2024-2025学年山东省日照市高三上册10月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省日照市高三上学期10月月考数学检测试卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合，，，则，.故选：A.2.已知，且，则的最大值为（）A.8 B. C. D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由，，得，当且仅当，即时取等号，因此，所以的最大值为.故选：B3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用函数奇偶性排除两个选项，再利用时，函数值的正负判断即可.【详解】函数定义域为，，因此函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AC；当时，，则，排除D，选项B符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为的扇形围成圆锥的底面圆半径，则，解得，该圆锥的高，体积为，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径，则，解得，该圆锥的高，体积为，所以该圆台的体积为.故选：C5.设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】由可得或，由递增得出恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列的公比为，由，得，则或，由数列为递增数列，得，即，，因此，所以“数列为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数的最小值为（）A. B. C.3 D.5【正确答案】B【分析】根据给定条件，分段探讨函数的单调性，进而求出最小值.【详解】当时，函数在上单调递增，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以当时，.故选：B7.已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且成等比数列，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】A【分析】根据递推公式求出，，再根据成等比数列，可求的值.【详解】因为点在函数的图象上，所以，所以，，，，因为成等比数列，所以或（舍去）.故选：A8.已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（）A.0 B. C.2025 D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出函数及的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由，得，则函数图象关于点对称，令，则，因此函数的图象关于点对称，显然函数与的图象对称中心相同，则函数与的图象的交点关于点对称，不妨令点与关于点对称，则，，所以.故选：C结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.函数的最小值为【正确答案】BC【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可.【详解】对A，当时，，故A错误；对B，当，则，则，故B正确；对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确；对D，当时，，故D错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（）A.的边数为128 B.C.的边数为 D.【正确答案】BCD【分析】根据给定信息，归纳可得的边数判断AC；依次计算归纳得所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令图形的边长为，，边数是3；根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即；图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，C正确；的边数为，A错误；由图形规律知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为，则，整理得，数列是等比数列，图形的面积，，D正确；，B正确.故选：BCD11.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.仅有一个极值点C.当时，图象的一条切线方程为D.当时，有唯一的零点【正确答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据三次函数的性质判断B，根据导数的意义求切线判断C，利用极值点的符号判断D.【详解】对A：设，则函数为奇函数，图象关于原点对称，将的图象向上平移2个单位，得函数的图象，故函数的图象关于点对称，A正确；对B：由三次函数的性质可知，函数要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B错误；对C：当时，，.由或.若，则，所以在处的切线方程为：即；若，则，所以在处的切线方程为：即.故C正确；对D：因为，若，则在上恒成立，则在上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数只有一个零点；若，由，由或.所以函数在和上单调递增，在上单调递减，要使函数只有1个零点，须有（因为，所以不成立），即，得.综上可知：当时，函数有唯一的零点，故D正确.故选：ACD方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______.【正确答案】【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，，，显然，由“”是“”的充分不必要条件，得，当时，，符合题意，当时，方程的根为和，显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意，所以实数的所有取值组成的集合是.故13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：）【正确答案】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由，得，在菱形中，连接并取其中点，连接，则，由正六边形的边长，得，由蜂巢结构特征知，，又都垂直于平面，则，于是四边形是平行四边形，有，则，因此一个菱形的面积为，所以上顶的面积为.故14.已知函数，则的最小值为______；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是______.【正确答案】①.②.【分析】空1，直接求导利用的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知定义域为显然，当时，f'x<0，当时，f'x>0，所以的最小值为；由题可知，所以由题可知恒成立，当，显然当时，，故不成立；当时，，因为x∈0,+∞，所以，故成立；当时，由恒成立，得恒成立，即不妨令，所以所以显然当x∈0,1时，ℎ'x当时，ℎ'x<0，所以，即综上所述：故；0,2关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列满足.（1）比较的大小，并写出过程；（2）设数列的前项和为，证明.【正确答案】（1）（2）证明见解析.【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到，再求进行判断即可.【小问1详解】因为，所以.若，则，这与矛盾.所以.故.【小问2详解】由，所以.所以.由（1）可知：，所以.16.已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，.（1）判断的奇偶性；（2）解不等式.【正确答案】（1）偶函数，理由见解析（2）【分析】（1）对两边同时求导即可证明；（2）构造函数，求导得到其单调性即可得到在上大于零，在上小于零，再根据其奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为为奇函数，定义域为，所以，两边同时求导可得，即，所以为偶函数.【小问2详解】因为当时，，所以.构造函数，则，所以当时，在上单调递增，又因为，所以在上大于零，在上小于零，又因为，所以在上大于零，在上小于零，因为是定义域为的奇函数，所以在上小于零，在上大于零，综上所述，的解集为.17.如图，在四棱锥中，侧棱底面，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的性质得，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记，如图.因为，，所以，所以，由等腰三角形三线合一知，即，又底面平面，所以，因为，且平面平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，连接，则，所以平面，所以三条直线两两互相垂直，以所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意及（1）知，则，所以，设平面的法向量为，同理设平面的法向量为，则，可取.所以，所以平面与平面夹角的余弦值为，所以平面与平面夹角的正弦值为.18.设函数.（1）讨论的单调区间.（2）已知直线是曲线在点处的切线.（i）求直线的方程；（ii）判断直线是否经过点.【正确答案】（1）答案见解析；（2）（i）；（ii）不经过.【分析】（1）求出函数的导数，再按和分类求出的单调区间.（2）（i）由（1）结合导数的几何意义求出切线的方程；（ii）令，求出的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，当时，，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，则恒有，函数在上单调递增，所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，无递减区间.【小问2详解】（i）由（1）知，，而，则直线的方程为，即.（ii）由（i）知，直线的方程为，当时，，令，而，求导得，函数在上单调递增，因此，即，，而，于是，所以直线不经过点.19.设数阵，其中.设，其中且.定义变换为“对于数阵每一列，若其中有或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有且没有，则这一列中每个数都乘以”，表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为.（1）若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；（2）若，求所有取值的和；（3）对任意确定的一个数阵，证明：所有取值的和不大于；（4）如果，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析（4）【分析】（1）先写出，再计算得，最后相加即可；（2）分和或以及讨论即可；（3）分若和两大类讨论即可；（4）直接代入计算得，即可得到答案.【小问1详解】因为，经过变换后得到数阵，经过变换后得到数阵，所以.【小问2详解】若，则或，可得种情况；若或，则，可得种情况；若，从和中各取出一个元素，，，则，可得种情况；若，则或，可得种情况.综上，所有取值的和为.【小问3详解】若，在的所有非空子集中，①含有且不含的子集共个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为；②含有且不含的子集共个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为；③同时含有和的子集共个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为；④不含也不含的子集共个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为.若，在的所有非空子