法二：由AC边上的高BH所在直线方程为x−2故可设直线AC的一般式方程为：2x把A(5，1)的坐标代入上述方程，得：c所以AC边所在直线方程为:2x（2）联立直线AC与直线CM的方程得，2x+所以顶点C的坐标为(4,3).◆类型2由一般式求直线方程【例题52】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线l过点−1,2且与直线2x−3yA．2x−3yC．3x+2y【答案】C【分析】求出直线l的斜率，然后利用点斜式可写出直线l的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2x−3y+4=0的斜率为23因此，直线l的方程为y−2=−32故选：C.【变式52】1.（2023秋·高二课时练习）经过点(1,2)，且与直线2xA．x−2y+3=0 B．x+2y−3=0【答案】A【分析】根据给定条件，设出所求的直线方程，利用待定系数法求解作答.【详解】设与直线2x+y−10=0垂直的直线方程为x−2所以所求的直线方程为x−2故选：A【变式52】2.（2022春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期中）求经过直线l1:3x（1）与直线2x（2）与直线2x【答案】（1）2x+3y【解析】（1）先求出M，再设所求的直线为2x+3y+c（2）设所求的直线为3x−2y+b【详解】（1）由题意知：联立方程组3x+4y因为所求直线与直线2x故设所求直线的方程为2x代入(−1,2)，解得c=−4，即所求直线方程为（2）设与2x+3因为过点(−1,2)，代入得b=7故所求直线方程为3【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.【变式52】3.（2021春·北京·高二统考期末）(1)直线l1:2x+m+1y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行,求实数m的值；（2）求过直线【答案】（1）m=2或m=−3；（2）【分析】（1）利用两条直线平行的条件列方程，由此求得m的值；（2）先求得两条直线交点的坐标，根据点斜式求得所求直线方程.【详解】（1）由于两条直线平行，故2×3−mm+1=0，解得（2）由3x+4y−2=02x+故所求与之垂直的直线斜率为−2，由点斜式得y−2=−2x+2故要求的直线方程为2x题型6过交点的直线系方程【方法总结】过两直线交点的直线系方程过直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2=0）=0（λ为参数，不包含l2）【例题6】（2022秋·高二课时练习）过两直线l1:xA．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】设过两直线交点的直线系方程为x−3y+4+【详解】设过两直线交点的直线系方程为x−3代入原点坐标，得4+5λ=0，解得故所求直线方程为x−3y+4−故选：D.【变式61】1.（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线l1的方程为2x+2y−5=0，若直线l2在(1)求直线l1和l(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为25【答案】(1)（1,3(2)x+y−【分析】（1）由l1⊥l2，可得直线l2（2）由题意知l3的斜率k存在，设l【详解】（1）（1）因为l1⊥l2，又直线所以直线l2的斜率k2=1由y所以直线l1和l2的交点坐标为（2）由题意知l3的斜率k存在，设令x=0得y=32−因为直线l3与两坐标轴的正半轴相交，所以32−由S=12−即l3:x【变式61】2.（2023·全国·高三对口高考）已知△ABC中，B1,2，BC边上的高线AD方程为x−2y+1=0，角A平分线方程为y【答案】AC：y=−x−1，【分析】由AD的斜率求出BC的斜率，利用点斜式求出BC的方程，依题意AC与AB关于x轴对称，设A(a,0)，又点A在直线AD上，代入求出a，即可求出直线AB【详解】因为BC边上的高线AD所在直线的方程为x−2则kAD=12，∴k即2x∵∠BAC的平分线所在直线方程为y=0，则AC与AB关于x轴对称，∴设又点A在直线AD上，∴a−0+1=0，∴a点B的坐标为(1,2)．∴直线AB方程为：y=x+1又AC与AB关于x轴对称，所以直线AC的方程为y=−所以直线AC的方程为：y=−x−1，直线BC

【变式61】3.（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知直线l经过两条直线l1:x+y−1=0与l2:x−y【答案】x=−2或【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解.【详解】由x+y−1=0所以P−2,3设直线l的斜率为k，则3−k1+所以直线l的方程为y−3=33当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2所以直线l的方程为x=−2或x【变式61】4.（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）过点P3,0作一条直线l，它夹在两条直线l1：2x−y−2=0和l2A．8x+yC．8x+y【答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为y=kx−3，进而得出交点，根据点【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：x=3所以直线斜率存在设为k，则直线l方程为y=联立直线l1得：y联立直线l2得：，y所以直线l与直线l1，直线l3k又直线l夹在两条直线l1和l2之间的线段恰被点所以3k解得：k=8所以直线l的方程为：8x故选：B.【变式61】5．（2023春·上海杨浦·高二校考期中）在△ABC中，顶点A的坐标为3,3，∠C的平分线所在直线的方䅣为l1：2x−y+1=0(1)求点C的坐标；(2)求边BC所在直线的一般式方程．【答案】(1)−1,−1(2)7【详解】（1）设点C的坐标为a,由已知点a,b在直线2x又线段AC的中点为a+3点a+32,b+3解得a=−1,所以点C的坐标为−1,−1；（2）由已知点A3,3关于直线2x−y+1=0所以2×m+32−n所以点D的坐标为−1所以直线BC的斜率为235所以直线BC的方程为y+1=7x+1题型7取值范围问题【例题7】（2023秋·高二课时练习）若直线ax+y−4=0A．a<−1或a>2 B．a>−1 C．a【答案】D【分析】先求得两直线的交点坐标，再根据题意列出不等式组，求解即可.【详解】联立ax+y−4=0因为直线ax+y−4=0所以6a+1>0故选：D【变式71】1.（2023秋·高二课时练习）直线2x+my【答案】(−∞,−2)∪(−2,+∞)【分析】根据两直线相交的条件即可求解.【详解】因为直线2x+my+1=0与直线所以m+2≠0，解得m所以m的取值范围为(−∞,−2)∪(−2,+∞).故答案为：(−∞,−2)∪(−2,+∞)【变式71】2.（2021秋·北京·高二校考期中）下列说法正确的个数是（

）①“m=1”是“直线mx+y②直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则a＝﹣1③经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0④设直线l的方程为3x−ysinA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据两直线平行与垂直的判定方法判断①②，根据直线的截距式方程可判断②，根据直线斜率与倾斜角的关系可判断④.【详解】①：当m=1时，直线x+y=1与直线x−y=1互相垂直；当m=0时，直线y=1②：由直线ax+2y+6=0与直线x解得a=−1或a=2，当a=2时，直线2所以a=−1③：经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0故③错误；④：当直线斜率不存在即倾斜角α为π2时，直线方程为x=−233，符合题意；当斜率存在即sin所以k∈(−∞，−3]∪[3，+∞)，由k故选：B【变式71】3.(多选)（2022·