大二经济数学试卷

大二经济数学试卷一、选择题

1.下列函数中，在定义域内连续的函数是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x/(x+1)

2.若函数f(x)=x^3在x=0处的导数是（）

A.0

B.1

C.3

D.无定义

3.已知函数f(x)=e^x，则f'(x)=（）

A.e^x

B.e^(-x)

C.e^(2x)

D.e^(-2x)

4.下列各式中，不属于幂函数的是（）

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=(1/2)^x

D.y=x^(1/2)

5.若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=（）

A.1/x

B.-1/x

C.x

D.-x

6.已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

7.若函数f(x)=e^x，则f''(x)=（）

A.e^x

B.e^(-x)

C.e^(2x)

D.e^(-2x)

8.下列函数中，可导的函数是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=1/x

C.f(x)=x/(x+1)

D.f(x)=x^2

9.若函数f(x)=x^2，则f''(x)=（）

A.2x

B.2

C.0

D.-2

10.下列各式中，属于指数函数的是（）

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=ln(x)

D.y=x^(1/2)

二、判断题

1.导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。（）

2.如果函数在某一点可导，则该点一定连续。（）

3.幂函数的导数仍然是幂函数。（）

4.指数函数的导数是常数乘以原函数。（）

5.对数函数的导数是其底数的倒数乘以原函数。（）

三、填空题

1.函数f(x)=x^3-6x+5的导数f'(x)=________.

2.若函数f(x)=e^x的导数f'(x)=________，则f''(x)=________.

3.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为实数，当n________时，f(x)是增函数；当n________时，f(x)是减函数。

4.已知函数f(x)=ln(x)，则f(x)的积分F(x)=________，其中C为任意常数。

5.设函数f(x)=2x-3，若函数g(x)=f(x)+C，其中C为常数，则g(x)的导数g'(x)=________.

四、简答题

1.简述导数的几何意义及其在经济学中的应用。

2.解释函数的可导性与连续性之间的关系，并举例说明。

3.讨论幂函数和指数函数的导数计算方法，并给出一个具体例子。

4.描述对数函数的导数和积分的基本性质，以及它们在解决实际问题时的重要性。

5.阐述微积分基本定理的内容，并说明其在计算定积分中的应用。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^4-2x^2+1在x=1处的导数f'(1)。

2.求函数g(x)=e^(2x)在区间[0,2]上的平均变化率。

3.已知函数h(x)=ln(x)+3x，求h(x)在x=1处的切线方程。

4.计算定积分∫(1to3)(2x+1)dx。

5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的二阶导数f''(0)。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，其生产成本函数为C(x)=100+2x+0.1x^2，其中x为生产数量。市场需求函数为P(x)=200-0.5x，其中P(x)为产品价格。

问题：

（1）求该公司生产x件产品的平均成本函数AC(x)。

（2）求该公司的边际成本函数MC(x)。

（3）当市场需求达到平衡时，即生产数量等于销售数量，求此时的最优生产数量和对应的产品价格。

2.案例背景：某城市计划在市中心修建一条新的道路，预计这条道路将增加城市的交通便利性。为了评估这条道路对城市经济的影响，研究人员收集了以下数据：

-道路建设成本：C(x)=10x^2+100x+1000，其中x为道路长度（单位：公里）。

-道路带来的经济收益：R(x)=5x^3-3x^2+100，其中R(x)为经济收益（单位：百万美元）。

问题：

（1）求该道路的平均建设成本函数AC(x)。

（2）求该道路的边际收益函数MR(x)。

（3）根据边际收益等于边际成本的原则，计算最优的道路长度，并估算此时的总经济收益。

七、应用题

1.应用题：某商品的需求函数为Q=100-2P，其中Q为需求量，P为商品价格。假设该商品的供给函数为Q=5P，求该商品的市场均衡价格和均衡数量。

2.应用题：已知某公司生产产品的固定成本为F=2000元，每单位产品的可变成本为V=10元，市场对该产品的需求函数为P=50-0.5Q，其中P为产品价格，Q为销售量。求：

（1）公司的总成本函数TC(Q)。

（2）公司的平均成本函数AC(Q)。

（3）公司的边际成本函数MC(Q)。

3.应用题：某投资者在股票市场上的投资组合由两种股票组成，股票A和股票B。股票A的收益率函数为R_A=0.5t+1，股票B的收益率函数为R_B=-0.3t+2，其中t为时间（年）。假设投资者在股票A上的投资比例为x，在股票B上的投资比例为1-x，求：

（1）投资组合的期望收益率R(t)。

（2）当时间t=5年时，投资组合的期望收益率。

4.应用题：某城市计划进行一项公共设施建设，预计该项目的建设成本函数为C=10000+500Q，其中C为建设成本，Q为建设规模（单位：平方公里）。同时，该项目的收益函数为R=20000-1000Q，其中R为收益。假设该项目的成本和收益都随着建设规模的增加而线性增加，求：

（1）该项目的平均成本函数AC(Q)。

（2）该项目的平均收益函数AR(Q)。

（3）为了使项目达到盈亏平衡，即成本等于收益，求所需的建设规模Q。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A

8.D

9.B

10.B

二、判断题答案

1.对

2.错

3.错

4.对

5.对

三、填空题答案

1.3x^2-6

2.2e^x,2e^x

3.>0,<0

4.xln(x)+C

5.2

四、简答题答案

1.导数的几何意义是指函数在某一点处的切线斜率，在经济学中，导数可以用来表示成本、收益、利润等经济变量的瞬时变化率。

2.函数的可导性与连续性之间有密切关系，一般来说，如果一个函数在某一点可导，则该点一定连续；反之，如果一个函数在某一点连续，并不意味着该点一定可导。

3.幂函数的导数计算方法为：f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。指数函数的导数计算方法为：f(x)=a^x，则f'(x)=a^x*ln(a)。

4.对数函数的导数性质为：f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x。对数函数的积分性质为：∫ln(x)dx=xln(x)-x+C。

5.微积分基本定理的内容是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(atob)f(x)dx等于函数F(x)在区间[a,b]上的增量，即F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

五、计算题答案

1.f'(1)=3

2.平均变化率=(g(2)-g(0))/(2-0)=(e^4-1)/2

3.切线方程：y-(ln(1)+3*1)=(1/1)(x-1)，即y=x+2

4.∫(1to3)(2x+1)dx=[x^2+x]from1to3=(9+3)-(1+1)=10

5.f''(0)=6

六、案例分析题答案

1.（1）AC(x)=(C(x)/Q)=(100+2x+0.1x^2)/x=100/x+2+0.1x

（2）MC(x)=C'(x)/Q=(2+0.2x)/(100-0.5x)

（3）市场均衡时，P=Q，即200-0.5x=x，解得x=80，P=80

2.（1）TC(Q)=F+VQ=2000+10Q

（2）AC(Q)=TC(Q)/Q=2000/Q+10

（3）MC(Q)=TC'(Q)=10

七、应用题答案

1.市场均衡时，Q=P，即100-2P=5P，解得P=20，Q=60

2.（1）TC(Q)=2000+10Q

（2）AC(Q)=TC(Q)/Q=2000/Q+10

（3）MC(Q)=TC'(Q)=10

3.（1）R(t)=xR_A+(1-x)R_B=0.5xt+x+(-0.3t+2)(1-x)

（2）当t=5年时，R(5)=0.5*5x+x+(-0.3*5+2)(1-x)=2.5x+x-0.5+2-2x=x+1.5

4.（1）AC(Q)=C(Q)/Q=10000/Q+500

（2）AR(Q)=R(Q)/Q=20000/Q-1000

（3）盈亏平衡时，C(Q)=R(Q)，即10000+500Q=20000-1000Q，解得Q=10

知识点总结：

本试卷涵盖了经济数学中的导数、积分、函数、成本收益分析等基础知识。