理学中国矿业大学工程力学06第六章-静力学专题

静力学专题第6章静力学专题本章要点：①平面桁架的内力计算；②具有摩擦的平衡问题。基本问题：（1）平面桁架的内力计算;（2）摩擦分类及摩擦角和自锁现象;（3）具有摩擦的平衡问题；（4）重心·平行力系中心。§6-1平面简单桁架的内力计算

□桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。桁架平面桁架：杆件轴线都位于同一平面内空间桁架●桁架的杆件都是直的；●杆件用光滑的铰链连接；●载荷均作用在节点上；●重量平均分配在节点上。理想桁架：杆件为二力杆平面简单桁架：杆件轴线和外力都位于同一平面内，基本三角形包括三根杆件，三个节点。无冗杆桁架有冗杆桁架m=2n-3平面简单桁架的节点数n与杆件数目m之间的关系：平面简单桁架的静定性：n个节点2n个独立平衡方程桁架未知量总数m+3

≤2n外约束力未知量的数目静定问题:

未知量总数不超过独立平衡方程数，外约束力不多于3个，这类问题由静力学平衡方程确定。—平面简单桁架问题。静不定性问题：求外约束力超过3个的桁架的外约束力问题。两种平面简单桁架的内力计算方法：节点法：以桁架的节点为研究对象，通过平衡条件求出由该节点连接的杆件内力的方法。解题步骤：1.求桁架的外约束力；2.求杆件的内力；3.校核。截面法：假想用一截面把桁架截成两部分，如果其中任一部分都处于平衡状态，可以应用平面任意力系的平衡方程求出被切开杆件的内力。解题步骤：1.求桁架的外约束力；2.求杆件的内力；选整体为研究对象，求出外约束力。

例

平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载F=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。2mF2mABCD30°13425AB30°134DCFFByFAyFAx再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。FAyFAxF1F2AFF'3F'2F5DF3F4F'1C节点A节点C节点D解上述5个方程得其中1，4杆受压。25AB30°134DCFFByFAyFAxFAyFAxABCDEFGFEFGFF123FBy例

图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E，G，F上分别作用荷载FE＝10kN，FG＝7kN，FF＝5kN。试求杆1、2、3的内力。解：取整体分析解得ABCDEFGFEFGFF123AFECDE解得为求1、2、3杆的内力，可作一截面m–n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。求得1杆受力为负值，说明1杆受压。F1FAyFAxF2F3FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC求：图示桁架各杆的力。

例题解：(1)取整体为研究对象解得：FAyF4FAxAF320kNF1F2C(2)取节点C为研究对象解得：(3)取节点A为研究对象解得：依此类推，可求得其余各杆内力。求：桁架6、7、8各杆的力。

例题210kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCFAxFAyFBymn10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD解：(1)取整体为研究对象计算支座反力。解得：(2)根据解题的需要，假想用一截面截断体系。(3)取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值。两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断①②③④节点只连接不共线两杆，且外载荷沿某一杆件，则另一杆是零力杆。12123121234F123456789101112131415161718192021222324求：图示桁架中受力为零的杆件。思考题解：由节点法可知图中受力为零的杆件有：3、12、9。(b)图中受力为零的杆件有：1、3、4、13、14、12、11、21。F1F212345678910111213ABc§6-2摩擦当两个物体沿接触面公切线方向有相对运动或相对运动趋势时，在接触面间产生阻碍运动的力（阻力）。产生摩擦的原因①接触面间的凹凸不平；②接触面间的分子吸引力。两种原因一般不同时存在摩擦产生的机理属固体物理研究内容，理力中仅研究摩擦的力学效应。摩擦力一、摩擦及其分类研究摩擦的目的①克服（或减少）摩擦；②利用摩擦。方法：提高零件表面光洁度、加润滑油等。如：皮带传动、摩擦制动装置等。①按两物体的相对运动形式分，有②按两物体间有无相对运动分，有①滑动摩擦；②滚动摩擦。①静摩擦；②动摩擦。本书主要讨论静滑动摩擦，重点为：具有摩擦的平衡问题。摩擦的分类几个有意义的实际问题

赛车起跑为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟？

赛车结构为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？maFwFNF几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题台式风扇放在光滑的桌面上，风扇工作时将会发生什么现象？落地扇工作时又会发生什么现象？粗糙面二、静摩擦力及其性质滑动摩擦现象PFNPFNF(1)当FT=0，则F=0。(平衡)(2)当0<FT<FT1（FT1为某临界值）时，物体处于静止状态。FTF由平衡条件得：(3)当FT>FT1时，物体处于运动状态（不平衡）。静摩擦力：物体仅有相对滑动趋势而无运动时，在接触面间产生的摩擦力。F存在一个最大值Fmax

。FT静摩擦力的性质（1）静摩擦力的大小具有一定范围，即：——此时F由平衡条件决定（同约束反力）。（2）静摩擦力的方向：与相对运动趋势方向相反（沿接触处的公切线）。（3）Fmax

由库仑静摩擦定律确定：Fmax——称为最大静摩擦力；fs——静摩擦因素（无量纲系数）；FN——为法向压力。

fs的物理意义：表示单位正压力所能产生的摩擦力。fs

仅与接触面的材料性质、表面状况、湿度、温度等有关。fs值需由实验测定。三、摩擦角与自锁现象摩擦角全反力FR：摩擦力与法向压力的合力。——表示全反力FR与法向反力FN的夹角。随摩擦力F的增加而增加。当F=Fmax时，全反力

FR与接触面法线方向的最大夹角——称为摩擦角，用符号

表示。即：摩擦角的正切等于静摩擦因素。自锁现象由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内，不管主动大小如何，都能平衡，这种现象叫自锁。主动合力的作用线如：（1）斜面自锁条件（2）斜面自锁条件的应用

fA（3）非自锁现象★如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。PF30°问题1

已知摩擦角

f=20°，F=P，问物块动不动？为什么？问题2

已知摩擦角均为

f

，问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的

，

物角应为若干？

FNAFNBFSBFSAFRAFRB四、动滑动摩擦力当两接触面有相对滑动时，接触面间摩擦力

——称为动滑动摩擦力。f——动摩擦因素，由实验测定。——库仑动摩擦定律一般有：f<fs

。滑动摩擦力变化曲线注：动滑动摩擦力是一个值，而不是一个变化范围。五、滚动摩阻的概念FPFNFsOAFPOAPFOAFRMPFFNFsOAMFPOAFsFN′dPFFNFsOAM保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：O解：FBNFANFAFB圆柱——假定平衡G圆柱直径为120mm，重量为200N，在一力偶的作用下紧靠铅垂墙面，两接触处的摩擦因素均为

fs

=0.25，求能使圆柱开始转动的力偶矩M=？例题O解：FBNFANFAFB圆柱——假定平衡G解得：五、具有摩擦的平衡问题特点及其求解特点：（1）受力分析时，需分析摩擦力F（方向）。F方向与相对运动趋势方向相反（2）临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件：（3）解答是以不等式表示的平衡范围，而不是一个值。（通常先求临界状态时的两个极限值，所求范围即为两个极限值之间。）例题3解：梯子AB靠在墙上，与水平面成θ角。梯子长AB=l，重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静擦因素为fsA，fsB。重量为P的人沿梯上登，他在梯上的位置C不能过高，即距离AC=s，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试求s的范围。梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：(4)(5)解：梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：(4)(5)解上述方程，得(6)所求

s

值为(7)设θ=60°,fsA=0.4,fsB=0.2则：smax=0.7156l。讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)（1）当时，即：，此时有（2）当fsB

=0，即墙面为光滑时，由式（6）得但当fsA

=0，即地面为光滑时，由式（6）得此时,人无法登上梯子。

PQFsFN解：取物块为研究对象，并假定其平衡。解得已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2，f=0.18。问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。例题4物块不可能静止，而是向下滑动。此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为PPPPFF1243FsFsPF1FsF12FN1P2解：（1）取整体为研究对象Fs=20N（2）取书1为研究对象（3）取书2为研究对象FN1F12′′FN2F23已知：P=10N，fs1

=0.1，

fs2

=0.25。问：要提起这四本书需加的最小压力。1解：分析：当F较小时，物块将有向下的滑动趋势。当F较大时，物块将有向上的滑动趋势。（1）当具有向下滑动趋势时，并处于临界平衡状态。FNF1minxymax(1)(2)摩擦的物理条件：(3)由(1)、(2)、(3)求得：(4)或利用(5)重量为P的物块放在固定斜面上，斜面的倾角为α。已知：物块与斜面间的摩擦因素为

fs(摩擦角为)，且。为使物体在斜面上保持静止，在其上作用一水平力F，如图所示。试求力F

的大小。例题6（2）当具有向上滑动趋势时，并处于临界平衡状态。11FNFmaxmaxxy(6)(7)摩擦的物理条件：(8)由(6)、(7)、(8)求得：(9)或利用(10)综合式（5）、（10）得，F1的值在下列范围时，物块可静止在斜面上。(11)说明与讨论：（1）当，F1max为负值，说明无需F1物块也能平衡，即产生自锁现象。（2）两种情况下的FN与Fmax是不同的。（3）利用摩擦角的概念，结合几何作图法求解。§6-3重心·平行力系中心一、重心的概念物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。物体每一微小部分地球引力——构成一汇交力系，汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。重心：物体每一微小部分地球引力合力P的作用点C。P空间平行力系的中心——几何点重心C——唯一性二、重心位置的确定1.一般计算公式设合力P的作用点位置坐标为：xC、yC、zC

，由合力矩定理得：重心坐标的一般计算公式，P为物体的总重量。设：P其中分别为微元体的质量和物体的总质量，g为重力加速度。则有：物体质心坐标的一般计算公式。可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。重心与质心的区别：重心：仅在重力场中存在。质心：任何地方都存在。2.均质物体的重心坐标积分计算设物体内一点容重为：——单位体积的重量（N/m3），则有：ΔV、V分别为微元体和物体的体积。（6—8）均质物体的重心位于物体的几何形心。式（6—8）可表示为：对平面图形，上式变为：注：适用于几何形状规则的物体3.均质组合形状物体的重心计算（1）对称性法重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。（2）组合法（叠加法）求图示平面图形的重心。（3）负面积法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mmx1=－15,y1=45,A1=300x2=5,y2=30,A2=400x3=15,y3=5,A3=300解:

建立图示坐标系求：Z

形截面重心。例题40mm50mmxyo20mm解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0求：图示截面重心。例题10解:

取圆心O为坐标原点求：半径为R，圆心角为2

的均质圆弧线的重心。例题7yo

xABdl

d半圆形的重心：求：半径为R，圆心角为2

的均质扇形的重心。例题8

O

AB

d解:

取圆心O为坐标原点A四、重心确定的实验方法适用于非均质、形状不规则等一般物体。悬挂法:FAPABFBPC注：适用于小物体。静力学部分小结一、基本概念与定理力、刚体、平衡、主矢、主矩、力偶、重心等。（1）力系等效定理、平衡力系定理。（2）二力平衡公理、二力合成公理、加减平衡力系公理、作用与反作用公理、刚化公理。（3）力的可传性原理、三力平衡汇交定理、合力矩定理。基本定理基本概念：基本量：力的投影、平面的力对