2025年外研版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、若任意x∈A，则就称集合A是“和谐”集合，则在集合的所有127个非空子集中任取一个集合；是“和谐”集合的概率为（）

A.

B.

C.

D.

2、运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为（）A.B.C.D.3、在直角坐标系内，满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是（）4、【题文】已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm5、【题文】数列满足且则此数列第5项是A.15B.255C.16D.636、已知第一象限的点在直线上，则的最小值为()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、如图所示，在杨辉三角中，斜线上方从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列1，3，3，4，6，5，10，，记此数列为{an}，则a21=____．

8、函数任取使的概率为____．9、【题文】已知观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：____。10、设则=______．11、直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____________．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)18、(本题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．(1)求EF的长；(2)证明：EF⊥PC．评卷人得分五、计算题(共4题，共36分)19、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．20、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).21、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式22、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

基本事件总数为127．

其中包含的“和谐”集合为：{2}，{5}，{1}，{-1}，{2，1}，{2，-1}，{2，5}，{-1，1}，{-1，5，}，{1，5，}，{-1，1，5，2}

，{-1，5，2}，{1，5，2}，{-1，1，5，}，{-1，1，2}共15件．

所以“和谐”集合的概率为．

故选A．

【解析】【答案】根据“和谐”集合的概念求出集合M的所以“和谐”集合；在利用古典概型的概率公式求出概率即可．

2、A【分析】【解析】试题分析：由程序框图知，运行50次，输出50个数；输出的k为1,3,5，，99.其中为5的倍数的有5,15,25，，95共10个数，所以输出的数是5的倍数的概率为=考点：本题主要考查程序框图，古典概型概率的计算。【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】试题分析：由x2-y2≥0得：即或再有线性规划的方法画出即可。考点：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域．【解析】【答案】B.4、C【分析】【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】由且得【解析】【答案】B6、A【分析】【分析】因为点在直线上，所以即因为点为第一象限的点，所以所以

【点评】此类题目中，利用“1”的整体代换只用了一次基本不等式，可以保证等号能够取到。利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

根据图中锯齿形数列的排列；发现。

a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3；；

∴a21=1+2+3++11==66．

故答案为：66．

【解析】【答案】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项公式，即可得到a21的值．

8、略

【分析】【解析】

函数任取使结合二次函数图像和几何概型概率公式得到为【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】解：由于定义当x∈[1，e]时，f（x）=

则=

==

=

故答案为．

由于函数f（x）为分段函数，则=再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．

本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．【解析】11、略

【分析】解：直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分；直线过圆心，圆的方程可知圆心(1，2)，且不通过第四象限；

斜率最大值是2；如图．

那么l的斜率的取值范围是[0；2]

故答案为：[0，2]．【解析】[0，2]三、作图题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共8分)18、略

【分析】【解析】试题分析：(1)以A为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，2分由条件知：AF=2，3分∴F(0，2，0)，P(0，0，2)，C(8，6，0)．4分从而E(4，3，)，∴EF==6．6分(2)证明：=(-4，-1，-)，=(8，6，-2)，8分∵=-4×8+(-1)×6+(-)×(-2)=0，10分∴EF⊥PC．12分考点：利用空间向量求距离证明垂直关系【解析】【答案】(1)6(2)见解析五、计算题(共4题，共36分)19、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．20、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.21、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么对于只需即则4分（2）当时：即则当时：即则当时：即则10分那么不等式的解集为12分【解析】【答案】（1）（2）22、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。六、综合题(共3题，共6分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）