《周期变化》同步学案

高中数学精选资源3/3《周期变化》同步学案问题情境导入如图是水车的示意图，水车上A点到水面的距离为y.假设水车匀速且5min转一圈，那么y的值每经5min就会重复出现，因此，y随时间的变化是周期变化.如何用符号语言来定量描述函数的这种周期变化呢？这需要我们来研究一下周期函数.新课自主学习自学导引1.周期函数与周期.一般地，对于函数，，如果存在一个_____T，使得对任意的，都有且满足_____，那么函数称作周期函数,_____称作这个函数的周期.2.最小正周期.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的_____，那么这个最小_____就称作函数的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的_____.答案1.非零常数非零常数T2.正数正数最小正周期预习测评1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数图象的是A.B.C.D.2.定义在R上周期为3的偶函数，满足，则（）A.1B.2C.7D.3.函数是周期函数，10是函数的一个周期，且，则_____.4.函数是定义在R上周期为2的奇函数，则_____.答案1.答案：D解析：周期函数的图象每隔一个周期重复出现，选项D不符合.2.答案：B解析：.3.答案：解析：.4.答案：0解析：，.新知合作探究探究点1利用图象求周期知识详解1.求周期函数的周期的直观方法：图象法，即通过观察函数图象求其周期.2.周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，体现在图象上就是图象具有“周而复始”的变化规律.典例探究例1已知作周期性运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.（1）求该函数的周期；（2）求时钟摆的高度.解析（1）观察图象可得函数的周期.（2）利用周期性将求时钟摆的高度转化为求时钟摆的高度.答案（1）由图象可知，该函数的周期为1.5s.（2）设，由函数的周期为1.5s，可知.所以时钟摆的高度为20mm.方法归纳利用函数的图象求周期T时，注意对定义域内的任意一个x，每增加T的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的.变式训练1一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x（cm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示.（1）则该函数的周期为_____;（2）当时，该质点离开平衡位置的位移为_____.答案（1）（2）解析：（1）由函数图象可知，该函数的周期为.（2）设，函数的周期为，，时，质点位移为.探究点2利用周期函数的定义求周期知识详解1.一般地，对于函数，，如果存在一个非零常数T，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.2.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.[特别提示]（1）函数的周期性的定义是对定义域内的任意一个x来说的如果只有个别x满足，不能说T是的周期.例如函数，满足，但，就是说，6不能满足对于x在定义域内的每一个值都有，因此6不是的周期.（2）“”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则一定也是周期.典例探究例2已知定义在R上的函数满足，求证：函数是周期函数.解析只需找到一个非零实数T，使得对任意的，都满足即可.答案时，，，函数是周期函数，2是它的一个周期.方法技巧利用周期函数的定义求周期的思路：对于抽象函数研究周期问题，通常是利用周期函数的定义找到一个非零实数T，使得对定义域内任意x，总有成立.变式训练2已知定义在R上的函数满足，求证：函数是周期函数.答案，，，函数是周期函数，2是它的一个周期.探究点3函数周期的应用知识详解1.周期函数的应用主要体现在将所求函数值转化为可求范围内的函数值，常常与函数的其他性质（如：奇偶性、单调性、对称性等）综合处理问题.2.常见周期函数的形式：周期函数除常见的定义式外，还有如下四种形式：（1）；（2）；（3）；（4）.以上四种形式的函数都是以为周期的周期函数，这四个结论需要记熟.典例探究例3设是以1为一个周期的函数，且当时，，求的值.解析利用求解.答案是以1为一个周期的函数，，从而.又当时，，.方法指导1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可.2.如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质.变式训练3设偶函数对任意的，都有，且当时，，则的值是（）A.B.C.D.答案D解析：由于，而，则，即函数的周期为6，于是，.又函数为偶函数，因此，因此，也即.易错易混解读例已知是数集I上周期为T的函数，则是数集上的（）A.周期为T的函数B.周期为示的函数C.非周期函数D.周期为的函数错解B或D错因分析错解是凭感觉判断的，或对周期函数的定义理解不到位导致的，并没有经过严格的推导.正解因为是数集Ⅰ上周期为T的函数，则对任意的，且时有，所以，即是周期为T的函数.故选A.纠错心得解决此类问题的关键是充分利用周期函数的定义来判断，不能凭空想象，用定义求周期时，若对定义域内的任意一个x，都满足，就说是周期为T的函数，即以代换x，得到的函数与原函数相等，就说明这个函数是周期函数，本题中函数就满足这个性质.课堂快速检测1.下图所示的是定义在R上的四个函数的图象，不是周期函数图象的是（）A.B.C.D.2.定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的周期为1，且当，时，，则（）A.B.C.D.3.已知是定义在实数集R上的函数，对任意的实数，则是（）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.图象关于直线对称4.设偶函数对任意，都有且当时，，则（）A.10B.C.D.5.函数是以2为周期的函数，且，则____