吉林省榆树一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

20172018学年度榆树一中学校高二期中考试试题理科数学考试时间：120分钟；1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共12个小题，每题5分，共60分）1．求函数的导数（）A.B.C.D.2．复数（）A.B.C.D.3．曲线在处的切线方程为（）A.B.C.D.4．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在6．函数f（x）=2x24lnx的单调减区间为A.（1，1）B.（1，+∞）C.（0，1）D.[1，0）7．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（）．A.在上为减函数B.在处取得最大值C.在上为减函数D.在处取得最小值8．若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是()A.演绎推理B.逻辑推理C.归纳推理D.类比推理9．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确10．函数的图象大致是11．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是（）A.①③B.②④C.②③D.①④12．设复数，则（）A.4B.2C.D.1第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．14．计算_________.15．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．16．给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得；四、解答题（本题共6个题，共70分）17．（本题12分）复数，，为虚数单位．(I)实数为何值时该复数是实数；(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．18．（本题12分）已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．19．（本题12分）若，，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值。20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.21．（本题12分）证明不等式：＜，其中a≥0．22．（本题10分）的表达式，并用数学归纳法进行证明。

绝密★启用前20172018学年度榆树一中学校高二期中考试理科数学答案注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．（本题5分）求函数的导数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴．选D．2．（本题5分）复数（）A.B.C.D.【答案】C【解析】.故选C.3．（本题5分）曲线在处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，切点为，切线方程为，即：，选B.4．（本题5分）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】∵，∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限。选A。5．（本题5分）函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在【答案】A【解析】∵f′(x)＝x－，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得最小值，且f(1)＝.故答案选：A6．（本题5分）函数f（x）=2x24lnx的单调减区间为A.（1，1）B.（1，+∞）C.（0，1）D.[1，0）【答案】C【解析】f（x）的定义域是（0，+∞），，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．7．（本题5分）已知函数QUOTE，其导函数QUOTE的图象如图，则对于函数QUOTE的描述正确的是（）．A.在QUOTE上为减函数B.在QUOTE处取得最大值C.在QUOTE上为减函数D.在QUOTE处取得最小值【答案】C【解析】QUOTE项，当QUOTE时，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上为增函数，故QUOTE项错误；QUOTE项，由QUOTE图象可知，QUOTE在QUOTE处取得极大值，故QUOTE项错误；QUOTE项，当QUOTE时，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上为减函数，故QUOTE项正确；QUOTE项，QUOTE时，QUOTE，时，QUOTE，QUOTE在QUOTE处取得极小值，故QUOTE项错误．综上所述．故选QUOTE．8．（本题5分）若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是()A.演绎推理B.逻辑推理C.归纳推理D.类比推理【答案】D【解析】由实数集上成立的结论,得到复数集上成立的结论,是类比推理，故选D.【方法点睛】本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不能当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.9．（本题5分）正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【答案】C【解析】试题分析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．考点：本题考查了演绎推理的运用点评：熟练掌握演绎推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题（本题5分）函数的图象大致是【答案】A【解析】,当时，,所以图像特征应是先增后减再增.11．（本题5分）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是（）A.①③B.②④C.②③D.①④【答案】D【解析】根据导函数图像可知，2是导函数得零点且2的左右两侧导函数值符号异号，故2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号12．（本题5分）设复数，则（）A.4B.2C.D.1【答案】C【解析】,故选C.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．（本题5分）为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．【答案】0【解析】∵，∴。∵为函数的一个极值点，∴，解得。当时，。∴当或时，单调递增，当时，单调递减。∴当时，有极大值，且极大值为。答案：0.14．（本题5分）计算_________.【答案】【解析】原式.15．（本题5分）5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．【答案】243【解析】每个人都有种选择方法，根据分步计算原理可知方法有种.16．（本题5分）给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得；【答案】18【解析】试题分析：由于，所以考点：归纳推理点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。四、解答题17．（本题10分）复数，，为虚数单位．(I)实数为何值时该复数是实数；(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．【答案】（Ⅰ）或时为实数；（Ⅱ）时为纯虚数.【解析】试题分析：（Ⅰ）当，为实数；(Ⅱ)当，可得复数为纯虚数.试题解析：（Ⅰ）当，即或时为实数.（Ⅱ）当，即，则时为纯虚数.18．（本题12分）已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．【答案】⑴⑵【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.试题解析：⑴⑵∵∴∵为实数∴∴∴∴19．（本题12分）若，，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求导，令，即可得到的单调增区间；（2）令，求得（舍）或，比较,,的大小，即可得到在上的最小值和最大值.试题解析：（1），解得，的增区间为；（2），（舍）或，,,，20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.【答案】解：.【解析】本试题主要是考查了定积分的运用。先分图形，得到积分上限和下限，然后结合定积分基本定理得到结论。21．（本题12分）证明不等式：＜，其中a≥0．【答案】用分析法证明。【解析】试题分析：要证＜成立，需证＜需证>因为显然成立，所以原命题成立。考点：本题主要考查不等式证明，分析法。点评：容易题，利用分析法证明不等式，从格式上来说，表述要规范。本题也可转化证明<，两边平方