2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§3.1.1数系的扩充和复数的概念[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列各数中，纯虚数的个数是3＋eq\r(7)，eq\f(2,3)i，0i，8＋3i，(2＋eq\r(3))i，0.618A．0 B．1 C．2 D．3解析依据纯虚数的定义知，eq\f(2,3)i，(2＋eq\r(3))i是纯虚数．答案C2．以3i－eq\r(2)的虚部为实部，以－3＋eq\r(2)i的实部为虚部的复数是A．3－3i B．3＋iC．－eq\r(2)＋eq\r(2)i D.eq\r(2)＋eq\r(2)i解析3i－eq\r(2)的虚部为3，－3＋eq\r(2)i的实部为－3，∴所求复数为3－3i.答案A3．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．答案A4．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应的关系．其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3解析①中只有当a∈R，b∈R，且a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝0，z3＝i，则(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z1≠z2≠z3，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案A5．复数z＝eq\f(2－b,5)－eq\f(2b＋4,5)i的实部与虚部互为相反数，则实数b等于A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．2 D．－eq\f(2,3)解析由b∈R，知复数z的实部为eq\f(2－b,5)，虚部为－eq\f(2b＋4,5)，∴eq\f(2－b,5)＝eq\f(2b＋4,5)，解得b＝－eq\f(2,3)，故选D.答案D6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析∵z为实数，∴|a|＋a＝0，∴|a|＝－a，∴a≤0.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7．复数i2＋1的虚部是________．答案08．设(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2的值________．解析∵(a－2i)i＝b－i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2))，∴a2＋b2＝5.答案59．若x是实数，y是纯虚数，且满意2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________．解析∵x是实数，y是纯虚数，∴由复数相等得2x－1＝0且y＝2i，故x＝eq\f(1,2)，y＝2i.答案eq\f(1,2)2i三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m解析∵M∪P＝P，∴M⊆P.即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解之得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.11．(12分)已知复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)．求证：复数z不行能是纯虚数．证明(反证法)假设z是纯虚数，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x2－3x－3）＝0，①,log2（x－3）≠0.②))由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.当x＝－1时，log2(x－3)无意义；当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)≠0冲突．故假设不成立，所以复数z不行能是纯虚数．12．(13分)定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，假如(x＋y)＋(x＋3)i＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋2yi,－y1))，求实数x、y的值．解析由定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋2yi,－y1))＝3x＋2y＋yi，∴(x＋