2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷374考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、函数的零点一定位于区间（）A.B.C.D.2、某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下：()甲：9082889694；乙：9486889092A.甲的平均成绩比乙好B.甲的平均成绩比乙差C.甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好D.甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好3、在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为那么b等于()A.B.1＋C.D.24、对于平面和直线aa、b、m、n，下列命题中真命题是()A.若则B.若则C.若则D.若则5、已知则等于（）A.7B.C.-D.-76、某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A.800B.900C.1000D.11007、函数y=2tan(3x－)的一个对称中心是()A.（0）B.（0）C.（0）D.（－0）8、若ax2+bx+c>0

的解集为(鈭�隆脼,鈭�2)隆脠(4,+隆脼)

则对f(x)=ax2+bx+c

有(

)

A.f(5)<f(2)<f(鈭�1)

B.f(2)<f(5)<f(鈭�1)

C.f(鈭�1)<f(2)<f(5)

D.f(2)<f(鈭�1)<f(5)

9、若sin娄脕+cos娄脕2sin伪鈭�cos伪=2

则tan娄脕=(

)

A.1

B.鈭�1

C.34

D.鈭�43

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、（理）由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y-1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1：V2=____．

11、cos40°cos20°-sin40°sin20°的值等于____．12、【题文】设一个函数的解析式为它的值域为则该函数的定义域为____.13、【题文】在三棱锥中，底面为边长为的正三角形，顶点在底面上的射。

影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为。

则三棱锥外接球的表面积为__________．14、【题文】在中，分别为角的对边，若且则边等于.15、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB-sinC=sinA，2b=3c，则cosA=______．16、若=（2，3），=（-4，7），则在上的投影为______．17、已知不等式ax2+5x+b＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，则不等式bx2+5x+a＞0的解集为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)18、已知为定义域上的奇函数（其中m为常数）；

（Ⅰ）试求出实数m的值和f（x）解析式；

（Ⅱ）若函数g（x）=2ax-22（其中a＞0；a≠1）在[-2，2]上的最大值为m，试求实数a的值．

19、我国是水资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市每户每月用水收费办法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费.且有如下两条规定：①若每月用水量不超过最低限量立方米，只付基本费10元加上定额损耗费２元；②若用水量超过立方米时，除了付以上同样的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米加付元的超额费.解答以下问题：（1）写出每月水费（元）与用水量（立方米）的函数关系式；（2）若该市某家庭今年一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：。月份用水量（立方米）水费（元）一517二622三12试判断该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值．20、已知数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列是等差数列，求非零常数的值；（3）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．21、【题文】（本题满分12分）

已知函数．

（1）判断该函数在区间（2；＋∞）上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数在区间［3,6］上的最大值和最小值．22、【题文】某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板；沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝x(米)；用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

(2)若要求最节能；应怎样设计薄板的长和宽？

(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？23、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．

（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD

24、如图；在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1．

（1）求证：CD⊥PC

（2）设M为PD的中点；证明：CM∥平面PAB

（3）若PA=1，求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．25、为了解某地区某种农产品的年产量x(

单位：吨)

对价格y(

单位：千元/

吨)

和利润z

的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：。x12345y7.06.55.53.82.2(

Ⅰ)

求y

关于x

的线性回归方程y虃=b虃x+a虃

(

Ⅱ)

若每吨该农产品的成本为2

千元；假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z

取到最大值？(

保留两位小数)

参考公式：b虃=i=1n(xi鈭�x.)(yi鈭�y.)i=1n(xi鈭�x.)2=i=1n(xiyi)鈭�nx.y.i=1nxi2鈭�nx2a虃=y.鈭�b虃x.

．评卷人得分四、证明题(共1题，共9分)26、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)27、若a、b互为相反数，则3a+3b-2的值为____．28、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M；交DC于N．

（1）设AE=x；试把AM用含x的代数式表示出来；

（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．29、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，则p=____，q=____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】【解析】试题分析：∵∴函数的零点一定位于区间（2,3）内，故选B考点：本题考查了零点存在性定理的运用【解析】【答案】B2、D【分析】试题分析：因为所以有所以答案选D.考点：样本平均数与方差【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】

因为【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】对于平面和直线真命题是“若则”.5、B【分析】【解答】因为所以，选B.6、B【分析】【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=

则抽取初三年级的人数应为81000×=900人；

故选：B．

【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．7、C【分析】【解答】令3x－=得当k=0时，此时函数y=2tan(3x－)的一个对称中心是（0)，故选C

【分析】熟练掌握正切函数图象及性质是解决此类问题的关键，属基础题8、D【分析】解：ax2+bx+c>0

的解集为(鈭�隆脼,鈭�2)隆脠(4,+隆脼)

可知鈭�24

是ax2+bx+c=0

的两根；

由根与系数的关系，所以{(鈭�2)脳4=ca鈭�2+4=鈭�ba

且a>0

所以{c=鈭�8ab=鈭�2a

函数f(x)=ax2+bx+c=ax2鈭�2ax鈭�8a=a(x2鈭�2x鈭�8)

抛物线对称轴为x=1

开口向上；

所以f(2)<f(鈭�1)<f(5)

故选D．

由已知，可知鈭�24

是ax2+bx+c=0

的两根，由根与系数的关系，得出，化函数f(x)=ax2+bx+c=ax2鈭�2ax鈭�8a=a(x2鈭�2x鈭�8)

利用二次函数图象与性质求解．

本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键，属基础题．【解析】D

9、A【分析】解：隆脽sin娄脕+cos娄脕2sin伪鈭�cos伪

=tan娄脕+12tan伪鈭�1=2

即tan娄脕+1=4tan娄脕鈭�2

解得：tan娄脕=1

．

故选A

已知等式的左边分子分母同时除以cos娄脕

利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于tan娄脕

的方程，求出方程的解即可得到tan娄脕

的值．

此题考查了同角三角函数间的基本关系的运用，涉及的关系式为tan娄脕=sin娄脕cos伪

熟练掌握基本关系是解本题的关键．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

因为旋转体的体积为V1由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它旋转之后应该构成的是一个圆柱内减去两个体积全等的圆锥的体积，即：利用体积的分割法可知又旋转体的体积为V2x2+y2≤4，x2+（y-1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，即：所以可得关系式V1：V2=4：3．

故答案为：4：3．

【解析】【答案】由于旋转体的体积为V1由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积的分割法可知

而旋转体的体积为V2x2+y2≤4，x2+（y-1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积分割法可以求得进而可得关系式V1：V2．

11、略

【分析】

cos40°cos20°-sin40°sin20°=cos（20°+40°）=cos60°=

故答案为．

【解析】【答案】直接利用两角和与差的余弦公式得出所求的式子等于cos60°；然后利用特殊角的三角函数求出结果．

12、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了函数的定义域与值域的关系的运用。

因为设一个函数的解析式为它的值域为则有2x+1=-1,2,3时，得到x的取值分别是故函数的定义域为

解决该试题的关键是将每一个函数值代入解析式得到对应的变量的值，组成的集合即为所求。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：设M是中心，即面∴是AE与面BCD所成角，EM是的内切圆半径r，

在中，∴

三棱锥外接球球心O在AM上，在中，即即即

考点：勾股定理、三棱锥的外接球的表面积.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：由及正、余弦定理知：整理得由联立解得：

考点：正弦定理、余弦定理.【解析】【答案】415、略

【分析】解：在△ABC中，∵2b=3c；

∴可得：b=

∵sinB-sinC=sinA；

∴由正弦定理可得：b-c=a，可得：-c=a；整理可得：a=2c；

∴cosA===．

故答案为：．

由已知可得b=又利用正弦定理可得b-c=a；进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得cosA的值．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】16、略

【分析】解：∵若=（2，3），=（-4；7）；

∴在上的投影为=

故答案为：

根据所给的两个向量的坐标，写出在上的投影的表示式；代入坐标求出结果，注意分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影．

本题看出向量的投影问题，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，本题是一个基础题．【解析】17、略

【分析】解：因为ax2+5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}

根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2+5x+b=a（x+3）（x-2）且a＜0；

解得a=5，b=-30．

则不等式bx2+5x+a＞0变为-30x2+5x+5＞0；

即6x2-x-1＜0，解得：-＜x＜

故答案为：（-）．

根据不等式ax2+5x+b＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，求出a，b的值，从而解不等式bx2+5x+a＞0即可．

考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，是一道基础题．【解析】（-）三、解答题(共8题，共16分)18、略

【分析】

（Ⅰ）【解析】

函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}；

且

对任意x∈{x∈R|x≠0}；由奇函数性质，有f（-x）+f（x）=0恒成立。

所以，即2m-20=0恒成立；

∴m=10，

（Ⅱ）函数g（x）=2ax-22（其中a＞0；a≠1）在[-2，2]上的最大值为10；

当a＞1时，ax为R上单调递增函数，g（x）=2ax-22在[-2，2]上单调递增，g（x）最大=g（2）=10

即：2a2-22=10，即a2=16；从而，a=4

当0＜a＜1时，ax为R上单调递减函数，g（x）=2ax-22在[-2，2]上单调递减，g（x）最大=g（-2）=10

即：2a-2-22=10，即a-2=16，从而，

综上，实数a的值为4或．

【解析】【答案】（I）由奇函数的定义知f（-x）+f（x）=0恒成立；将函数的解析式代入此方程，得到参数m的方程，求出m的值，即得函数的解析式．

（II）本题中所给的函数g（x）=2ax-22（其中a＞0；a≠1）单调性不定，故要按底数的取值范围进行分类讨论，得出函数的单调性，然后确定函数的最值在何处取到，利用函数解析式建立实数a的值，求值．

19、略

【分析】试题分析：（1）用水量不同，缴费的计算方式就不同.因此每月水费（元）与用水量（立方米）的函数关系式必是分段函数，需分段写，（2）对已知三个月的数据先做处理，按水费与的大小确定一月份和二月水费对应解析式中第二段，列关于二元方程组，可得的值.本题难点一是阅读量，二是对数据的正确处理.试题解析：（1）由题意得6分由表可知，一、二月份的用水量超过最低限量，三月份的用水量未超过最低限量8分由表可得13分考点：函数解析式.【解析】【答案】（1）（2）20、略

【分析】

（1）由已知，对所有，，1分所以当时，，2分当时，，3分因为也满足上式，所以数列的通项公式为（）．4分（2）由已知，5分因为是等差数列，可设（、为常数），6分所以，于是，所以，8分因为，所以，．10分（注：用为定值也可解，或用其它方法解，可按学生解答步骤适当给分）（3），12分所以14分由，得，因为，所以．所以，所求的最小正整数的值为．16分【解析】【答案】21、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）函数在区间（2；＋∞）是减函数2分。

证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x1<x2；则。

f(x1)－f(x2)=－＝4分。

由2<x1<x2，得x2－x1>0，(x1－2)(x2－2)>0

于是f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)

函数在区间（2；＋∞）是减函数．8分。

（2）由可知在区间［3,6］的两个端点上分别取得最大值和最小值，即当x=3时取得最大值3，当x=6时取得最小值．12分。

考点：定义法判定函数的单调性；利用单调性求最值。

点评：定义法判定单调性的步骤：1，所给区间取2，计算3，判定差值的正负号，4，得到函数单调性【解析】【答案】（1）在区间（2，＋∞）是减函数，证明：x1，x2是区间上的任意两个实数，且x1<x2，f(x1)－f(x2)=－＝由2<x12得f(x1)－f(x2)>0，所以函数在区间（2，＋∞）是减函数（2）最大值3，最小值22、略

【分析】【解析】解：(1)由题意；AB＝x，BC＝2－x.

x>2－x，故1<2.

设DP＝y；则PC＝x－y.

又△ADP≌△CB′P；故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2；

得(x－y)2＝(2－x)2＋y2；

y＝2(1－)，1<2.

(2)记△ADP的面积为S1；

则S1＝(1－)(2－x)＝3－(x＋)≤3－2

当且仅当x＝∈(1,2)时，S1取得最大值．

故当薄板长为米，宽为(2－)米时；节能效果最好．

(3)记凹多边形ACB′PD的面积为S2；

则S2＝x(2－x)＋(1－)(2－x)＝3－(x2＋)(1<2)；

于是S′2＝－(2x－)＝＝0，得x＝

关于x的函数S2在(1，)上单调递增，在(2)上单调递减，所以当x＝时，S2取得最大值．

故当薄板长为米，宽为(2－)米时，制冷效果最好．【解析】【答案】（1）y＝2(1－)，1<2.

（2）长为米，宽为(2－)米时；节能效果最好。

（3）薄板长为米，宽为(2－)米时，制冷效果最好23、证明：（1）由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形；

∴B1D1∥BD；

又BDË平面B1D1C，B1D1∥平面B1D1C；

∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD=D；

∴平面A1BD∥平面B1CD．

（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．

取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG；同理GF∥AD．

∴AG∥DF．

∴B1E∥DF．

∴DF∥平面EB1D1．

∴平面EB1D1∥平面FBD．【分析】【分析】（1）有B1B∥DD1⇒B1D1∥BD平⇒面A1BD∥平面B1CD．

（2）由AE∥B1G⇒B1E∥AG，再由AG∥DF⇒B1E∥DF，B1E∥DF⇒DF∥平面EB1D1．24、略

【分析】

（1）推导出AC⊥CD；PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥PC．

（2）取PA的中点N；连接BN；NM，推导出四边形BCMN为平行四边形，从而CM∥BN，由此能证明CM∥平面PAB．

（3）在平面ABCD中；AB与CD不平行，延长AB；CD交于一点，设为E，连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，过A作AF⊥PE于F，连接DF，则∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角，由此能求出侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】证明：（1）由已知得AC=2CD=2，

∵AC2+CD2=AD2；

∴∠ACD=90°；即AC⊥CD．

又∵PA⊥平面ABCD；CD⊂平面ABCD；

∴PA⊥CD．∵PA∩AC=A；

∴CD⊥平面PAC．∵PC⊂平面PAC；

∴CD⊥PC．（4分）

（2）取PA的中点N；连接BN；NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=1

又BC∥AD；且BC=1，所以MN∥BC，且MN=BC

即四边形BCMN为平行四边形；CM∥BN．

又CM⊄平面PAB；BN⊂平面PAB，故CM∥平面PAB．（8分）

解：（3）在平面ABCD中；AB与CD不平行，延长AB；CD交于一点，设为E；

连接PE；则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱；

又由题设可知DA⊥侧面PAB；于是过A作AF⊥PE于F；

连接DF；可得DF⊥PE；

可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．（10分）

在△EAD中，由BC∥AD，BC=AD

知B为AE为中点；∴AE=2；

在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=AF=故tan∠AFD=

∴侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为．（14分）25、略

【分析】

(I)

根据回归系数公式计算回归系数；

(II)

求出利润z

的解析式；根据二次函数的性质而出最大值．

本题考查了线性回归方程的求法，线性回归方程的应用，二次函数的最值，属于基础题．【解析】解：(

Ⅰ)x鈥�=3y鈥�=5

i=15xi=15i=15yi=25

i=15xiyi=62.7i=15xi2=55

隆脿b虃=鈭�1.23a虃=8.69

．

隆脿y

关于x

的线性回归方程为y虃=8.69鈭�1.23x

．

(

Ⅱ)z=x(8.69鈭�1.23x)鈭�2x=鈭�1.23x2+6.69x

．

所以x=6.692隆脕1.23=2.72

时，年利润z

最大．四、证明题(共1题，共9分)26、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．五、计算题(共3题，共9分)27、略

【分析】【分析】根据相反数的定义得到a+b=0，再变形3a+3b-2得到3（a+b）-2，然后把a+b=0整体代入计算即可．【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数；

∴a+b=0；

∴3a+3b-2=3（a+b）-2=3×0-2=-2．

故答案为-2．28、略

【分析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME；根据勾股定理求出即可．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2，代入求出即可．