2024-2025学年上海市长宁区高三年级上册高考一模数学试卷（含答案）

2024学年第一学期长宁区高三数学教学质量调研试卷

考生注意：

1.答题前，务必在答题纸上将姓名，学校，班级等信息填写清楚，并贴好条形码.

2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷，草稿纸上的答案一律

不予评分.

3.本试卷共有21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.

一,填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果.

1.设全集为R，集合A=（^X2-2X-3>o｝,则A=.

2.已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积是（结果保留兀）.

3.曲线y=lnx在点（1,0）处的切线方程是.

4.以C（3,4）为圆心,V3为半径的圆的标准方程是.

5.投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是.

6.仆-工丫的二项展开式中的常数项是.\y

7.已知一，，一，3,函数y=无"的大致图像如

3333

1

图所示厕”第7题图

8.已知向量值=（1,2）石=（3,-1）,则向量加在方方向上的投影的坐标是.

9.已知m2^+log2x<2,y5：x<〃z,若a是P的充分条件,则实数的取值范围是.

10.若正实数a,6满足a6=2a+b,贝!J“+2Z?的最小值是.

11.设。为坐标原点，从集合｛123,4,5,6,7,8,9｝中任取两个不同的元素x,y，组成A,3两点的坐标（x,y）,

（y,x）SAAOB<10的概率为.

12.WP,M,N分别位于正方体ABCD-AB'C'D'的面上,/W=l,则PM-PN的最小值是.

二,选择题（本大题共有4题，满分18分，第13,14题每题4分，第15,16题每题5分）每题有且只有一个

正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知复数z和N,则下列说法正确的是.........................................（）

A.z+N一定是实数，B.z—2一定是虚数，

C.若z+乞=0,则z是纯虚数，D.若z—N=0,贝1Jz是纯虚数.

14.已知非零空间向量心B和己,则下列说法正确的是................................（）

A.若万贝!〃dB.若五贝！

c.若五，〃人则B〃dD.若五，B,五〃乙则d

15.已知函数y=sin1&x+£|（o>0）在区间",鼻上单调递增，则0的取值范围是....（）

A.（O,1],B.（O,1）,C“,g，D/O,|.

16.数列｛%｝为严格增数列，且对任意的正整数n，都有&L»瓦，则称数列｛%｝满足“性质Q”.

zi+1n

①存在等差数列｛%｝满足“性质Q”.

②任意等比数歹式%｝，若首项4>0,则｛%｝满足“性质C”.

下列选项中正确的是..............................................................（）

A.①是真命题，②是真命题，B.①是真命题，②是假命题.

C.①是假命题，②是真命题，D.①是假命题，②是假命题.

三,解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

在VABC中，角A,8,C所对的边分别为<2,Z?,c,J!LZ?sinA-73acosB=0.

（1）求角8的大小.

（2）若6=2,VAfiC的面积为a,请判断VA5c的形状，并说明理由.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

如图所示,四棱柱A3CD-A4GR的底面ABCD是正方形,0是底面的中心,\O±平面ABCD,

A3=A4,=&.

（1）求证：4c，平面g

（2）求直线与平面441a所成角的正弦值.

19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分4分，第2小题第②问满分6分）.

2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.

为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按

年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为[15,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75],把年龄落

在区间[15,35）内的人称为“青年人”，把年龄落在区间[35,65）内的人称为“中年人”，把年龄落在[65,75]

内的人称为“老年人”.

（1）求所抽取的“青年人”的人数.

（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现

其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.

①简述如何采用抽签法任选2人.

②设事件A：2人均为“中年人”，事件3：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件3是否独

立,并说明理由.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

已知椭圆的左，右焦点分别为好(-IQ),B，且经过点.

(1)求该椭圆的离心率.

(2)点。为椭圆上一点，且位于第三象限，若VPQE的面积为3,求点。的坐标.

(3)是椭圆上不重合的四个点,AB与CD相交于点耳，且湿•①=0,求|AB|+|CD|的

取值范围.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分).

双曲余弦函数coshx=—+—，双曲正弦函数sinhx=e'—e'.

22

(1)求函数coshx="+e'的单调增区间.

2

(2)若函数丫=85112%-4511±%在［0,+00)上的最小值是；,求实数。的值.

(3)对任意xeR,cosh(x)Ncosx+zn/恒成立，求实数机的取值范围.

参考答案

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在答题纸

的相应位置直接填写结果.

1.(—1,3),2.71,3.y=x—1,4.(%-4)2+(>—3)2=3,5.—,6.—20.

二,选择题(本大题共有4题，满分18分，第13,14题每题4分，第15,16题每题5分)每题有且只有一个

正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.A14.D15.A16.B

三,解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

(1)由正弦定理可得sinBsinA-百sinAcosB=0..................................2分

因为sinAw0，所以tanB=A/3................................................2分

TV

所以2=§.................................................................2分

=—〃csin3=J^

(2)SyABC

所以ic=4.................................................................2分

由余弦定理♦=〃2+02-24cosB=4,得々2+c2=8.......................2分

即当+C?=8，解得c=2,〃=2

c

所以VABC是等边三角形...............................................4分

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

(1)因为ABCD是正方形，所以==

因为1底面ABCD，所以OC是AC在平面ABCD上的投影.

所以4。，班>................2分

由明=五,。4=0。=1，4。，底面至8.

可得4。=1，4。=^/2.

所以朋2+4。2=4。2,即有AB

M"C...................................................................................2分

因为^〃台耳，所以±4C

所以AC，平面BDDtB1............................................................................................................2分

（2）设点0到平面A4t3的距离为瓦

所以〃=毕=也........................4分

V33

得直线＜?A与平面所成角e的正弦值

73

sin6=.......2分

3

方法2：（建系）

以0为原点，射线。4,03,04为无轴,y轴,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

可得A(l,0,0),8(0,1,0),A(0,0,1)

则函1=(0,0,1),X51=(―1,0,1),须=(―1,Lo).........................................................2分

从而可知平面AA.B的一个法向量为7=（1,1,1）......................................................................2分

所以直线O\与平面AA.B所成角Q的正弦值

>,西_16

4分

q.阿一6一3

19.本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分4分，第2小题第②问满分6分）.

(1)(2a+0.01x2+0.015x2)x10=1

解得：a=0.025........................................................................................................................2分

200x0.4=80

所以所抽取的“青年人”人数为80.......................................................................................2分

（2）先将10名参会者进行编号：1,2,……10,并将10个号码写在完全相同的纸片上，放入某容器中充分

混合均匀,再取出2张,2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人。

4分

（知道要编码2分,充分混合均匀随机抽2张或者依次抽两张2分）

（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为0.04:0.05:0.01=4:5:1

所以10人中“中年人”共有5人.

2人均为“中年人”的概率尸（A）=导=：.

人中至少有人为男性的概率尸（）立=12分

218=1-襦一百2

2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率尸（an3）=G

2分

do43

因为P（AnS）*P（A）.P（B）,所以事件A与事件B不独立.2分

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

22

（1）椭圆方程为工+乙=1..............................................................................................2分

43

c1

所以e=S=±.............................................................................................................2分

a2

（2）①尸乙=35,直线3尸的3的解析式为y=—.......................................................2分

244

因为VPQK的面积为3,所以尸工边上的高为（

（3）①若AB或CD垂直于无轴，则|AB|+|C必=7........................................................1分

②若AB和CD不垂直于x轴.

设直线AB的解析式为v=k（x+1）,点A（M，必）,B（X2,y2）

联立方程组<彳+行―1,得(3+4左2卜2+8左2*+4左2-12=0

y=k(x+1)

-8k24k2-12

从而xx+x2-14分

3+4r3+4左2

『_8左2],4左2—1212仅?+1)

AB=^l+k2-

叱3+4左2厂,3+4左2

3+4左2

同理CDJ2仅2+1)

A।Q7.2

12仅2+1)112k2+1)84仅4+2/+1)

|AB|+|CD|=

3+4左24+3左212左4+25左2+1212廿+4+25

io4S

因为12左2+淳+25249,所以1工,到+|。4<7............................3分

综上,|AB|+|CD|的取值范围是3,7

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

(1)(coshx)=--1—

令(coshx)=0,解得％=。.............................................2分

当尤>。时,(coshx)=--->0

所以函数coshx=^£的单调增区间是(0，+8)........................2分

2

(2)y=cosh2x-asinhx=---------e=-^ex-ex^--|(ex-e^j+l

令f=e*-e"三e'+e->0.

所以f=e"-0在［0,+8）上是严格增函数.

得，当xw[0,+oo)时,fe[0,+oo)

2分

a<0时,y=；产-卞+1严格增,y=1，舍去,

min2分

4>。时,，min=-：〃2+1=1，所。=6...................................2分

84

(3)①证明sinh(x)>x(xe[0,+oo])

X.-x

令，(x)=sinh(x)-x,t\x)=cosh(x)-1=----1>0

所以(%)=sinh(x)-%在[0,+8]上单调增，则(无)之(0)=0..................2分

②证明cosh(x)-cosx-x2>0

令g(%)=cosh(x)-cosx-X2,g(o)=o,g<；v)=sinh(x)+sinx-2x,g'(0)=0

令/z(x)=g'(x)=sinh(x)+sinx-2x,"(%)=cosh(x)+cos尤一2为偶函数

令c(尤)="(％)=cosh(x)+cosx-2

则当xe[0,+co],cr(x)=sinh(x)-sinx>x-sinx>0

所以NO,从而<(犬)=sinh(