2024年吉林省长春市中考数学考前模拟试卷（附答案解析）

2024年吉林省长春市中考数学考前模拟试卷（6月份）

一、选择题。

1.若〃与-2互为倒数，则〃的相反数是（）

1

A.-2B.C.一D.2

2

2.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉,2022年我国共授权发明专利798000件，数据798000用科

学记数法表示为（）

A.7.98X103B.798X103C.7.98X105D.0.798X103

3.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

4.下列命题中是真命题的是（）

A.确定性事件发生的概率为1

B.平分弦的直径垂直于弦

C.正多边形都是轴对称图形

D.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

5.如图，以量角器的直径A3为斜边画直角三角形ABC,量角器上点。对应的读数是100°,则NBCD

的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.80°

6.一张小凳子的结构如图所示，AC=BC,Zl=100°,BC=20cm,则AB等于（

A.20sin50°cmB.40cos50°cm

2040

C.---------cmD.---------cm

sm50°cos50°

，尺规作图的痕迹如图所示.若AC=2,AB=5,则线段CD的长为（）

462721

A.-B.-C.V21-3D.-------

357

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的边。4在y轴的正半轴上，边OC在x轴的正半轴上，函数

y=/（％>0）的图象经过对角线05的中点。，分别交边A3、5C于点E、点R连结。E、DF、EF.若

△。斯的面积为1,则左的值为（)

y

E

AB

8

B-C6

3D.

9.分解因式：8a-2ab=.

10.请填写一个常数，使得一元二次方程/-6%+=0没有实数根.（填写一个即可）

11.一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放.若Nl=132。，则N2的大小为度.

12.如图，在△ABC中，ZACB=90°，中线AD.BE相交于点O.若AC=4fCB=3,贝ljOB的长

为

c

13.如图，将半径为2,圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形8AC

的弧AC上的点。处，点C的对应点为点E,则图中阴影部分图形的周长为.

(结果保留7T)

14.二次函数y—x2-2ax+a(a为常数)的图象经过点A(-4,yi)、B(-1,”)、C(3,*).若jl>

yi>yi,则a的取值范围为.

三、解答题。

1

15.计算：(-2023)°-3tan30°-+V12.

16.一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共3只，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子中

随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，发现多次实验后摸到白球的频率会逐渐接近

0.67.

(1)箱子中的红球有个.

(2)从该箱子里随机摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再摸出一个球记录颜色.用画树状图(或

列表)的方法，求摸到一个红球和一个白球的概率.

17.一艘轮船顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为

21千米/小时，求水流的速度.

18.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,/BDC=9G°,E是边8C的中点，连接。E.

(1)求证：四边形A3即是菱形.

(2)过点E作EF1.AB于点F.若EF=4,sin乙ABE=等，则四边形ABCD的面积

为

A

19.图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点

称为格点，点A、2、尸均在格点上.在图①、图②中只用无刻度的直尺，按下列要求作图，保留适当

的作图痕迹.

(1)在图①中，画以点A、8为顶点，以点P为对称中心的平行四边形A3CO.

(2)在图②中，利用图①所作的平行四边形，在边42上确定点在边上确定点N,连接PM、

MN,使PM+MN的值最小，这个最小值为.

PP

一一—J__-।

___________________

APAB

图①图②

20.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康.某市药监部门为了了解市民

家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查.

收集整理数据：本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如表：

处理方式A继续使用8直接丢弃C送回收点。搁置家中E卖给药贩厂直接焚烧

所占比例8%51%10%20%6%5%

(1)设计调查方式：有下列选取样本的方法：

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；

②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；

③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.

其中最合理的一种是.(只需填上正确答案的序号)

(2)描述数据：此次抽样的样本数为1000户家庭，图是根据调查结果绘制的不完整的条形统计图，请

补全此条形统计图.

处理过期药品方式的家庭数条形统计图

ABCDEF处理方式

(3)分析数据：根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是

(4)分析数据：家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有800万户家庭，请估计大约有多

少户家庭处理过期药品的方式是正确的.

21.甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作过程中的工作效率均始终保持不

变.甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，只有乙机器臂在工作，当甲机器

臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作.如图是两个机器臂组装零件的总量y(个)

与乙机器臂在甲机器臂发生故障后工作的时间无(分)之间的函数图象.

(1)甲机器臂在正常工作过程中的工作效率是每分钟组装个零件.

(2)求甲机器臂排除故障后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(3)本次工作中甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用了多少分钟？

22.【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若A2=5,AC=3,求BC

边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E,使得，

DE=AD,再连接BE(或将△ACZ)绕点。逆时针旋转180°得到△EB。)，把AB、AC.24。集中在△

A8E中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AO<4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段

延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线

的方法称为“中线加倍”法.

【解决问题】如图②，在△ABC中,点。是边BC的中点，点E在边A8上，过点。作。FLOE,交

边AC于点F,连接EE

图3

(1)求证：BE+CF>EF.

(2)若/A=90°,则线段BE、CF、所之间的等量关系为

(3)【应用拓展】如图③，在△ABC中，/A8C=90°,点。为边AC的中点，点E和点尸分别在边

AB.8C上，点M为线段EF的中点.若AE=2,CF=5,则DM的长为

23.如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,点P在边AC上(点尸与点C不重合)，连结

PB,过点C作CQJ_射线8P于点0.

(1)当点。在△ABC内部时，求AP长的取值范围.

(2)连结AQ,则AQ长的最小值为.

(3)当△8CP是等腰三角形时，求△BC。的面积.

(4)当tcmNPCQ=|时，直接写出AP的长.

24.在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c(b、c为常数)顶点M的坐标为(2,-5)，点尸、点。均

在这个抛物线上，点P的横坐标为相，点。的横坐标为2-租，将此抛物线上P、Q两点之间的部分(包

括P、。两点)记为图象G.

(1)求b和c的值.

(2)当点尸与点。重合时，求点P的坐标.

(3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为4,求1与加之间

的函数关系式.

(4)矩形ABC。的顶点分别为A(2/77-1,2)、B(1-m,2)、C(1-m,-3),当图象G在矩形ABCZ)

内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

2024年吉林省长春市中考数学考前模拟试卷（6月份）

参考答案与试题解析

一、选择题。

1.若。与-2互为倒数，则a的相反数是（)

1

A.-2B.c.—D.2

2

【解答】解：根据倒数的定义得：a«（-2）1,

解得a--

根据相反数的定义,

的相反心

故选：C.

2.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉,2022年我国共授权发明专利798000件，数据798000用科

学记数法表示为（）

A.7.98X103B.798X103C.7.98X105D.0.798X103

【解答】解：798000=7.98X1()5.

故选：C.

3.如图是某几何体的展开图，该几何体是()

B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

【解答】解：由题意知，图中展开图为圆锥的展开图,

故选：C.

4.下列命题中是真命题的是（）

A.确定性事件发生的概率为1

B.平分弦的直径垂直于弦

C.正多边形都是轴对称图形

D.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

【解答】解：确定性事件发生的概率为1或0,故A错误;

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故8错误；

正多边形都是轴对称图形，故C正确；

两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，

故选：C.

5.如图，以量角器的直径42为斜边画直角三角形ABC,量角器上点D对应的读数是100°则N5CD

的度数为（）

c

A.30°B.40°C.50°D.80°

【解答】解：设的中点为。，连接OD,如图所示：

,/以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC,

；.A、C、B、。四点共圆，

:量角器上点。对应的读数是100°,

：.ZBOD=18Q°-100°=80°,

i

ZBCD=^ZBOD=40°,

6.一张小凳子的结构如图所示，AC=BC,Zl=100°,BC=20cm,则A3等于（）

A.20sin50°cmB.40cos50°cm

2040

C.---------cmD.---------cm

sin50°cos50°

【解答】解：过点C作CDLA8,垂足为。,

D

X

*/Z1是AABC的一个外角，

.".Zl=Z2+ZCAB=100°,

■:CA=CB,

：.Z2=ZCAB=50°,

・；CD_LAB,

：.AB=2BD,

在R”\5C£>中，BC=20cm,

：.BD=BC-cos50°=20cos50°(cm),

：.AB=2BD=40cos50°(cm),

故选：B.

7.在△ACS中，NAC8=90°,尺规作图的痕迹如图所示.若AC=2,AB=59则线段C。的长为（)

46-2V21

A.-B.-C.Vy21-3D.-------

357

【解答】解：由作法得：平分N8AC,DELAB,

VZACB=90°,BPCD±AC,

・•・CD=DE,

在RtAADE和RtAADC中，

(AD=AD

IDE=DC'

：.RtAADE^RtAADC(HL),

：.AE=AC=2,

：.BE=AB-AC=3.

在Rtz\AC8中，AC=2,AB=5,BC=y/AB2-AC2=V21,

设CD=x,则DE=x,BD=V21-x,

在Rt/XBEZ)中，BD1=BE2+DE1,

(V21—x)2=x2+32,

解得：x=早，

即CD=空.

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的边。4在y轴的正半轴上，边0C在x轴的正半轴上，函数

y=：（x〉0）的图象经过对角线。8的中点。，分别交边A3、BC于点E、点、F,连结。E、DF、EF.若

△r>£F的面积为1,则上的值为（）

D.6

【解答】解：设点C坐标为（2a,0）,点A坐标为（0,26）,

•.•四边形A8CO是矩形,

.•.点8坐标为(2a,2b),

：.OA=BC=2b,AB=OC=2a,

:点。坐标为（0,0）,。是08的中点，

...点。坐标为（a,6）,

•・•反比例函数y=彳（％>0）过点。（a,b）,

：.b=：,即2出即反比例函数的解析式为y=?

把y=26代y=,中得，x=

即点E坐标为（趣，26）,

把x=2a代入y=苧中得，y=1,即点/坐标（2a,1）,

26）,B（2a,2b）,尸（2a,1）,

a3b3

BE-2a--=-

22a,2-2-

•・•四边形A8CO是矩形，

：.ZOAB=ZOCB=90°,

如图，取中点G,取5C中点H,

・・,点Q,G分别是08,AB的中点，

1

：.DG=20A=b,DG//0A,

：.ZDGB=ZOAB=90°,即0G=4且是△BDE中BE边上的高,

•・•点。点〃分别是05,5c的中点，

1

：.DH=^0C=a,DH//OC,

：.ZDHB=ZOCB=90°,

:・DH=a,且是尸中8尸边上的高，

・・•四边形ABC。是矩形，

ZEBF=90°,

0O

在ZXEB/中，Z.EBF=90%BE=沙BF=沙

)，

:.S>△E皿BF=52xBExBF=52X5261X25/=-58-

在ABDE中,Z.DGB=90%DG=b,BE=|Q,

・1133

••SABDE~xBExDG—xQx=4ab.

在△3。尸中=90。，DH=a,BF=|b,

1I33

:・SABDFx)

—5LDZHxBFZ=5x41ax5/=-ab,

・333

••S四边形EDFB=S.DE+S^BDF=40。+4=2ab，

・393

•・S〉DEF=S四边^EDFB—SXEBF=2ab一百ab=^ab,

又・「SADEF=1,

38

--1即--

8ab3

8

---

3

故选：B.

二、填空题。

9.分解因式：8a-2ab=2a(4-b).

【解答】解：8a-2ab=2a(4-b),

故答案为：2a(4-6).

10.请填写一个常数，使得一元二次方程/-6x+元(答案不唯一)=0没有实数根.(填写一个即可)

【解答】解：设所填写的常数为出根据题意得：

A=(-6)2-4-m<0,

解得：1n>9,

...符合条件的常数可以为10.

故答案为：10(答案不唯一).

11.一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放.若Nl=132°,则/2的大小为48度.

VZ1=132°,

；.N3=180°-Nl=48°,

VZ4+Z3=90°,Z4+Z2=90°,

・・・N2=N3=48°；

故答案为：48.

12.如图，在△ABC中，ZACB=90°，中线A。、相交于点0.若AC=4,CB=3,贝UOB的长为

【解答】解：为AC的中点，

ACE=^AC=2,

：.BE=y/CE2+BC2=V22+32=V13,

连接ED

则ED是△ABC的中位线，

1

：.DE||AB.DE/AB,

：.ZOED=ZEBA,ZODE=ZDAB,

工△ODEs^OAB,

.OEDE1

OB~AB~2

22

：.0B=仔BE=|V13.

故答案为：|V13.

13.如图，将半径为2,圆心角为90°的扇形8AC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点8落在扇形B4C

的弧AC上的点。处,点C的对应点为点E,则图中阴影部分图形的周长为—|兀+2」结果保留n)

E

Ai

k\

BC

【解答】解：连接5。，如图，

•・,将半径为2,圆心角为90°的扇形A4C绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点3落在扇形A4C的弧

上的点。处，点。的对应点为点

：.AB=AD=BC=BD=2,ZADE=ZABC=90°,

・•・△A3。是等边三角形，

ZABD=60°,

・••弧A£)的长=6；缺之—称九，弧AE的长=9,缺之=江,

loU3loU

___―2

・•・阴影部分的周长=AB+A&+DE=|7r+7r+2,

1

14.二次函数y=x-lax+a(Q为常数)的图象经过点A(-4,yi)、B(-1,”)、C(3,*).若yi>

*>”,则a的取值范围为—<a<l_.

【解答】解：•・,>=/-2ax+a,

...抛物线的对称轴为直线x=-姜=a,且开口向上，

・••点A(-4,yi)在对称轴的左侧，C(3,”)在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点。到

对称轴的距离，

a-(-4)>3-〃>〃-(_1),

1

解得：—JV。VI.

1

故答案为：—*VaVl.

三、解答题。

1

15.计算：(-2023)°-3tan300-+V12.

【解答】解：原式=1-3X孚-(-2)+2V3

=1-V3+2+2百

=V3+3.

16.一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共3只，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子中

随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，发现多次实验后摸到白球的频率会逐渐接近

0.67.

(1)箱子中的红球有1个.

(2)从该箱子里随机摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再摸出一个球记录颜色.用画树状图(或

列表)的方法，求摸到一个红球和一个白球的概率.

【解答】解：(1).••摸到白球的频率会逐渐接近0.67,

摸到红球的频率会逐渐接近1-0.67=0.33,

，箱子中的红球有3X0.33^1个，

故答案为：1;

(2)树状图如图所示，

如图表示所有可能的情况，共有9种等可能的结果，而摸到一个红球和一个白球的结果有4次，可知其

4

概率为

9

4

故答案为：

9

17.一艘轮船顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为

21千米/小时，求水流的速度.

【解答】解：设水流的速度为尤千米/小时,

8060

根据题意,"G=五二?

解得：x=3,

经检验，尤=3是所列方程的根.

答：水流的速度为3千米/小时.

18.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,ZBDC=90°,E是边8c的中点，连接。E.

(1)求证：四边形A8即是菱形.

⑵过点E作所UB于点况若臣=4,si山BE=等则四边形ABC。的面积为」^

BEC

【解答】(1)证明：・・・NBOC=90°,E是边3。的中点，

1

：.DE=BE=诃,

又・・,3C=2A0,

：.AD=BE

9：AD//BC

・・・四边形ABED是菱形.

(2)VEF1AB,

EF_275

.'.sinZ-ABE=BE=~f

ppA.f—

•••BE=sinLABE=^=2逐,

：.AB=BE=2逐,

:・S菱形ABED=AB-EF=x2V5x4=8V5,

又是边8C的中点,

11

:・S〉DCE=S^DBE=qS菱形ABED=2x8A/5=4V5,

:，S四边形ABCD~S^DCE+S菱形ABED="遮+8遮=12遍,

故答案为：12V5.

19.图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点

称为格点，点A、8、尸均在格点上.在图①、图②中只用无刻度的直尺，按下列要求作图，保留适当

的作图痕迹.

(1)在图①中，画以点A、8为顶点，以点P为对称中心的平行四边形ABCD

(2)在图②中，利用图①所作的平行四边形，在边上确定点在边AD上确定点N,连接PM、

3V2

使PM+MN的值最小，这个最小值为——.

-2-

图①图②

【解答】解：(1)如图所示，平行四边形A8CD即为所求;

(2)解：如图所示，点A/、N即为所求,

:点尸和点P'关于48对称,

：.PM=P'M,

当P、M、N三点共线，且PN_LA。时，PA/+MN最小,

此时PM+MN=P，M+MN=P'N,

图①图②

由图可知，在RtZkAB。中，AB=DB=2,

：.ZBAD=ZBDA^45°,

：.AN=AM-cos45°=察AD=""=2位，

2cos45

DN=AD-AN=2五一号=苧，

：.P'N=DN=竽.

3>/2

故答案为：-

20.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康.某市药监部门为了了解市民

家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查.

收集整理数据：本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如表：

处理方式A继续使用8直接丢弃。送回收点。搁置家中E卖给药贩方直接焚烧

所占比例8%51%10%20%6%5%

(1)设计调查方式：有下列选取样本的方法：

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；

②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；

③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.

其中最合理的一种是③.(只需填上正确答案的序号)

(2)描述数据：此次抽样的样本数为1000户家庭，图是根据调查结果绘制的不完整的条形统计图，请

补全此条形统计图.

处理过期药品方式的家庭数条形统计图

户数

(3)分析数据：根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是直接丢弃

(4)分析数据：家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有800万户家庭，请估计大约有多

少户家庭处理过期药品的方式是正确的.

【解答】解：(1)••.抽取的样本具有代表性，

③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取更具有代表性；

故答案为：③；

(2)C的数量为：1000X10%=100；。的数量为：1000X20%=200,补图为:

处理过期药品方式的家庭数条形统计图

户数

(3)根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是直接丢弃；

(4)800X10%=80(万户)；

答：估计大约有80万户家庭处理过期药品的方式是正确的.

21.甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作过程中的工作效率均始终保持不

变.甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，只有乙机器臂在工作，当甲机器

臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作.如图是两个机器臂组装零件的总量y(个)

与乙机器臂在甲机器臂发生故障后工作的时间x(分)之间的函数图象.

(1)甲机器臂在正常工作过程中的工作效率是每分钟组装3个零件.

(2)求甲机器臂排除故障后，y与龙之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(3)本次工作中甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用了多少分钟？

130-70

【解答】解：(1)乙的工作效率是每分钟组装个数为:=6个,

550-130

甲的工作效率是每分钟组装个数为：----------6=8个，

40-10

甲每分钟组装8个；

(2)>=130+(6+8)(x-10)=14x70,

自变量尤的取值范围为：10WxW40；

70

(3)甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用时为：一+40=45分，

6+8

22.【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在AABC中，若AB=5,AC=3,求8C

边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E,使得，

DE=AD,再连接BE(或将△ACZ)绕点。逆时针旋转180°得到△即。)，把A3、AC,24。集中在△

A8E中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AO<4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段

延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线

的方法称为“中线加倍”法.

【解决问题】如图②，在△ABC中，点。是边的中点，点E在边上，过点。作DFLDE,交

边AC于点尸，连接EF.

、'EDCBF

图1图2

(1)求证：BE+CF>EF.

(2)若44=90°,则线段8£、CF,所之间的等量关系为BE?+CF2=EF2.

(3)【应用拓展】如图③，在△ABC中，ZABC=90°,点。为边AC的中点，点E和点厂分别在边

AB.BC上，点M为线段EF的中点.若AE=2,CF=5,则。M的长为标

【解答】(1)证明：如图，延长到点G,使得EO=OG,连接GF、GC,

A

:・EF=FG,

・・•。是BC的中点，

：.BD=CD

又•：NBDE=NGDC,

：.ADBE^ADCG(SAS),

：.BE=CG,

在△C/G中

■:CG+CF>GF,

：・BE+CF>EF；

(2)解：如图，延长ED到点G,使得ED=DG,连接GRGC,

VZA=90°,

AZB+ZACB=90°,

由(1)可知△OBEgADCG,EF=FG,

；・BE=CG,NB=NBCG,

：.ZGCA=ZBCG+ZACB=90°

在Rt△。/G中,

GC2+CF2^GF2,

:.BE1+CF2=EF2,

故答案为：BE1+CF2=EF2；

(3)如图，如图，延长ED到点G,使得ED=DG,连接GF、GC,

：.ZA+ZACB=90°,

由(1)可知△D4E也△£>CG,

：.AE=CG=2,ZA=ZACG,

：./GCB=ZBCA+ZACG=90°,

在RtzXC尸G中，

•/GF=VGC2+CF2=V22+52=V29,

,：M,D是EF、EG的中点，

DM是△EFG的中位线,

：.DM=^FG=等,

故答案为：|V29.

23.如图，在△ABC中，NABC=90°,4B=3,AC=5,点尸在边AC上(点尸与点C不重合)，连结

PB,过点C作CQ_L射线BP于点Q.

(1)当点。在△ABC内部时，求AP长的取值范围.

(2)连结A。，则AQ长的最小值为2_.

(3)当△BC尸是等腰三角形时，求△BC。的面积.

(4)当tanNPCQ=飘，直接写出AP的长.

c

【解答】解：(1)根据题意得：

当点。在△ABC内部时，ZAPS>90°,

VZABC=90°,AB=3,AC=5,

：.BC=y/AC2-AB2=4,

11

当NAP8=90°,即时，^SLABC=^ACxBP=^ABxBC,

11

x5xBP=-x3x4,

22

解得：BP=^,

：.AP=7AB2-BP2=I，

Q

，当点。在△ABC内部时，A尸长的取值范围为0V4PV/

(2)：CQ_L射线BP,

：.ZCQB=90°,

/.点。在以BC为直径的圆上运动，

如图，取BC的中点。，连接。。，OA,则当点A,Q,O三点共线时，A。最短,

：.OB=OQ=^BC=2,OA=y/AB2+OB2=V13,

：.AQ=。4一。Q=V13-2,

即AQ长的最小值为vn-2.

故答案为：V13—2；

（3）当CP=8C=4时，此时点。为BP的中点,

.1

,•S^BCQ=2S^BCP9

如图，过点8作8O_LAC于点

由（1）得：BD=竽,

111224

:上即=^CPXBD=5X4X¥=JT,

.112

•・S^BCQ=]S2BCP~亏；

当CP=BP时，设AC交圆。于点E,连接5E,

••,BC为圆。的直径,

：・/BEC=NBQC=90°,

■:/CPQ=/BPE,BP=CP,

:•△CPQQXBPE(ASA),

:・SM:PQ=SABPE,

••S/\BCQ=SACPQ+SACPB=S/\BPE+SACPB=SACBE,

由⑴得：BE=gAE=1，

55

CE=5一卷=学，

.11121696

•・eS^CBE=qCExBE=2X~g~X耳=25；

・q_96.

••、ABCQ-25；

综上所述，当△及?尸是等腰三角形时，△BC。的面积为9或1|；

(4)如图，当点。在△ABC内部时，设AC交圆。于点R连接3R

・・・5。为圆。的直径，

：・NPFB=NBFC=90°,

・・・/BPF+NPBF=9U°,

9：ZCQP=90°,

：.ZBPF+ZPCQ=90°,

：.ZPBF=ZPCQ,

tanZ-PBF=