2024-2025学年人教版七年级数学上册期末冲刺复习：一元一次方程应用 压轴十二种题型（解析版）

专题08一元一次方程应用压轴十二种题型

目录

解题知识必备..............................................

压轴题型讲练..............................................

类型一、一元一次方程应用行程问题...............................................1

类型二、一元一次方程应用工程问题...............................................3

类型三、一元一次方程应用销售问题...............................................5

类型四、一元一次方程应用方案问题...............................................8

类型五、一元一次方程应用配套问题..............................................11

类型六、一元一次方程应用比赛积分问题..........................................13

类型七、一元一次方程应用数字问题..............................................16

类型八、一元一次方程应用几何问题..............................................18

类型九、一元一次方程应用日历问题..............................................19

类型十、一元一次方程应用电费和水费问题........................................22

类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题........................................26

类型十二、一元一次方程应用其他问题............................................32

压轴能力测评（U题）........................................................35

“解题知识必备”

1.行程问题距离=速度♦时间

2.工程问题工作量=工效X工时；工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量

3.顺水逆水问题】

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程

4.商品利润问题

、销售价一成本

售价=定价；利润率=里且修吧上X100%利润问题常用等量关系：售价-进价=利润

成本

X压轴题型讲练2

类型一、一元一次方程应用行程问题

【典例1】2023年国产大型客机C919首航成功，这标志着C919正式投入商业运营，也标志着我国从此有

了属于自己的国产大型客机.某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用2.8小时，它逆风飞行同样的

航线要用3小时.已知在风速为24千米/时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度.

【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为696千米/时.

【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为“千米/时，列出关

于％的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程.

【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为x千米/时，

由题意得，2.8(x+24)=3(x-24),

解得：x=696,

答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为696千米/时.

【变式1-1】客车从甲地，货车从乙地同时相对开出.6小时后，客车距离乙地还有全程的占货车超过

中点54千米.已知客车比货车每小时多行15千米，甲乙两地间的路程是多少千米？

【答案】甲乙两地间的路程是384千米

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

根据题意设甲乙两地间的路程是万千米，利用速度=路程+时间，结合客车比货车每小时多行15千米，可

列出关于光的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设甲乙两地间的路程是比千米，

根据题意得：学—M=15,

66

解得：x=384.

答：甲乙两地间的路程是384千米.

【变式1-2】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m.下

坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m.则他从家里到学校需lOmin,从学校到家里需15min.问：从

小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x,用方程表示上述数量关系，并解

出方程.

【答案】平路为300米，下坡路为400米

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为80(10-2)米，根据时间=路程+速度结合小华从学校到家里

需15min,即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为80(10-烹米，根据题意，得

解得：x=300,

080（10一金=80X（10一膏）=400（米）

答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米.

类型二、一元一次方程应用工程问题

【典例2】整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同.

（1）若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？

（2）计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的支应该安排

多少人先工作？

【答案】⑴再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成

⑵应该安排6人先工作

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；

（1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于L再建立方程求解

即可；

（2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于：，再建立方程求解即可；

【详解】（1）解：设再需增加无人帮忙才能在规定的时间内完成，可得：

（）

-80+—80'x+1/=1,

解得：％=2

答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成；

（2）解：设应该安排无人先工作，可得：

4x+4（x4-3）_3

80+80-4’

解得：x—6,

答：应该安排6人先工作.

【变式2-1】某工厂生产某种零件，原计划每天生产500个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天

比原计划多生产60个零件，结果提前3天完成任务，并多生产了120个零件.设该工厂的任务是生产x个

零件，则可列方程为（）

x+120xxx-120

A.=3B.=3

500500+60”500500+60

Xx+120_x+120X

C.QD.=3

500500+60―)500+60500

【答案】C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.根据工作时间=工作总量+工作效率，结合提前3天完成任务，并多生产了120个零件，列出方程

即可.

【详解】解：设该工厂的任务是生产x个零件，

根据题意得：煮-黑=3,

故选：C.

【变式2-2】暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需

要25天.甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单

独做完.两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？

【答案】甲、乙两队分别做了12天和10天

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为"1".甲队单独做，需要20天，则

甲队的工作效率为弟乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为表.根据工作效率x工作时间=工

作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了(22-x)天，甲队工作的天数x工作效率+乙队工作的

天数“工作效率=工作总量，据此列方程，并解答即可.

【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了(22-x)天，贝U

11，、

—X+—(22—%)=1

2025')

1221

20X+25-25X=1

12212222

20X+25-25X-25=1-25

113

20%-25%=25

543

-----x---------x——

10010025

13

100-25

x=12；

则乙队：22-12=10(天)

答：甲、乙两队分别做了12天和10天.

【变式2-3】某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批

零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元.

(1)问这批零件共有多少个？(列方程解应用题)

(2)在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①

由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案

最省钱，为什么？

【答案】(1)1920个；

(2)方案③最省钱，理由见解析.

【分析】(1)设这批零件共有x个，根据甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天列方程求解

即可；

(2)分别求得三个方案需支付费用，然后比较大小可得结论；

本题考查了一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和算式是解

题的关键.

【详解】(1)解：设这批零件共有x个，

根据题意得，^-£-=20,

4o

解得x=1920,

答：这批零件共有1920个；

(2)解：方案③最省钱，理由如下：

①由甲单独加工这批零件需支付费用为翳x(60+15)=4500元；

②由乙单独加工这批零件需支付费用为噤x(80+15)=3800元；

③甲、乙合作同时加工这批零件需支付费用为黑x(60+80+15)=3720元；

32+48

04500>3800>3720,

回方案③最省钱.

类型三、一元一次方程应用销售问题

【典例3】华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、

乙两种商品的进价和售价如表：(注：获利=售价-进价)

甲乙

进价/(元/件)2030

售价/(元/件)2540

⑴该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？

(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一

次的3倍.甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获

得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？

【答案】⑴可获利2000元

(2)第二次乙商品是按原价打9折销售

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程

求解是解题的关键.

（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品六件，根据"用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进

甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可；

（2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据"第

二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元"列出方程求解即可.

【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品紧件，

20x+30x）=7000,

解得：%=200,

争=100,

回购进甲商品200件，购进乙商品100件；

EI200x（25-20）+100x（40-30）=2000（元），

答：可获利2000元；

（2）解：第二次购进甲商品200件，

第二次购进乙商品100X3=300（件），

设第二次乙商品是按原价打y折销售，

200x（25-20）+300X（40x卷一30）-2000=800,

解得：y=9,

答：第二次乙商品是按原价打9折销售.

【变式3-1】商场销售某品牌冰箱，若按标价的8折销售，每台仍获利200元，其利润率为10%,则每

台的标价为（）

A.275元B.1100元C.2750元D.11000元

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该品牌冰箱的标价为元，利用"进价=利润+利润率"

可求得该品牌冰箱的进价为2000元，根据题意“若按标价的八折销售，每件可获利200元"可列出关于x

的一元一次方程，求解

【详解】解：设该品牌冰箱的标价为x元，

根据题意，该品牌冰箱的进价200+10%=2000元，

则80%x—2000=200,

解得：x=2750,

•••该品牌冰箱的标价为2750元.

故选：C

【变式3-2］某商场用36000元购进了A、8两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标

价如下表所示:

A型B型

进价（元/台）150350

标价（元/台）400600

（1）这两种净水器各购进多少台？

（2）若A型净水器按标价的8折出售，8型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场

共获利多少元？

【答案】（1）4种净水器购进100台，2种净水机购进60台

⑵商场共获利28400元

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关

系.

（1）设A种净水器购进x台，8种净水机购进（160-灯台，根据总金额36000元，列方程即可求解；

（2）根据题意列出算式进行解答即可.

【详解】（1）解：设A种净水器购进x台，8种净水机购进（160-乃台，

依题意可得：150%+350（160-x）=36000,

解得：x=100,

160-%=160-100=60.

答：A种净水器购进100台，8种净水机购进60台；

（2）解：100x400X0.8+600X0,9x60-36000=28400（元）.

答：商场共获利28400元.

【变式3-3】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果

按标价的8折出售，将盈利40元.

⑴每件服装的标价是多少元？

（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%?

【答案】⑴200元;

（2）9折.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键.

（1）设每件服装的标价是万元，根据题意列出方程即可求解；

（2）由（1）求出每件服装的进价，再设打y折销售能恰好保证利润率为50%,根据题意列出方程即可

求解；

【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元，

由题意得，80%%-(50%x+20)=40,

解得x=200,

答：每件服装的标价是200元；

(2)解：由(1)可得，每件服装的进价为200x50%+20=120元，

设打y折销售能恰好保证利润率为50%,

由题意得，200x2—120=120x50%,

解得y=9,

答：打9折销售能恰好保证利润率为50%.

类型四、一元一次方程应用方案问题

【典例4】学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品.现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒

乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元.但两家网店优惠

方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠.已知学校需球拍40副，乒乓球无盒

(不少于40盒).

(1)在甲店购买全部球拍和球需付款元，在乙店购买全部球拍和球需付款元(用含x的最

简式子表示)；

⑵购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多；

(3)当x=80时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算?

如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用.

【答案】⑴(20%+1200),(16%+1600)

(2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多

(3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元.

【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

(1)根据题意列出代数式即可；

(2)根据两家付款一样多列方程即可得到结论；

(3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可.

【详解】(1)•••甲店每买一副球拍赠一盒球，

•••在甲店购买需付款40x50+20(%-40)=2000+20x-800=(20久+1200)(元)，

••・乙店全部按定价的8折优惠，

.­.0.8x(40x50+2Ox)=(16久+1600)(元)

故答案为：(20x+1200),(16%+1600)；

(2)根据题意得：20x+1200=16x+1600,

解得工=100,

答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多；

(3)购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为：

甲店付款50X40=2000(元)，

乙店付款60x20x80%=980(元)，

•••一共需付款2000+980=2980(元)，

答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元.

【变式4-1】某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户

提供两种优惠方案.

方案1:买一件风衣送一条丝巾；

方案2：风衣和丝巾都按定价的90%付款.

某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾尤(%>20)条.

⑴若该客户按方案1购买，需付款一元；若该客户按方案2购买，需要付款一元.(分别用含x的式子表

示)

⑵若久=30,通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算.

⑶当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？

【答案】(l)(50x+5000);(45x+5400)

(2)按方案1购买较为合算

⑶当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键.

(1)根据题意确定出两种方案需付款的钱数即可；

(2)把x=30代入(1)中的代数式，求出结果后比较即可；

(3)由客户按两种方案付款相同，列出方程，可求解.

【详解】(1)解：方案1需付款：300X20+(%-20)X50=(50%+5000)元；

方案2需付款：(30。x20+50%)x90%=(45x+5400)元；

故答案为：(50%+5000);(45x+5400)；

(2)解：当x=30时，

方案1需付款：50x30+5000=6500(元)；

方案2需付款：45x30+5400=6750(元)；

•••6500<6750,

团按方案1购买较为合算；

(3)解：由题意可得：50%+5000=45%+5400,

解得：x=80,

答：当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同.

【变式4-2】某景点门票价格如下表:

购票人数/人1〜5051〜100100以上

每人门票价/元12108

某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数

较多，有50多人.如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元；

（1）两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答）

（2）（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？

【答案】（1）1班有49人，2班有53人.

（2）1班按51人购票能省78元

【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键.

（1）设八年级（1）班有x名学生，八年级（2）班有y名学生，根据八年级（1）班学生人数加八年级

（2）班学生人数等于102人；八年级（1）班总门票价加八年级（2）班总门票价等于1118元，列二元

一次方程即可解答；

（2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答.

【详解】（1）解：设1班有x人，2班有y人，

依题意得｛12："；言18，

解得［MM，

回1班有49人，2班有53人.

（2）解回1班按49人购票应付款：49X12=588（元），

1班按51人购票应付款：51X10=510（元），

回工班按51人购票能省：588-510=78（元），

E1班按51人购票能省78元.

【变式4-3】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销

售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如制成酸

奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨.受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，

这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该工厂设计了两种可行方案：

方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

【答案】方案二获利最多，理由见解析

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，先分别求出两种方案的获

利多少，然后进行比较即可.

【详解】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，

则其利润为：4X2000+(10-6)X500=11000(元)；

方案二：设生产x天奶片，则生产(4-久)天酸奶，

根据题意得：x+3(4-x)=10,

解得：x=1,

3天生产酸奶，加工的鲜奶3x3=9(吨)，

则利润为：1x2000+9x1200=2000+10800=12800(元)；

012800>11000,

回第二种方案获利最多.

类型五、一元一次方程应用配套问题

【典例5】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总

人数是调入工人人数的3倍多4人.

(1)求调入多少名工人；

⑵在(1)的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每

天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

【答案】⑴调入6名工人

(2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套

【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读槿题意，找到等量关系列方程.

(1)设调入%名工人，根据"调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人"得：16+x=3x+4,

可解得答案；

(2)设y名工人生产螺栓，由"1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案.

【详解】(1)解：设调入x名工人，

根据题意得：16+x—3x+4,

解得％=6,

团调入6名工人；

(2)解：设y名工人生产螺栓，则16+6—y=(22—y)名工人生产螺母，

团每天生产的螺栓和螺母刚好配套，

1

回240y=：x400(22-y),

解得y=10,

•••22—y=22—10=12,

答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套.

【变式5-1】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，己知该工厂有24名工人，每人每天可以

生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则

应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？

【答案】需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿.

【分析】本题考查一元一次方程的应用.设需要安排x名工人生产桌面，则安排(24-%)名生产桌腿，

再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可.

【详解】解：设需要安排无名工人生产桌面，则安排(24-x)名生产桌腿，

由题意得3X20%=300(24-lx),

解得x=20,

24—x—4,

答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿.

【变式5-2】在手工课上，老师组织七(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七(2)班共有44人,

其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.

(1)七(2)班有男生、女生各多少人？

⑵要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？

【答案】(1)女23人，男21人

(2)24人

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元

一次方程，再求解.

(1)设七年级(2)班有男生X人，根据"共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得

结果；

(2)设分配剪筒身的学生为y人，根据"一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套"即可

列方程求得结果.

【详解】(1)解：设七年级(2)班有男生x人，依题意得

x+(%+2)=44,

解得x=21,x+2=23

所以，七年级(2)班有男生21人，女生23人；

(2)解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得

50yX2=120(44-y),

解得y=24,

所以，应该分配24名学生剪筒身.

【变式5-3】中国陶瓷遍布全世界，某陶瓷厂生产某种茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生

产这套茶具的主要原料是紫砂泥，做1个茶壶需要的紫砂泥可以做4个茶杯，6千克紫砂泥可以做个32

茶杯和4个茶壶.求做1个茶杯需要多少紫砂泥？

【答案】做1个茶杯需要紫砂泥0.125千克.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，列方程32久+4x

4久=6,求解即可，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键.

【详解】解：设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，得：

32%+4X4%=6,

解得：%=0.125,

答：做1个茶杯需要紫砂泥0.125千克.

类型六、一元一次方程应用比赛积分问题

【典例6】在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了"必答题”环节.规则是：两人各自答题，每人都要回答25

道题，每道题回答正确得4分，回答错误或放弃回答扣2分.

⑴已知甲答对了19道题，答错了4道题，还有2道题放弃回答，则甲在此环节的得分是多少？

(2)若经裁判公布，乙的成绩为76分，则他答对了多少道题？

【答案】(1)64

⑵乙答对了21道题

【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出一元一次方

程成为解题的关键.

(1)先根据题意列出算式，然后根据有理数的混合运算法则计算即可；

(2)设乙答对了x道题，答错或放弃回答了(25-切道题，然后根据题意列一元一次方程求解即可.

【详解】(1)解：由题可知：19x4+4x(—2)+2x(—2)=76—8—4=64.

答：甲在此环节的得分是64分.

(2)解：设乙答对了x道题，答错或放弃回答了(25-久)道题，

依题意，得4久一2(25-久)=76,

解得％=21.

答：乙答对了21道题.

【变式6-1】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

奖金(元/人)15007000

当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场.

⑴试判断A队胜、平各几场？

(2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出

场费的和是多少？

【答案】(1)A队胜4场，平8场

(2)出场费加奖金一共17600元

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设4队胜利工场，列出方程

求解是解题的关键.

(1)设2队胜利x场，则平了12-x场，根据总积分为20分列出方程即可求解；

(2)根据(1)中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题.

【详解】(1)解：设4队胜利工场，

•・一共打了12场,

二平了12—x场，

3x+(12—%)=20,

解得：%=4；

12—x=8,

・••4队胜4场，平8场；

(2)解：,每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，

赢了4场，奖金为1500X4=6000元，

平了8场，奖金为700x8=5600元，

，奖金加出场费一共17600元；

答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元.

【变式6-2】下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜(篮球比赛没有平局).

球队比赛场次胜场负场积分

A1210222

B129321

C127519

D116517

E1113

⑴观察积分榜，求出球队胜一场、负一场积分分别是多少？

⑵根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？

⑶若此次篮球比赛共18轮(每个球队各有18场比赛)，。队希望最终积分达到32分，你认为有可能实

现吗？请说明理由.

【答案】(1)球队胜一场积2分，负一场积1分.

(2)E队胜2场,负9场;

⑶不可能实现，理由见解析

【分析】此题考查了一元一次方程的应用；

(1)观察积分榜由C球队和。球队即可求解；

(2)设设E队胜x场，则负(11-乃场，根据等量关系：E队积分是13分列出方程求解即可；

(3)设后7场胜x场，根据等量关系：。队积分是32分列出方程求解即可.

【详解】(1)解：观察积分榜，10x2+2=22,9x2+3=21,7x2+5=19,6x2+5=17..…

团球队胜一场积2分，负一场积1分.

(2)设E队胜x场，则负(11一支)场，可得

2x+11—x=13,

解得X=2.

••.E队月生2场，负9场；

(3)不可能实现，理由如下：

・・•。队前11场得17分，

・••设后7场胜x场，

2.x+7-x—32—17,

%=8>7,

不可能实现.

【变式6-3】2022年11月21日，万众瞩目的卡塔尔世界杯足球赛开幕，为了迎接世界杯足球赛的到来,

足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

人均奖金1500元700元0

当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场.

(1)试判断A队胜，平各几场？

(2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队的某一名队员所得奖金与出场

费累计为多少元？

【答案】(1)4队胜4场，平8场

(2)17600元

【分析】（1）根据题意找出等量关系式列出方程即可解得.

（2）由（工）可得，根据题意列式计算可得.

【详解】（1）解：设A队胜利x场，

回一共打了12场，

国平了（12—尤）场，

03%+（12-%）=20,

解得：%=4,

12-4=8（场）.

答：A队胜4场，平8场.

（2）田每场比赛出场费500元，

E12场比赛出场费共6000元，

又回赢了4场，奖金为1500X4=6000（元），

平了8场，奖金为700x8=5600（元），

06000+6000+5600=17600（元）.

答：A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为17600元.

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程.

类型七、一元一次方程应用数字问题

【典例7】观察下面三行数.

—2,4,—8,16,—32,...

—1,5,—7917f—31,...

—4,8,-16,32,—64,...

⑴求第一行的第〃个数；（〃为正整数）

（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；

⑶取每一行的第左个数，这三个数的和能否是-127?若能，求出左的值，若不能，请说明理由.

【答案】⑴（―2尸

（2）-256

（3）5

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知

得出规律，运用规律是解答此题的关键.

（1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的-2倍，即可解题；

（2）根据题意得到第二行数的规律是：第二行的第"个数是（-29+1,第三行数的规律是：第三行的

第〃个数是2x（—2严，即可解题；

(3)设第一行的第左个数为无，则第二行的第左个数为(久+1),第三行的第左个数为2x,根据题意建立

方程x+(x+1)+2久=—127求解，得到光的值，再根据(―2)k=—32,求解即可解题；

【详解】⑴解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的一2倍，即(一2)1(-2)2,(-2)3,…,

所以第一行的第n个数是(一2产.

(2)解：•.•同位置的第二行数比第一行数大1,同位置的第三行数是第一行数的2倍，

••・第二行的第〃个数是(―2产+1,第三行的第"个数是2x(-2)n；

二第二行的第6个数是(一2)6+1=65,第三行的第7个数是2x(―2)7=-256；

(3)解：能，设第一行的第左个数为x,则第二行的第k个数为(尤+1),第三行的第左个数为2x,

根据题意有久+(x+1)+2x=-127,

解得x=-32,

(—2/=-32,

•••k=5,

*的值为5.

故选：B.

【变式7；】一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位

数比原两位数小18,求原来的这个两位数.

【答案】42

【分析】设个位数字为无，则十位数字为2久，列出方程解答即可.

本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键.

【详解】解：设个位数字为x,则十位数字为2x,

根据题意，得2xx10+x—(10x+2x)=18,

解得x=2,

则2x=4,

这个两位数是42,

答：这个两位数是42.

【变式7-2】将1-9这9个数填入3X3的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都

相等，这样便构成了一个"九宫格"，它源于我国古代的"洛书"(如图①)，是世界上最早的幻方，仅可

以看到部分数值的"九宫格"(如图②)，其中久=.

【分析】本题考查一元一次方程的应用.根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得

4+%+(%+1)=(2%—1)+%+1,即可解得答案.

【详解】解：根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得：

4+%+(%+1)=(2%—1)+%+1,

解得久=5,

故答案为：5.

类型八、一元一次方程应用几何问题

【典例8］如图，在长方形力BCD中，AB=12cm,AD=6cm.动点P从点A出发，沿线段力B,BC向点C

运动，速度为4cm/s；动点。从点B出发，沿线段3c向点C运动，速度为lcm/s.点尸、。同时出发，任

意一点到达点C时两点同时停止运动.设运动时间为r(s).

Ih------------------C

,fi)

—J'，’

AH.

⑴点P,。同时出发，求几秒后P,。两点相遇?

⑵求停止运动时尸，。两点之间的距离.

【答案】(1『，。出发4秒相遇

(2)P,。两点之间的距离为1.5cm

【分析】本题考查一元一次方程的应用.

(1)根据追及问题列方程求解即可；

(2)先求得动点尸到达点C时所用的时间，据此计算即可求解.

【详解】(1)解：由题意得4t-t=12,

解得t=4,

答：P,。出发4秒相遇；

(2)解：动点P到达点C时用时：(12+6)+4=4.5s,

BQ=1x4.5=4.5(cm),

PQ=6—4.5=1.5(cm),

答：P,。两点之间的距离为1.5cm.

【变式8-1］如图，周长为34的长方形4BCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形4BCD

的面积为().

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据长方形的性质可知，小长方形的长的2倍等于其宽

的5倍，设小长方形的宽为x,则长为2.5久，再根据长方形周长公式列方程求解即可.

【详解】解：设小长方形的宽为》,则长为2.5%,

由题意得，2(%+2.5%+5%)=34,

解得x=2,

EL4D=5x=10,AB—x+2.5x=7,

El长方形4BCD的面积为10X7=70,

故选：C.

【变式8-2】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为16cm,高为30cm的圆柱形容器，里面装满了

果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为8cm的10个小圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满)，与好友分享,

请你帮他计算杯子的高度.

1ncm

【答案】杯子的高度是12cm.

【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题

的关键.

设杯子的高度为xcm.根据10个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可.

【详解】解：设杯子的高度为xcm.

根据题意，得10兀(|)2久=TT(£)2X30.

解这个方程，得％=12.

所以，杯子的高度是12cm.

16cm

类型九、一元一次方程应用日历问题

【典例9】如图是2023年8月份的月历，现用十字框任意框出5个数，如:

日二三四五六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

(1)十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？

(2)如果十字框框出的5个数之和为55,那么十字框中间的数是多少？

⑶十字框框出的5个数之和可以是105吗？

【答案】(1)十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍

(2)十字框中间的数是11

⑶十字框框出的5个数之和可以是105

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

(1)根据题意列式计算，即可找出相应关系；

(2)根据"十字框框出的5个数之和为55"列方程求解即可；

(3)根据"十字框框出的5个数之和是105”列方程求解即可.

【详解】(1)解：(14+15+16+8+22)+15=5,

答：十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍；

(2)解：设十字框中间的数是X,

则依据题意有：(*-7)+x+(%+7)+(%-1)+(%+1)=55,

解得：x=11,

答：十字框中间的数是11；

(3)解：设十字框中间的数是a,

则依据题总有：(a—7)+a+(a+7)+(a-1)+(a+1)—105>

解得：a—21,

且a+7=21+7=28331,

•••十字框框出的5个数之和可以是105,

答：十字框框出的5个数之和可以是105.

【变式9-1］如图，在某月的日历表中用《11口”框出8,10,16,22,24五个数，它们的和为80,若

，，在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（

II月

日五,六

34

10II

13141$

202l[22

232425

282930

D.115

【答案】B

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为%,则x为整数,再求得这5个数的和为5x,

令5%的值分别为42、70、95、115,分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案.

【详解】解：设正中间的数为X,则x为整数，

这5个数的和为：x+x—8+x—6+x+6+x+8=5x,

A、当5x=42时，得%=羡，不是整数，不符合题意；

B、当5%=70时，得尤=14,符合题意；

C、当5久=95时，得久=19,19为第3行最后一个数字，不符合题意；

D、当5%=115时，得％=23,右下角没有数字，不符合题意；

团它们的和可能是70,

故选：B.

【变式9-2］如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数.

日四7L/<