高等数学多媒体极限概念培训课件

高等数学多媒体课件第二章极限与连续第一节极限概念1极限思想2数列的极限3函数的极限正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积1.数列无穷多个按一定规则排列的一串数，，，，，，称作数列，简记作．

数列的极限其中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项。例如：，，，，

，，(1)，，，，，(2)(3)，，，，，，(4)，，，，，，，，，，，，(5)(6)，，，，，，，，，，，，，，，，(7)在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点.注意：2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn=f(n).播放问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:定义1.8对于数列，如果当无限变大时，趋于一个常数,则称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作亦称数列收敛于Ａ；如果数列没有极限，就称是发散的．或，观察下面数列的变化趋势，哪些数列收敛？哪些数列发散？如果收敛，写出它们的极限练习一函数的极限数列极限是一般函数极限的特殊情况.数列是定义在自然数集上的一个函数，其自变量是离散的，而不是连续的.其自变量的变化过程只有一种，即趋于无穷大，记作但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化过程可以是连续的，并出现了多种可能性.例如：

(1)当自变量绝对值无限增大，即沿轴的正向和负向同时远离原点时，记作

(2)当自变量无限增大(或无限减小)时，记作(或)

(3)当自变量从的两侧趋向于时，记作

(4)当自变量从的左侧(的右侧)趋向于时，记作(或)x、y的变化趋势：x:x趋向正无穷大（x→+∞）y:y无限接近于常数0(y→0)1.时函数的极限例1.已知函数，请填下表并指出的变化趋势再看函数图象即对函数,当时,定义1.9′如果当且无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限．记或．由例1知，对于函数，有例2.已知函数，试由函数的图像判断趋向负无穷大时函数的变化趋势。由图可见，对函数，当时,定义1.9″如果当且的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数，则称函数当时以为极限．记作或．由例2知，对于函数，有例3.已知函数，判断当和时，函数的极限。解作的图象xyo和可以写成例3结论又可写成定义1.9如果当的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限．记或．例4

求．解当时，，即．例5

求．解函数的图象如图所示．当时，无限变小，函数值趋于1；时，函数值同样趋于1，所以有．例6.已知函数，讨论当是否有极限，为什么？如图由图可知：时，时，

例7.已知函数，讨论当是否有极限，为什么？如图时，某一固定的常数A时，某一固定的常数A

由图可知：观察下列极限是否存在，如存在请写出极限练习二定义1.10设函数在点的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于(但)时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，以为极．记作或，亦称当 时，的极限存在．否则称当时，的极限不存在．2.时函数的极限注意:

(１)定义中表示从小于和大于 的两个方向趋近于

（２）定义中考虑的是时函数 的 变化趋势,并不考虑在处 的情 况例8

根据极限定义说明：(2)．(1)，解(1)当自变量趋于时，作为函数的也趋于，于是依照定义有．(2)无论自变量取任何值，函数都取相同的值，那么它当然趋于常数，所以．例9

考察函数，写出当

时函数的极限,并作图验证.

解：

例10

利用图像考察和的值解

作的图像作的图像解例11求极限，并作图观察2xyo4(2,4)练习三：求下列极限

定义1.11设函数在点右侧的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，的右极限是．记作3.左极限与右极限或．设函数在点左侧的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，的左极限是．记作或．

定理1.1当时，以为极限的充分必要条件是在点处左、右极限存在且都等于．即，．例12

设试判断是否存在．．，，左、右极限各自存在且相等，所以存在，且．

解先分别求当时的左、右极限：解当时，，，即；当时，，故，即．左极限存在，而右极限不存在,由充分必要条件可知不存在．例12

判断是否存在．解xyo-1-21122例13

讨论函数当和时的极限例14

解讨论函数当时的极限是否存在练习四求下列函数当

时的左、右极限，并指出当时极限是否存在

返回目录4.设函数 ，作出函数的图形。试问 以及是否存在？ 1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所