《向量的数量积》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《向量的数量积》同步学案情境导入如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,所做的功是多少?功是怎样的量?自主学习自学导引1.已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ2.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b______,记作3.向量的数量积.(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量______叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a⋅b,即(2)规定:零向量与任一向量的数量积为______.4.如图(1),设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则5.向量数量积的性质.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与(1)a⋅(2)a⊥(3)当a与b同向时,a⋅b=______;当a与b反向时,a⋅b=______.特别地(4)|a答案1.夹角[0,2.垂直a3.(1)|a4.投影 投影向量 O5.(1)|(2)0(3)|a‖b| -|(4)|预习测评1.若|m|=4,|n|=6,mA.12 B.122 C.-122 2.已知|a|=9,|b|=62,A.45° B.135° C.120° 3.|a|=2,|b|=4,设e是与b方向相同的单位向量,向量a与向量b的夹角为120A.-3e B.-2e C.2e 答案1.B解析:m⋅2.B解析:因为cosθ=a⋅b|a‖3.D解析:向量a在向量b上的投影向量是a新知探究探究点1向量的数量积的概念知识详解1.两个非零向量的数量积.已知条件向量a,b是非零向量,定义数量|a‖b|cosθ叫做向量a与记法a2.零向量与任一向量的数量积.规定:零向量与任一向量的数量积均为0.[特别提示]1.向量的数量积,不能表示为或.2.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.设两个非零向量a与b的夹角为θ,则当θ=0°时,当θ为锐角时,cosθ>当θ为针角时,cosθ<当θ为直角时,cosθ=当θ=180°时,典例探究例1已知|a|=6,|b|=5,当:(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a解析根据向量数量积的定义求解.答案(1)a//b,若a与b同向,则若a与b反向,则θ=180(2)a⊥b,则a与b的夹角为(3)a与b的夹角为60°方法技巧:对比向量的线性运算,向量线性运算的结果是一个向量,而两个向量的数量积是一个数量,而且这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关,它的符号由夹角的余弦值确定.当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时,数量积为正;当a≠0变式训练1判断下列各命题是否正确,并简要说明理由.(1)a,b为非零向量,(2)若a≠0,a答案(1)因为a⋅b=|a‖b|cosθ,其中θ是a与b的夹角,所以由a⋅b=±|a|⋅|b|及(2)若a≠0,a⋅b=a⋅c,由数量积公式,只能得到|b|cosα=|c|cosβ,其中α探究点2关于投影向量的问题知识详解1.投影向量的概念.如图,设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B2.投影向量的求法.(1)设e是与a方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量b在向量a方向上的投影向量为|b(2)设e是与b方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a典例探究例2设e是与b方向相同的单位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a与b的夹角为45A.322e B.3e C.4e解析向量a在向量b上的投影向量为|a答案A变式训练2已知|a|=2,|b|=10,a与b的夹角θ=120°,设e1是与a方向相同的单位向量,则向量b在向量a上的投影向量是______;答案-5e解析向量b在向量a上的投影向量为|b|cosθe1=10×探究点3向量数量积的性质知识详解1.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与(1)a⋅(2)a⊥(3)当a与b同向时,a⋅b=|a‖b|;当a与b反向时,(4)|a[特别提示]1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中,不能从a⋅b=0推出a=0或(1)a=0,b=0;(2)a=02.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|⋅|b|.但对于向量a典例探究例3给出以下命题:①a⋅0=0;②0⋅a=0;③0-AB=BA;④|a⋅b|=|a‖b|;⑤若a≠0其中正确命题的序号是______.解析上述7个命题中只有③⑦正确.对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有a⋅0=0;对于②,应有0⋅a=0;对于④,由向量的数量积定义,得|a⋅b|=|a‖b|⋅cosθ|≤|a‖b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,答案③⑦变式训练3给出下面的关系式:①0⋅a=0;②a⋅b=b⋅a;③A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C解析:显然①②③正确;|a⋅b|⩾a⋅b,故④错误;(a⋅b)2= 易错易混解读例如图,在◻ABCD中,|AB|=2,|AD|=4,∠DAB=60°.设错解因为BC与AD相等,所以|BC|=4.又因为∠ABC等于120°,所以BC在AB错因分析向量BC与向量AB的夹角不是∠ABC,而是∠DAB,所以向量BC与向量AB的夹角应该是60°正解因为BC与AD相等,又因为∠DAB=60°,所以BC在AB上的投影向量即为AD在AB上的投影向量,即为纠错心得关于求投影向量的问题,一定要找清楚两向量之间的夹角,以及所求的是谁在谁上的投影向量,明确了这两点,就不会弄错数据.课堂检测1.若向量a,b满足|a|=|b|=A.12 B.32 C.1+32.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,设eA.4e B.-4e C.2e 3.如果向量a,b满足|a|=2,a⋅b=3,A.13 B.33 C.3 4.在ΔABC中,AB=aA.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5.已知|b|=3,与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量