2025年仁爱科普版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册阶段测试试卷455考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、O为△ABC平面上一定点，该平面上一动点p满足则△ABC的（）一定属于集合M．

A.重心。

B.垂心。

C.外心。

D.内心。

2、定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（）

A.-

B.-

C.

D.

3、设是偶函数，那么的值为（）A.1B.－1C.D.4、为等差数列，则下列结论错误的是()（A）（B）（C）（D）5、【题文】设为定义在上的奇函数，当时，则（）A.1B.-1C.-3D.36、【题文】

已知集合则集合中的元素。

个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无穷多个7、函数y=f（x）和x=2的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.0个或1个8、在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(

图中阴影部分)

中的概率是(

)

A.14

B.18

C.娄脨4

D.娄脨8

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、若点P在直线上，则10、【题文】对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____.11、【题文】对于给出下列四个不等式。

①②

③④

其中成立的是____12、【题文】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xÎR恒有f(x＋1)＝－f(x)，已知当xÎ[0，1]时，f(x)＝3x.则。

①2是f(x)的周期；②函数f(x)的最大值为1；最小值为0；

③函数f(x)在(2；3)上是增函数；④直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴.

其中所有正确命题的序号是____.13、【题文】已知一个几何体的三视图如下图所示；则此几何体的全面积为________

。14、计算：2lg5+lg4=____．15、若函数f(x)=e|x鈭�a|(a隆脢R)

满足f(1+x)=f(鈭�x)

且f(x)

在区间[m,m+1]

上是单调函数，则实数m

的取值范围是______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、计算题(共1题，共7分)23、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．评卷人得分五、作图题(共3题，共6分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

26、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、解答题(共4题，共12分)27、【题文】已知函数的定义域为且对任意都有且当时，恒成立；

证明：（1）函数是上的减函数；

（2）函数是奇函数。28、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的部分图象如图所示：

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若f（α+）=且＜α＜π，求的值．29、某校从参加考试的学生中抽出60名学生；将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求成绩落在[70；80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

（Ⅲ）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．30、已知一次函数f(x)

满足f(3)鈭�3f(1)=42f(0)鈭�f(鈭�1)=1

．

(I)

求这个函数的解析式；

(II)

若函数g(x)=f(x)鈭�x2

求函数g(x)

的零点．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

如图：D是BC的中点；

在△ABC中，由正弦定理得，

即设t=

代入得；

①；

∵D是BC的中点，∴代入①得；

∴且λ、t都是常数，则

∴点P得轨迹是直线AD；

△ABC的重心一定属于集合M；

故选A．

【解析】【答案】由题意画出图象，根据正弦定理设t=再代入关系式由向量的减法化简，判断出即得点P得轨迹图形，再得到正确答案．

2、A【分析】

∵f（x+2）=f（x）

∴函数f（x）的周期为T=2

∴

又∵f（x）是R上的奇函数。

∴

又∵当0≤x≤1时；f（x）=2x（1-x）

∴

∴

故选A

【解析】【答案】由已知条件推导出周期；再用周期和奇偶性把自变量的范围化到[0，1]范围上，用[0，1]上的解析式即可求值。

3、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于设是偶函数，说明f(-1)=f(1)解得故可知选D.考点：函数的奇偶性【解析】【答案】D4、C【分析】由题意得所以A,B,D正确，故选C【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C7、D【分析】解：根据函数y=f（x）的定义；当x=2为定义域内一个值，有唯一的一个函数值f（x）与之对应，函数y=f（x）的图象与直线x=2有唯一交点．

当x=2不在定义域内时；函数值f（x）不存在，函数y=f（x）的图象与直线x=2没有交点．

故函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点；

即函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点的个数是0或1；

故选：D．

根据函数的定义可得函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点；由此得到结论．

本题主要考查函数的定义，函数图象的作法，属于基础题．【解析】【答案】D8、D【分析】解：由题意知本题是一个几何概型；

试验发生包含的事件对应的图形是一个正方形；

若设正方形的边长是2

则正方形的面积是4

满足条件的事件是直径为2

的半圆面积是12娄脨

隆脿

落在正方形内切圆的上半圆(

图中阴影部分)

中的概率是12娄脨隆脗4=娄脨8

故选D．

本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的图形是一个正方形，若设正方形的边长是2

则正方形的面积是4

满足条件的事件是直径为2

的半圆面积是12娄脨

根据面积之比做出概率．

本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．【解析】D

二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】试题分析：由题知=-2显然≠0，两边同除以得，=-2，∴=．由点P在直线上得=-2显然≠0，两边同除以得，=-2，∴=．考点：点与直线的位置关系；同角三角函数基本关系式；两角和与差的三角公式【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：时原不等式可以化为不能对于任意实数恒成立；时，由二次函数的性质，且所以因此

考点：1、分类讨论思想；2、二次函数的性质.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】解：因为利用对数函数的单调性可知，1中应为2成立，3中应为错误，4成立，故为②④【解析】【答案】②④12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】①③④13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____14、2【分析】【解答】解：2lg5+lg4=2（lg5+lg2）=2lg10=2．

故答案为2．

【分析】把lg4化为2lg2，提取2后直接利用对数式的运算性质得答案．15、略

【分析】解：函数f(x)=e|x鈭�a|(a隆脢R)

的图象关于直线x=a

对称；

若函数f(x)

满足f(1+x)=f(鈭�x)

则函数f(x)

的图象关于直线x=12

对称；

即a=12

故函数f(x)=e|x鈭�a|=e|x鈭�12|

故函数f(x)

在(鈭�隆脼,12]

上为减函数，在[12,+隆脼)

为增函数；

若f(x)

在区间[m,m+1]

上是单调函数；

则m鈮�12

或m+1鈮�12

解得：m隆脢(鈭�隆脼,鈭�12]隆脠[12,+隆脼)

故答案为：(鈭�隆脼,鈭�12]隆脠[12,+隆脼)

由已知可得函数f(x)=e|x鈭�a|=e|x鈭�12|

则函数f(x)

在(鈭�隆脼,12]

上为减函数，在[12,+隆脼)

为增函数；进而可得实数m

的取值范围．

本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的对称性，难度中档．【解析】(鈭�隆脼,鈭�12]隆脠[12,+隆脼)

三、证明题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、计算题(共1题，共7分)23、略

【分析】【分析】（1）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）将常数项移到右边；开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

变形得：（3x+1）2=4；

开方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

开方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．五、作图题(共3题，共6分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．六、解答题(共4题，共12分)27、略

【分析】【解析】证明：(1)设则而

∴

∴函数是上的减函数;

(2)由得

即而

∴即函数是奇函数。【解析】【答案】证明见解析28、略

【分析】

（1）由题意和图象可知A值和周期T，进而可的ω，代入点可得φ值；可得解析式；

（2）由已知和同角三角函数基本关系可得化简可得原式=分别代入计算可得．

本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数式的化简运算和分类讨论思想，属中档题．【解析】解：（1）由题意和图象可知A=2，T=2[-（-）]=2π；

∴ω===1；∴f（x）=2sin（x+