2024-2025学年上海市青浦区高三年级上册期末考试试卷（一模）含详解

2024-2025学年上海市青浦区高三（上）期末数学试卷（一模）

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。

1.在复平面内，复数z=l+]i（其中，是虚数单位）的共辗复数对应的点位于第象限.

2.已知集合4=｛耳尤=2左-1,依N｝,8=｛-1,0,1,2,3｝,则4仆8=.

3.不等式三3的解集为-

x+1

4.若直线/i：x+（m+1）y+（m-2）=0与直线/2：g：+2y+8=0平行，则加=.

5.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为.

6.已知数列｛斯｝满足〃1+2。2+3〃3+…〃（〃+2），贝!]466=.

7.在△ABC中，已知/ACB=120°,48=24,若BC=2AC,则△ABC的面积为.

8.已知圆柱M的底面半径为3,高为圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同,则圆锥N的

底面半径为.

9.（x+y）（x-y）6的展开式中，//项的系数为.

10.己知函数y=/（x）的定义域为｛-2,-1,1,2｝,值域为｛-2,2｝,则满足条件的函数〉=/（尤）最多有个.

11.若函数y=log]（ax3-8x+15）在区间（1,2）上严格增，则实数。的取值范围是.

~2

12.已知A,8,C是单位圆上任意不同三点,则些要的取值范围是.

lABI

二,选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答

题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13.已知且满足尤>%则下列关系式恒成立的是（）

A.―--<---B.In（?+1）>ln（y2+l）

22

x+ly+l

C.sinx>sinyD.x3>y3

14.若点尸（a,6,c）（abcWO）关于平面xOy的对称点为A,关于z轴的对称点为B,则A,8两点（）

A.关于坐标原点。对称B.关于x轴对称

C.关于y轴对称D.关于平面xOz对称

15.已知函数y=/（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时/（x）=（x-1）（%-3）+0.01.则关于函数y=/（x）在

R上的零点的说法正确的是（）

A.有4个零点，其中只有一个零点在区间（-3,-1）上

B.有4个零点，其中两个零点在区间（-3,-1）上,另外两个零点在区间（1,3）上

C.有5个零点，两个正零点中一个在区间（0,1）上，一个在区间（3,+8）上

D.有5个零点，都不在（0,1）上

16.对于数列｛斯｝，设数列｛斯｝的前w项和为的,给出下列两个命题：①存在函数y=/（无），使得％=/（劭），②存在函数

y=g（无），使得"=g（an）.则①是②的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。

17.（14分）已知函数/（x）=（2COS2X-1）sin2x+Acos4x.

（1）求了（无）的最小正周期及最大值.

（2）若a€（二三,n），且/（a）=Y2,求a的值.

22

18.（14分）如图，在三棱锥尸-43C中，平面平面48c,48=6,夙?=2愿,4。=2、后,£）,£分别为线段48,86上的

点，且AD=2DB,CE=2EB,PD上AC.

（1）求证：OE〃平面E4c.

（2）求证：P£）_L平面ABC.

P

19.（14分）第七届中国国际进口博览会于2024年日1月6日至10日在上海举办，某公司生产的三款产品在博

览会上亮相,每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：

（单位：个）

产品A产品B产品。

普通装n180400

精品装300420600

现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个.

（1）求”的值.

（2）用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产

品的概率.

（3）对抽取到的8款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10,方差为2,精品装产品的平均数为12,

方差为L8,试估计这天生产的8款产品的某种指标的总体方差（精确到0.01）.

22

20.（18分）已知椭圆C：幺工=1产为椭圆C的右焦点，过点尸的直线/交椭圆C于两点.

43

(1)若直线I垂直于X轴,求椭圆C的弦AB的长度.

(2)设点尸(-3,0),当/力8=90°时，求点A的坐标.

(3)设点M(3,0),记M4,MB的斜率分别为内和近，求总的取值范围.

21.(18分)已知函数y=/(x)，其中/(x)=6^1-2lnx+x.

(1)求函数y=/(x)的单调区间.

(2)设函数g(无)=/(尤)+2/加,问：函数y=g(x)的图像上是否存在三点C,使得它们的横坐标成等差数列,

且直线AC的斜率等于y=g(x)在点B处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点B的坐标，若不存在,说明理

由.

(3)证明：函数y=f(无)图像上任意一点都不落在函数＞=(x-2)3-3(x-2)图像的下方.

2024-2025学年上海市青浦区高三（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试卷解析

题号13141516

答案DADB

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。

1•【解答】解：复数z=i+Lj（其中i是虚数单位）的共辗复数为：1

22

在复平面内对应的点为（1,-1），位于第四象限.

2

故答案为：四.

2.【解答】解:集合A={x|x=2左-1火CN},B={-1,0,1,2,3}.

则ACB={-1,1,3）.

故答案为：{7,1,3}.

3•【解答】解：不等式2二茎>2化为：2上3<0,即三电<0

x+1x+1x+1

贝UJl：-x+5）（x+1）<0,解得一5Wx<-1.

lx+17t0

故答案为：［-5,-1）.

4.【解答】解：根据直线/i：x+（m+1）y+（m-2）=0与直线/2：g：+2y+8=0平行,故有mW0.

且满足工=空1/变工,求得m=l.

m28

故答案为：1.

・・,两条渐近线互相垂直.

.,.Ax(-A)=-1

aa

a2=b2.

,•"=个a2+1)2=&。

.\e=—=y/2

a

故答案为：V2

6.【解答】解：数列｛〃〃｝满足〃I+2〃2+3〃3+…+几。〃=九(〃+2).

当2时,〃1+2〃2+3〃3+…+(n-1)an-\=(n-1)(n+1).

两式相减可得"斯=〃(n+2)-(n-1)(n+1)=2〃+l.

_2n+l

所以(n)2),

nn

所以a66=2X66+L=3.

6666

故答案为：133.

66

7.【解答】解：设AC=尤.

贝ijBC=2x.

ZACB=120°,AB=2救.

则AB2—AC2+BC2-2AC*BC*COSC=X2+4X2-2・x・2x・cosC=7/=28,解得尤=2.

2

^AABCWffi^^lAC.CB,sinCU-X2X4X^-=2V3-

故答案为：273.

8.【解答】解：设圆锥N的底面直径为2厂,则高为«人

:圆柱M的底面半径为3,高为圆柱M和圆锥N的体积相同.

nX32XV3=9A/3K=-1-^r2-V3r-

解得r=3.

圆锥N的底面半径为3.

故答案为：3.

9.【解答]解：（尤+y）（尤-y）6的展开式中.

则dy3项的系数为霏•（-1）③&•（-1）2=-5.

故答案为：-5.

10.【解答】解：根据函数的概念可知，定义域｛-2,-1,1,2｝中的4个元素，每一个元素都可对应值域｛-2,2｝中的-2或

2.

即每一个x的值都有两种对应方式.

所以共有2X2X2X2=16种对应方式.

又因为值域中的每一个值至少有一个无的值与之对应.

所以满足条件的函数y=/（x）最多有16-2=14个.

故答案为：14.

11.【解答】解：函数y=log]（ax2-8x+15）,令片办？-8x+15,则y=log]t.

~2~2

函数y=log]（ax2-8x+15）在区间（1,2）上严格增.

~2

由函数y=log[t在定义域上严格减,则函数f=a/-8x+15在区间（1,2）上严格减.

7

有，=2依-8（0在区间（1,2）上恒成立，即a《乌在（1,2）上恒成立，得aW2.

又a?-8x+15>0在区间（1,2）上恒成立，则旦在（1,2）上恒成立.

X2

Ax

令s=l,则a>8s-15s2在弓，1）上恒成立.

由二次函数的性质可得a

所以实数a的取值范围为[[,2]-

故答案为:4，2].

12.【解答】解：根据向量数量积的定义屈•菽=|瓦||菽|cos8淇中。是屈与菽的夹角.

所以，半年_=|AC|COS6•

IABI

坐步表示菽在标上的为数量投影.

lABI

当AC一直径,8,C趋于重合时，胆生趋于最大值2.

lABI

若正和旋夹角为钝角，过点C作CDLAB的反向延长线于D.

贝U芈*J-AD=_（""AB-lf-I

IABI22

故的取值范围是（-1,2）.

IABI

故答案为：（-1,2）.

二,选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答

题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13•【解答】解：当x=2,y=-2时显然错误.

当y=l,x=l+2ir时,C显然错误.

因为y=/在R上单调递增.

当x>y时,/>只。正确.

故选：D.

14.【解答】解：由题意,A（〃力,-c）,BC-a,-b,c）.

则A,B两点关于坐标原点O对称.

故选：A.

15.【解答］解：函数y=/(无)是定义在R上的奇函数,且当尤>0时/(x)=(x-1)(尤-3)+0.01.

可知尤=0是函数的零点，并且/(I)>0/(2)<0/(3)>0,所以函数在x>0时有两个零点，函数是奇函数，可知x<

0时,有两个零点.

故选：D.

16.【解答】解：当Sn=f(an)时，取S〃=6ta=0,不存在w=g(an).

①推不出②,...①不是②的充分条件.

当w=g(an)时，由于每个函数值W不同.

.'.71与。”为■对应关系.

.,.叔可以写成y=g(x)的反函数.

可以用”表示，即Cln—g1(“).

.".BSn=h(w)=/(«3)=/(g1(〃)).

...②=①，即①是②的必要条件.

故选：B.

三.解答题(本大题共有5题，满分78分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。

17.【解答】解：(I)因为f(x)=(2cos2x-l)sin2x+^"cos4x

=1..1A

qsin4x+^cos4x

=-&7=rsi•n〃三

・T=2兀=兀

,,~TT,

函数的最大值为：返.

2_

(II)'.'f(x)=^^-sin(4x-+^~),f(a)-

TT

所以sin(40.=1-

4a+：=—+2k冗火ez.

兀k兀•，又a£(£■,冗)■

••a=

16

9

••a=­兀.

16

18.【解答】证明：（1）因为。,E分别为线段上的点，且AO=2DB,CE=2EA

所以理=坦，所以DE//AC.

ADCE

又OEC平面B4Q4CU平面PAC.

所以〃平面PAC.

(2)因为AC=2加,8C=W§,AB=6,所以AC2+BC1=AB2.

所以ACL3C,可得号=^•雪・

ADbo

又因为BO=2.

所以CD2=B£)2+BC2-2BD，BC・cos/ABC

=22+(2V3)2-2X2X2次x冬=8可得CD=2&.

o

又因为AD=4,所以所以CDLAB.

因为平面E48_L平面ABC,平面B42rl平面A3C=AB,C£）u面ABC.

所以CO_L平面PAB.

因为PZ）u面B42,所以CZ）_LPD

因为PD±AC,ACHCD=C.

所以尸。J_平面ABC.

19.【解答】解：（1）根据题意，该工厂一天所生产的产品总数为w+300+180+420+400+600=w+1900.

现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个.

则有10°=30

n+1900-600

解得”=100.

（2）设所抽取的样本中有p个精品装产品，则幽.

51000

解得p=3.

所以容量为5的样本中，有3个精品装产品,2个普通装产品.

C1c1+c2

则至少有一个精品装产品的概率为23"3=2=_g_.

「21010

（3）根据题意，在8款产品30个数据的样本中，普通装产品所占比例为2,精品装产品所占比例为二.

1010

所以这30个样本数据的均值为x=-^-X10-k^-X12=11-4.

所以这30个样本数据的方差为$2=卷X[2+(10-11.4)2]+^-X[1.8+(12-11.4)2]=27

利用样本估计总体，估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方差为2.7.

20•【解答】解：(1)因为尸为椭圆C的右焦点，过点尸的直线/交椭圆C于A,8两点,直线/垂直于x轴.

所以"=XA=X3=C

当X=C时.

»yA=-yB=^--

所以|皿|至=亨=&

aN

若直线/垂直于无轴.

则椭圆C的弦AB的长度为3.

(2)若尸(-3,0).

当/98=90°时,因为弦A8过右焦点.

所以PA±FA.

即点A在以尸尸为直径的圆上.

所以点A的轨迹方程为(龙+1)2+y2=4.

因为点A在椭圆上.

(22

工上=1

所以,43，.

.(x+l)2+y2=4

解得x=0,y=±73.

即点A的坐标为(0,正)或(0,-V3).

(3)设直线AB的方程为％=(y+l,A(xi,yi),B(X2J2).

x=ty+1

联立4，消去x并整理得(3?+4)y2+6ty-9=0.

3x2+4y=12

由韦达定理得-6t-9

，yy=

了产2二3一t2―+4l2-3t2―+4

所以k+k二丫1।丫2_丫1+丫2—2口产2-2小1+了2)—电

1222

x「3X2-3tyj-2ty2-2ty1y2-2t15t+16

当t=0时,%1+左2=0.

当时,，

twok]1+k2乙=-t-l---0l)bU(°NUNU

15t+—

当且仅当15/=西