2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-其次章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．驾驭不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探究等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备学问·探新知基础学问学问点1不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，__≤__，__≥__或≠.(2)所表示的关系是__不等关系__.思索1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．学问点2比较两实数a，b大小的依据eq\a\vs4\al(比较两,实数a，b,的大小)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(依据\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(假如a－b>0，那么__a>b__,假如a－b<0，那么__a<b__,假如a－b＝0，那么__a＝b__)),结论：确定随意两个实数a，b的大小关系，只,需确定它们的差a－b与0的大小关系))思索2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是随意实数吗？(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？提示：(1)是(2)b>a基础自测1．推断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(√)(2)若x2＝0，则x≥0.(√)(3)若x－1≤0，则x<1.(×)(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)[解析](1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.(2)若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立．(3)若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1.(4)随意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要平安通过该桥，应使车和货物的总质量T满意关系(C)A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥403．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为__x2＋2>3x__.关键实力·攻重难题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采纳提高售价，削减进货量的方法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应削减10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析]由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应削减10件”确定售价改变时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析]若提价后商品的售价为x元，则销售量削减eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)·[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)·[100－10(x－10)]≥300.[归纳提升]将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次，写出满意上述全部不等关系的不等式．[分析]首先用变量x，y分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要留意变量的取值范围．[解析]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N.))[归纳提升]用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最终留意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm，试用不等式表示其中的不等关系．[解析]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为eq\f(30－x,2)＝(15－eq\f(x,2))(m)．因此菜园面积S＝x·(15－eq\f(x,2))，依题意有S≥110，即x(15－eq\f(x,2))≥110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x15－\f(x,2)≥110.))题型二比较实数的大小例3已知a，b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．[解析]方法一(作差法)：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab)).∵a，b为正实数，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法二(作商法)：eq\f(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)3＋\r(b)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1.∵eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法三(平方后作差)：∵(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(a＋ba－b2,ab).∵a>0，b>0，∴eq\f(a＋ba－b2,ab)≥0.又eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，故eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).[归纳提升]比较大小的方法1．作差法的依据：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.步骤：作差—变形—推断差的符号—得出结论．留意：只须要推断差的符号，至于差的值原委是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：b>(<)0时，eq\f(a,b)>1⇔a>(<)b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b；eq\f(a,b)<1⇔a<(>)b.步骤：作商—变形—推断商与1的大小—得出结论．留意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论依据：若a>b，b>c，则a>c，其中b是a与c的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解析]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.课堂检测·固双基1．下列说法正确的是(C)A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”[解析]A应为x≤2000，B应为x<y，D应为y≤a，故选C．2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(C)A．a>b B．a<bC．a≥b D．a≤b[解析]a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．3．设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a⊕b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b